第二章-柔性铰链的分类与分析

2.2柔性铰链的分类与分析
柔性铰链是利用材料的变形产生位移的一种特殊运动副，用于提供绕轴作复杂运动的有限角位移，具有无机械摩擦、无间隙、易维护、分辨率高和可一体化加工等优点。

柔性铰链有很多种结构，最普通的形式是绕一个轴弹性弯曲，而且这种弹性变形是可逆的。

[现代精密机械设计]，如图2.1所示。

图2.1 柔性铰链结构简图
Fig.2.1Diagram of flexure hinge
2.2.1柔性铰链的分类及编号
自20世纪60年代以来，国内外学者、科研院校及研究机构对柔性铰链进行了多方面的研究，包括理论计算、结构创新设计及应用等方面。

按目前国内外的发展研究状况，柔性铰链按其切口形状可分为单边的和双边的，按其截面曲线分为单一的和混合的；按运动副分可分为转动副、移动副和球副，按其传递运动和能量的方向分单轴柔性铰链、双轴柔性铰链、万向柔性铰链和柔性联杆。

按照横截面的不同形状，可以分为：矩形截面柔性铰链和圆形截面柔性铰链。

按研究出现的先后顺序可分为传统的柔性铰链和典型的大变形柔性铰链。

还有其他特殊类型的如弓形柔性铰链、三角形柔性铰链、叶状形的柔性铰链、簧片式的柔性铰链等等。

根据以上的分析可将柔性铰链分成以下三大类，如表2-1,2-2,2-3所示。

表2-1基本曲线规则截面单轴柔性铰链（Single-Axis Flexure Hinges）
铰链名称铰链模型分类编号
单轴对称
直梁型（Constant Rectangular
Cross-Section Flexure Hinge）
S-R 直圆型（Circular Flexure Hinge）S-C
椭圆型（Elliptical
Flexure Hinge）
浅切口椭圆S-E1
深切口椭圆S-E2双曲线型（Hyperbolic Flexure Hinge）S-H 抛物线型（Parabolic Flexure Hinge）S-P
反转抛物线（Inverse Parabolic Flexure
Hinge）
S-Ip 正割型（Secant Flexure Hinge）S-S
双曲余弦型（hyperbolic cosine Flexure
Hinge）
S-H 弓型（arched Flexure Hinge）S-A V型（V Flexure Hinge）S-V 摆线型（cycloidal Flexure Hinge）S-Cy
单轴不对称
椭圆型（Elliptical Flexure Hinge）s-E1
抛物线型（Parabolic Flexure Hinge）s-P
双曲线型（hyperbolic cosine Flexure
Hinge）
s-Hc 导角型（Corner-Filleted Flexure Hinge）s-CB
混合型s-CCB
表2-2由基本柔性铰链混合而成的单轴铰链模型（Single-Axis Flexure Hinges）组合方式产生对象铰链模型分类编号
直梁-直梁混合型两个
混合
交错铰
链
（Cross
Flexure
Hinge）
类型一S-BB1
类型二S-BB2
车轮铰链
（cartwheel
flexural
hinges）
S-BB3
类型三S-BB4
一二
混合
交错叶片混合
（cross-axis flexural
pivot）
S-BB5
直梁-直圆混合型导角型（Corner-Filleted
Flexure Hinge）
S-CB
直圆-导角
混合型
S-CCB
直圆-椭圆
混合型
S-CE1
表2-3双轴柔性铰链（Two-Axis Flexure Hinges）
铰链名称铰链模型分类编号
双轴柔性铰链串联-非同位
配置
（non-colloca
ted
(serially-disp
osed)
notches）
两轴垂直T-CE1-NC-V
两轴平行T-E1E1-NC-P
并联-同位配
置（collocated
notches）
两轴垂直T-CC-C -V
两轴平行T-BB-C-P
例
子
双轴椭圆铰链T-E1E1-V
表2-4多轴柔性铰链（Multiple-Axis Flexure Hinges）铰链名称铰链模型分类编号
圆柱型（cylindrical）M-Cyl
导角型（Corner-Filleted
Flexure Hinge）
M-CB
直圆型（Circular Flexure
Hinge）
M-C
椭圆型（Elliptical Flexure
M-E
Hinge）
抛物线型（Parabolic
M-P Flexure Hinge）
双曲线型（Hyperbolic
M-H Flexure Hinge）
编号规则：
1、大写代表单轴对称，即双边切口，小写代表单轴不对称，即单边切口。

