人教版2023中考数学专题复习： 不等式(组)精讲精练

不等式（组）精讲精练
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知识点精讲
一、不等式的有关概念和性质
1、不等式的定义：用不等号“＞”、“≥”、“＜”、“≤”或“≠”表示不等关系的式子，叫作不等式。

2、不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫作不等式的解。

3、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合。

它可以在数轴上直观地表示出来，是数形结合的具体表现。

4、解不等式的概念：求不等式的解集的过程叫作解不等式。

5、数轴表示不等式的解集：不等式的解集用数轴表示有以下四种情况：
【易错点】用数轴表示不等式的解集：大于向右，小于向左，有等号画实心圆点，无等号画空心圆图。

6、不等式的性质：
基本性质1：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变，即 若a>b ，则a+c>b+c ，a-c>b-c 。

基本性质2：不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变，即 若a>b,c>0，则ac>bc （或a
c >b
c ）
基本性质3（易错）：不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，即 若a>b,c<0，则ac<bc （或a
c <b c ） 基本性质4：若a>b ，则b<a 。

基本性质5：若a>b>c ，则a>c 。

基本性质6：如果a b >，c d >，那么a c b d +>+. 【注意】
1）不等式变形时，要注意性质2和3的区别，需先判断要乘（或除以）的数的正负，若负注意不等号方向发生改变。

2）不等号方向发生改变就是指原来的不等号方向变成其相反方向。

【总结】
等式的性质
不等式的性质
对称性：若a =b ，则b =a
反对称性：若a >b ，则b <a
1、一元一次不等式的概念:不等式的左右两边都是整式，只含有一个未知数并且未知数的最高次数是1，像这样的不等式叫一元一次不等式。

一元一次不等式的一般形式为：0ax b +<或()00ax b a +>≠。

2、解一元一次不等式的一般步骤：
① 去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤未知数的系数化为1 3、解一元一次方程和解一元一次不等式的区别：
【备注】去分母时不等号两边的每一项都要乘各分母的最小公倍数，千万不要漏乘. 三、一元一次不等式组
1、一元一次不等式组的解集概念：一般地，几个一元一次不等式解集的公共部分，叫做它们所组成的不等式组的解集。

2、不等式组解集的确定方法（a<b ）：
不等式解集在数轴上的表示方法：含≥或≤，用实心圆点，含＞或＜用空心圆圈：
【注意】
1）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的。

