2014《创优导学案》高考数学总复习(人教新课标)配套课后巩固提升：第八章 圆锥曲线 8-7含解析

（对应学生用书P269解析为教师用书独有）
(时间:45分钟满分：100分)
一、选择题(本大题共6小题，每小题6分，共36分）
1．(2013·郑州模拟)抛物线y2＝4x的焦点F到准线l的距离为A．1 B．2
C．3 D．4
解析 B 该抛物线的焦点F（1,0)，准线l为：x＝－1.∴焦点F 到准线l的距离为2.
2．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4,则点P到该抛物线焦点的距离是( )
A．4 B．6
C．8 D．12
解析 B 由抛物线的方程得p
2
＝错误!＝2，再根据抛物线的定义,
可知所求距离为4＋2＝6。

3．一个正三角形的三个顶点都在抛物线y2＝4x上,其中一个顶点在原点，则这个三角形的面积是
A．48错误!B．24错误!
C.错误!D。

错误!
解析 A
如图，设AB所在的直线方程为y＝错误!x，
由错误!
得B点坐标为(12,4错误!）,
∴S△ABC＝2S△ABD＝2×错误!×12×4错误!＝48错误!.
4．从抛物线y2＝4x上一点P引抛物线准线的垂线，垂足为M，且|PM｜＝5，设抛物线的焦点为F，则△MPF的面积为A．5 B．10
C．20 D。

15
解析 B 由抛物线方程y2＝4x易得抛物线的准线l的方程为x ＝－1，又由|PM｜＝5可得点P的横坐标为4，代入y2＝4x，可求得其纵坐标为±4，故S△MPF＝错误!×5×4＝10.
5．已知抛物线y2＝2px（p>0）的焦点为F，F关于原点的对称点为P，过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点，有下列四个命题：
①△PMN必为直角三角形;
②△PMN不一定为直角三角形；
③直线PM必与抛物线相切;
④直线PM不一定与抛物线相切．
其中正确的命题是( )
A．①③B．①④
C．②③D．②④
解析 A 因为PF＝MF＝NF，故∠FPM＝∠FMP，∠FPN＝∠FNP，从而可知∠MPN＝90°,故①正确，②错误；令直线PM的方程为y＝x＋错误!，代入抛物线方程可得y2－2py＋p2＝0，Δ＝0，所以直线PM与抛物线相切,故③正确,④错误．
6．已知抛物线y2＝2px(p〉0），过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A，B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为( ）
A．x＝1 B．x＝－1
C．x＝2 D．x＝－2
解析 B 焦点坐标错误!，准线方程为x＝－错误!.
过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－错误!，
联立错误!消去x得y2－2py－p2＝0,
由题意知错误!＝p＝2,∴准线方程为x＝－1.
二、填空题（本大题共3小题,每小题8分，共24分)
7．(2013·宿迁模拟）抛物线y＝ax2的准线方程为y＝1，则实数a＝________。

解析抛物线y＝ax2化为标准方程为x2＝错误!y，所以其准线方程为y＝－错误!＝1，解得a＝－错误!.
【答案】－1 4
8．已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点为F（1，0)，直线l 与抛物线C相交于A、B两点，若AB的中点为（2，2)，则直线l 的方程为________．
解析由已知易得抛物线的方程为y2＝4x。

设A（x1，y1）,B(x2，y2），则有x1≠x2，y2，1＝4x1,y错误!＝4x2,
∴y错误!－y错误!＝4（x1－x2)，∴错误!＝错误!＝1，
∴直线l的方程为y－2＝x－2，即y＝x.
【答案】y＝x
9．动点P在抛物线y2＝－6x上运动，定点A(0,1)，线段PA中点的轨迹方程是________．
解析设P(x′,y′），PA的中点为Q(x,y），
则有错误!∵P（x′,y′)在抛物线y2＝－6x上，
∴（2y－1）2＝－12x。

【答案】(2y－1)2＝－12x
三、解答题(本大题共3小题，共40分)
10．(12分)如图，直线l：y＝x＋b与抛物线C:x2＝4y相切于点A.
(1)求实数b的值;
(2）求以点A为圆心，且与抛物线C的准线相切的圆的方程．解析（1）由错误!
得x2－4x－4b＝0。

（＊)
因为直线l与抛物线C相切,
所以Δ＝(－4)2－4×(－4b）＝0。

解得b＝－1。

（2）由(1）可知b＝－1，故方程(*）即为x2－4x＋4＝0。

解得x＝2,代入x2＝4y，得y＝1.故点A（2,1）．
因为圆A与抛物线C的准线相切,所以圆A的半径r等于圆心A 到抛物线的准线y＝－1的距离，即r＝|1－(－1）｜＝2，所以圆A
的方程为(x－2）2＋（y－1)2＝4。

11．(12分)已知抛物线C:y2＝2px(p〉0)过点A(1,－2）．
（1)求抛物线C的方程，并求其准线方程；
(2)是否存在平行于OA（O为坐标原点)的直线l,使得直线l与抛物线C有公共点，且直线OA与l的距离等于错误!?若存在,求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
解析(1)将（1，－2）代入y2＝2px，得（－2)2＝2p×1，所以p ＝2。

故所求的抛物线C的方程为y2＝4x，
其准线方程为x＝－1。

(2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y＝－2x＋t.
由错误!得y2＋2y－2t＝0.
∵直线l与抛物线C有公共点，
∴Δ＝4＋8t≥0，解得t≥－错误!.
由直线OA与l的距离d＝错误!，可得错误!＝错误!，解得t＝±1。

∵－1∉错误!,1∈错误!,
∴符合题意的直线l存在,其方程为2x＋y－1＝0。

12．(16分)设抛物线C：y2＝4x，F为C的焦点，过F的直线l 与C相交于A、B两点．
(1）设l的斜率为1,求|AB｜的大小；
(2）求证：错误!·错误!是一个定值．
解析（1)∵F(1,0)，∴直线l的方程为y＝x－1，设A(x1，y1）,B（x2,y2)，由错误!得
x2－6x＋1＝0，
∴x1＋x2＝6，x1x2＝1。

∴|AB｜＝错误!
＝错误!·错误!
＝2·错误!＝8。

(2）设直线l的方程为x＝ky＋1,
由错误!得y2－4ky－4＝0.
∴错误!·错误!＝x1x2＋y1y2
＝(ky1＋1）(ky2＋1)＋y1y2
＝k2y1y2＋k(y1＋y2)＋1＋y1y2
＝－4k2＋4k2＋1－4＝－3。

∴错误!·错误!是一个定值．。