例S-代表单轴双切口、s-代表单轴单切口。

2、第一个字母代表自由度的个数，及S-、T-、M-分别代表单轴、双轴和多轴。

3、第二个字母代表切口类型，混合型的为两个同类型的字母组合。

4、在双轴铰链中，最后一个字母代表组合后两铰链轴线的相对位置。

V-代表垂直，P-代表平行。

第三个字母NC-代表非同位配置，C-代表同位配置。

2.2.2柔性铰链的计算与分析
关于柔性铰链的设计研究，柔性铰链刚度的理论研究大都停留在单轴柔性铰链的范围内，有关单轴柔性铰链分析建模的研究主要包括弹性梁理论、卡氏第二定理、逆保角映射理论和有限元分析方法等，工程实践中一般采用数值积分法和有限元分析方法。

柔性铰链设计时基本参数应满足如下要求：[现代精密机械设计]
1、柔性铰链内部应力要小于材料的许用应力。

在微位移范围内，此条件一般都能满足。

2、微位移器产生的最大位移输出时，微动台的弹性恢复力应小于微位移器的最大驱动力。

3、微动台的刚性应尽可能大，使其具有良好的动态特性和抗干扰能力。

2.2.2.1 几种常见柔性铰链的设计计算
对于单轴柔性铰链，设计要求为对输入或灵敏轴必须灵活，一般绕横轴和沿纵轴铰链的刚度应尽可能的好[现代精密机械设计]。

也就是说单轴柔性铰链绕Z轴方向的转角刚度要尽可能的小、绕X轴方向的转角刚度和沿Y轴方向的轴向刚度要尽可能的大，坐标轴方向如图2-2中所示。

在单轴柔性铰链设计中，最关键的是绕Z轴方向的转角刚度的设计计算，下面将对几种常见类型的铰链作分析研究。

柔性铰链的拉伸刚度和转角刚度的计算公式[1]： 1) 拉伸刚度的推导
当在X 轴向施加拉力F x 时，铰链伸长量为：1
()2()x x x x
F F x dx dx EA x Eb f x ∆=
=⎰⎰，则拉伸刚度为：1
2/
()
x
Eb dx f x ⎰。

2) 转角刚度的推导
当在Z 轴回转方向施加弯矩Mx 时，铰链转角为3
31
()2()
x x
x
x
M M dx dx EI x Eb f x θ=
=⎰⎰
，则转角刚度为：
321
/3()x
Eb dx f x ⎰。

式中，()f x 为柔性铰链形状的表达函数，E 为材料的弹性模量。

a 、单轴直梁型柔性铰链
单轴直梁型柔性铰链如图2-2所示，其应用广泛。

单轴直梁型柔性铰链沿X 轴方向的
拉伸刚度和绕Z 轴的转角刚度可以利用上面给出的公式进行计算。

图2-2 单轴直梁型柔性铰链
Fig. 2-2 Flexure hinge with rectangle notch
根据上面的公式可得，单轴直梁型柔性铰链的拉伸刚度为Ebt ，转角刚度为3
12Ebt 。

也就是说单轴直梁型柔性铰链的拉伸刚度与t 、b 成正比，转角刚度与3
t 、b 成正比；由此可知，在拉伸刚度限定的情况下，为了提高其弯曲率，应尽量加大b 值而减小t 值。

b 、单轴直圆型柔性铰链
单轴直圆型柔性铰链如图2-3所示，对于单轴直圆型柔性铰链的设计计算，在1965年， J.M.Paros 等就推导出t
R 条件下的设计计算公式（包括精度计算公式和简化计算公式）
，但其精确计算公式形式比较复杂，简化后的设计计算公式在许多情况下误差又比较大。

在1988年，清华大学的高宏等从微位移机构的实际情况出发，对用于微位移机构的柔性铰链
图2-3 单轴直梁型柔性铰链
Fig. 2-3 Flexure hinge with circle notch
进行了分析，发现其机构具有两个明显的特点：一是位移量（即柔性铰链的变形比较小），一般是几十微米到几百微米；二是结构参数在一般情况下取t R，并根据这两个特点推导了简化设计方法，最后给出了几种不同参数下柔性铰链的转角刚度数表。