2）利用数轴表示不等式组解集时，要把几个不等式的解集都表示出来，不能仅画公共部分。

4、解一元一次不等式组的一般步骤： 1） 求出不等式组中各不等式的解集。

2） 将各不等式的解决在数轴上表示出来。

3） 在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。

四、一元一次不等式（组）的实际应用
一元一次不等式(组)的实际应用：分析数量关系，设未知数，根据不等关系列出相应不等式(组)，解不等式(组)，作答。

基本过程：这一过程可简单表述为：问题−−−→分析抽象不等式(组)−−−→求解检验
解答。

针对训练
一、单选题
1．下列式子：①30>；②450x +>；③3x <；④2x x +；⑤4x =-；⑥21x x +>+，其中不等式有（ ） A ．3个
B ．4个
C ．5个
D ．6个
2．下列不等式中，属于一元一次不等式的是（ ） A ．41>
B ．x y <
C ．332x ->
D ．
11x
> 3．若不等式()2
13m m x +>是一元一次不等式，则m 的值为（ ） A ．1±
B ．1
C ．1-
D ．0
4．下列解集中，包括2的是（ ） A ．2x <
B ．3x ≥
C ．3x ≤
D ．2x >
5．若a b <， 则下列不等式一定成立的是（ ） A ．ax bx <
B ．32a b <
C ．33a b -+>-+
D ．22a b -<-
6．下列不等式组是一元一次不等式组的是（ ）
A ．()20
12x x x ->⎧⎨-≤⎩
B ．1010x y +>⎧⎨-<⎩
C ．203
x x ->⎧⎨<-⎩
D ．30110x x
>⎧⎪⎨+<⎪⎩
7．某次数学竞赛共有16道题，评分办法是：每答对一道题得6分，每答错一道题扣2分，不答的题不扣分也不得分．已知某同学参加了这次竞赛，成绩超过了60分，且只有一道题未作答．设该同学答对了x 道题，根据题意，下面列出的不等式正确的是（ ） A ．62(161)60x x ---≥ B ．62(161)60x x ---> C ．62(16)60x x --≥
D ．62(16)60x x -->
8．小聪用100元钱去购买笔记本和钢笔共30件．已知每本笔记本2元，每支钢笔5元，小聪最多可以购买钢笔多少支？设小聪最多能买x 支钢笔．可列出不等式（ ） A ．()5230100x x +-< B ．()5230100x x +-≤ C ．()5230100x x +-≥
D ．5230100x x +->（）
9．关于x 的不等式组630
2x x a -<⎧⎨≤⎩恰好有3个整数解，则a 满足（ ）
A ．10a =
B ．1012a ≤<
C ．1012a <≤
D ．1012a ≤≤
10．若关于x 的一元一次不等式组()4
133
1433x x x x m ⎧-≥-⎪⎪⎨-⎪-<⎪⎩有解且最多有两个偶数解．且关于y 的分式方程
382122y m
y y
-+=--的解为正整数，则符合条件的所有整数m 的和为（ ） A ．0 B ．2- C ．4- D ．6-
二、填空题
11．不等式0ax b +>的解集为1
2
x <，则关于x 的不等式bx a <的解集为________． 12．已知()1
235a a x
--+>是关于x 的一元一次不等式，则a 的值为______．
13．“a 的一半与3的和小于2”用不等式表示为___________．
14．已知关于x的不等式组
23
25
32
3
x x m
x
x
+≥+
⎧
⎪
+
⎨
-<-
⎪⎩
无解，则
1
m
的取值范围是_________．
15．把一筐梨分给几个学生，若每人4个，则剩下3个；若每人6个，则最后一个同学最多分得3个，求学生人数和梨的个数．设有a个学生，依题意可列不等式组为__________．
16．关于x的不等式组
2
31
1
2
x a
x
x
-+<
⎧
⎪
⎨-
+
⎪⎩
恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．
17．某品牌护眼灯的进价为240元，商店以320元的价格出售．“五一节”期间，商店为让利于顾客，计划以利润率不低于20%的价格降价出售，则该护眼灯最多可降价_________元．
18．若关于x的一元一次不等式组
213
x
x a
-
⎧
⎨
-<
⎩
＜
的解集为2
x<，则a的取值范围是________．
19．不等式组
240
63
x
x
+≥
⎧
⎨
->
⎩
的所有整数解的和为______.
20．已知关于x的方程11
1(1)
x a
x x x x
+
+=
++
的解为负数，则a的取值范围是__________．
三、解答题
21．解下列不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来．
(1)
1
2
3
x x
>-；(2)411
3
x
x
-
->；(3))
1
21
3
(
x
x
+
≥＋．
22．解不等式组：
()
3225
2
1
32
x x
x x
⎧+≥+
⎪
⎨-
-<
⎪⎩
，并把它的解集在数轴上表示出来．
23．已知方程组713x y m
x y m +=--⎧⎨-=+⎩的解满足x 为非正数，y 为负数．
(1)求m 的取值范围； (2)化简：32m m --+．
(3)在m 的取值范围内，当m 为何整数时，不等式221mx x m +<+的解为1x >？
24．为迎接校园科技节的到来，学校科技社团欲购买甲、乙两种模型进行组装，已知3套甲模型的总价与2套乙模型的总价相等，若购买1套甲模型和2套乙模型共需80元． (1)求甲、乙两种模型的单价各是多少元？
(2)现计划用19322元资金，在不超过预算的情况下，购买这两种模型共800套，且乙种模型的数量不少于甲种模型数量的23
，求两种模型共有多少种选购方案？乙种模型选购多少套时总费用最少？
25．先阅读理解下面的例题，再按要求解答下列问题： 例题：解一元二次不等式240x ->．
解：∵24(2)(2)x x x -=+-，∵240x ->可化为(2)(2)0x x +->． 由有理数的乘法法则：两数相乘，同号得正，得 ①20,20;x x +>⎧⎨->⎩②20,20;
x x +<⎧⎨-<⎩ 解不等式组①，得2x >；解不等式组②，得<2x -， ∵(2)(2)0x x +->的解集为2x >或<2x -，
即一元二次不等式240x ->的解集为2x >或<2x -． (1)一元二次不等式290x ->的解集为_______； (2)试解一元二次不等式250x x -<； (3)试解不等式1
04
x x -<-．
26．某书店为了迎接“读书节”决定购进A、B两种新书，相关信息如表：
(1)已知A种图书的标价是B种图书标价的1.5倍，若顾客用540元购买图书，能单独购买A种图书的数量恰好比单独购买B种图书的数量少10本，请求出A、B两种图书的标价；
(2)经市场调查后，陈经理发现他们高估了“读书节”对图书销售的影响，便调整了销售方案，A种图书按照标价8折销售，B种图书价格不变，那么书店应如何进货才能获得最大利润？。