为了能对单轴直圆型柔性铰链的设计计算给出准确可靠的设计计算公式，Y.K. Yong和T.F. Lu等利用有限元分析方法给出了单轴直圆型柔性铰链的经验设计公式，并利用此分析结果对已有的设计理论和方法做了对比，其结果如表2-5所示。

研究团队
z z
M
α
(t/R的范
围)
误差百分比
y y
F
∆
(考虑
剪切模
量)
(t/R)
误差百分比
x x
F
∆
(t/R的
范围)
误差百分比
最
小
最
大
平
均
最
小
最
大
平
均
最
小
最
大
平
均
Paros and Weisbord(完全公式) 0.05≤t/R
＜0.1
1.8 5.0 3.5
0.05≤t/
R≤0.1
2 4 3.1
0.25≤t/
R≤0.65
0.3 4.9 2.4
Paros and Weisbord(简化公式) 0.05≤t/R
≤0.2
1.2 4.9 3.1
0.05≤t/
R≤0.1
3 5.6 4.3 无
Lobontiu 0.05≤t/R
＜0.1
1.8 5.0 3.5
0.05≤t/
R≤0.1
2 3.9 2.9
0.25≤t/
R≤0.65
0.3 4.9 2.4
Wu and Zhou 0.05≤t/R
＜0.1
1.8 5.0 3.5
0.05≤t/
R≤0.1
2 4 3.1
0.25≤t/
R≤0.65
0.3 4.9 2.4
Tseytlin 0.4≤t/R≤
0.6
0.7 4.5 2.5 无无
Smith 0.2≤t/R≤
0.65
0.8 3.7 2.4 无无
Schotborgh 0.05≤t/R
≤0.65
0.0
3
2.5 1.2 无无
Yong 无0.05≤t/
R≤0.8
0 2.7 0.07
0.05≤t/R
≤0.8
0 1.1 0.08
随着柔性铰链理论的不断完善，与之相关的柔性微动工作台也逐渐产业化。

为了能更好
地指导工程实践，本文将对便于工程应用的简化设计方法做一些完善。

单轴直圆型柔性铰链转角刚度计算的计算简图，如图2-4所示，柔性铰链的转角变形实际上是由许多微段弯曲变形累积的结果，设第i 个微段产生i θ∆的转角和i y ∆的挠度，则整个柔性铰链的转角θ和挠度y 为1
n
i
i θθ
==
∆∑和1
n
i
i y y ==
∆∑。

图2-4 单轴直梁型柔性铰链 Fig. 2-4 Flexure hinge with circle notch
设连续变化的截面由若干长度为dx 的等截面微段所组成，由材料力学的知识可得柔性铰链中性面的曲率半径ρ：
1
()
()
M x EJ x ρ
=
(2-2)
式中，E 为材料的弹性模量；()J x 为截面对中心轴的惯性矩；()M x 为作用在微段dx 上的弯矩。

柔性铰链切口处全长为2R ，与其他结构尺寸相比比较小，所以可以认为柔性铰链上的弯矩变化不大，即认为()M x 在各个微段dx 上都是一样的。

由高等数学可知，曲率半径和坐标x ，y 的关系如下：
22
3/2
2
1
1d y dx dy dx ρ
=
⎡⎤⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦
(2-3)
柔性铰链在弯曲变形时，对任意微段dx 都有：
1dy
dx
，所以公式(2-3)可简化为
221
d y dx ρ=，当变形很小时，利用近似公式tan dy dx θθ≅=，由式(2-3)和式(2-2)，可得柔性铰链转角20
()()R
M x dx EJ x θ=
⎰
，其中31
()(22sin )12
J x b R t R α=+-对上式进行积分，可得柔性铰链的转角刚度为：
()3012sin 22sin M
R K Eb d Eb R t R πααααθα⎡⎤===⎢⎥+-⎢⎥⎣⎦
⎰
式中所列符号，如图2-4所示。

对于α可以借助MATLAB 编程来求解，为了能更好地指导工程实践，现选取不同的结
构参数t ，R 对上式进行求解，所得结果见表2-6所示，
表2-6 柔性铰链转角刚度的α值(/mm kg rad ⋅)
0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 3.5 4.0 0.5 0.0201 0.1276 0.3864 0.8593 1.6090 2.6979 4.1886 6.1436 1.0 0.0134 0.0806 0.2356 0.5104 0.9366 1.5456 2.3687 3.4373 1.5 0.0107 0.0631 0.1813 0.3874 0.7027 1.1484 1.7455 2.5149 2.0 0.0091 0.0534 0.1521 0.3223 0.5804 0.9424 1.4242 2.0417 2.5 0.0081 0.0472 0.1335 0.2812 0.5037 0.8140 1.2252 1.7498 3.0 0.0074 0.0427 0.1202 0.2523 0.4503 0.7253 1.0882 1.5496 3.5 0.0068 0.0393 0.1103 0.2307 0.4105 0.6596 0.9872 1.4027 4.0 0.0064
0.0365
0.1024
0.2137
0.3796
0.6086
0.9091
1.2894
由表2-6可以得出，柔性铰链的转角刚度值与铰链半径R 和最小厚度t 有关，当R 一定
时，转角刚度随着t 的增大而增大，而且增量很显著。

当t 一定时，转角刚度随着R 的增大而减小，变化量缓慢。

总的来看，R 越小、t 越大则转角刚度越大；R 越大、t 越小则转角刚度越小。

在柔性铰链机械传动部件设计中，为了使所设计的微动工作台具有良好的动态特性和抗干扰能力，应尽可能地增大柔性铰链的最小厚度，并减小其圆弧半径。

然而，为了实现机械传动的高灵敏度和高分辨率，在保证传动机构强度要求的前提下，则应适当增大柔性铰链的圆弧半径，并减小铰链的最小厚度。

因此，在设计过程中要明确设计目标，对相关参数需要反复比较调整，最后才能达到最终设计要求。

c 、浅切口椭圆型柔性铰链
椭圆型柔性铰链根据切口的布置位置可以分为浅切口椭圆型柔性铰链和深切口椭圆型柔性铰链，如表2-1中所示。

学者在文献[2]中提出了深切口椭圆型柔性铰链，并对其相关性能进行了论证与比较，指出深切口椭圆型柔性铰链更适合于要求高精度传动的微动工作台和光学仪器。

本文现对一般常用的浅切口椭圆型柔性铰链进行分析，如图2-6所示，
图2-5 浅切口椭圆型柔性铰链
t/mm
R/mm
Fig. 2-5 Flexure hinge with circle notch
在图2-5中，假设椭圆的长半轴为a ，短半轴为b ，则由椭圆的极坐标公式可知，该椭圆
可以表示为：cos sin x a y b θ
θ=⎧⎨
=⎩
，如图2-6中所示，
图2-6 浅切口椭圆型柔性铰链 Fig. 2-6 Flexure hinge with circle notch
对于椭圆型柔性铰链，其转角变形实际上是由许多微段弯曲变形累积的结果，在上面章
节中的假设对其依然适用。

所以
22300()12()()
a a dy
M x M dx dx dx EJ x EBh x θ=
==⎰⎰， 对于椭圆柔性铰链来讲，()22cos h b t b αα=+-，又由sin x a a α=+，则有
cos dx a d αα=，所以
23
2
12cos (22cos )
Ma d EB b t b π
π
α
θαα-
=+-⎰ 所以，可得椭圆型柔性铰链的转角刚度为：
23212cos (22cos )M
a K EB d EB
b t b ππαα
αααθ-⎡⎤===⎢⎥+-⎣⎦
⎰ 式中所列符号，如图2-5所示。

对于α可以借助MATLAB 编程来求解，为了能更好地指导工程实践，现选取不同的结构参数t ，a 和b 对上式进行求解，所得结果见表2-7所示，
考虑到具有两个参数才能确定一个椭圆即长半轴a 和短半轴b ，为了得出变化规律，现
在假定椭圆的长半轴a=10mm ，短半轴取小于等于10mm 的不同数值，最小厚度
0.55t ≤≤mm ，利用MA TLAB 编程可得其结果如表2-7所示，
表2-7 椭圆型柔性铰链转角刚度的α值(/mm kg rad ⋅) 注：a=10mm
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
1 0.0013 0.0081 0.0236 0.0510 0.0937 0.1546 0.2369 0.3437 0.4783 0.6436
2 0.0018 0.0107 0.0304 0.0645 0.1161 0.1885 0.2848 0.408
3 0.5621 0.7493 3 0.0022 0.0128 0.0361 0.0757 0.1351 0.2176 0.326
4 0.4649 0.6361 0.8433 4 0.002
5 0.014
6 0.0410 0.0855 0.1518 0.2434 0.3636 0.5158 0.7030 0.9286 5 0.0028 0.0162 0.0453 0.0943 0.1670 0.2669 0.3976 0.5623 0.7645 1.0073 6 0.0031 0.017
7 0.0493 0.1024 0.1809 0.2885 0.4289 0.6055 0.8216 1.0806 7 0.0033 0.0191 0.0530 0.1099 0.193
8 0.3087 0.4582 0.645
9 0.8752 1.1495 8 0.0036 0.0203 0.0565 0.1169 0.2060 0.3277 0.4858 0.6840 0.9258 1.2147 9 0.0038 0.0215 0.0598 0.1236 0.2175 0.3456 0.5119 0.7201 0.9738 1.2767 10
0.0040
0.0227
0.0628
0.1299
0.2284
0.3627
0.5368
0.7546
1.0197
1.3359
由表2-7可以得出，椭圆型柔性铰链的转角刚度值与长半轴a 、短半轴b 和最小厚度t 有关，当a 为定值，b 不变时，转角刚度随着t 的增大而增大，而且增量很显著；当a 为定值，t 不变时，转角刚度随着b 的增大而增大，增量缓慢。

在柔性铰链机械传动部件设计中，为了使所设计的微动工作台具有良好的动态特性和抗干扰能力，应尽可能地增大柔性铰链的最小厚度，并减小其圆弧半径。

然而，为了实现机械传动的高灵敏度和高分辨率，在保证传动机构强度要求的前提下，则应适当增大柔性铰链的圆弧半径，并减小铰链的最小厚度。

因此，在设计过程中要明确设计目标，对相关参数需要反复比较调整，最后才能达到最终设计要求。

d 、单轴双曲线型柔性铰链
单轴双曲线型柔性铰链的结构如图2-7中所示，图中两条红色的线代表双曲线的渐近线，由双曲线的定义可知，最小厚度和实半轴具有如下关系：2t a =。

图2-7 浅切口椭圆型柔性铰链 Fig. 2-7 Flexure hinge with circle notch
t/mm b/mm
前面章节中提到的一些假设和推导在此仍然适用。

所以
3()12()()
dy M x M dx dx dx EJ x EBh x θ=
==⎰⎰ 对于双曲线型柔性铰链来讲，()2sec h a αα=，又由tan x b α=，则有
2sec dx b d αα=，相关参数参考图2-7，所以
22233
3
2
2
12sec 123cos (2sec )8Mb Mb
Mb
d d EB a EB a EB a
π
π
π
παθαααα-
-==
=
⋅⋅⎰⎰ 所以，可得双曲线型柔性铰链的转角刚度为：
3
3M
a K EB EB b
ααθ==⋅=
由双曲线的定义和几何关系可知，最小厚度2t a =。

为了能更好地指导工程实践，现选取不同的结构参数a 和b 对上式进行求解，所得结果见表2-8所示，
由表2-8可以得出，双曲线型柔性铰链转角刚度值与实半轴a 、虚半轴b 和最小厚度t 有关，当a 为定值，即t 不变时，转角刚度随着b 的增大而减小，变化缓慢；当b 为定值，a 增大时，即最小厚度t 也随着增大，转角刚度值增量显著。

可见，最小厚度t 对转角刚度值的影响很显著。

e 、单轴抛物线型柔性铰链
单轴抛物线型柔性铰链的结构如图2-8中所示，
图2-7 浅切口椭圆型柔性铰链
Fig. 2-7 Flexure hinge with circle notch
对于单轴抛物线型柔性铰链，Nicolae Lobontiu 等在文献[3]给出其厚度沿x 方向变化的表达式，
()2(12)x
h x t c l
=+-
前面章节中提到的一些假设和推导在此仍然适用。

所以
22322()12()()
l l
l l dy M x M dx dx dx EJ x EBh x θ--===⎰⎰ 所以，
23
2
12[2(12)]l
l M dx x
EB t c l
θ-=+-⎰
所以，可得双曲线型柔性铰链的转角刚度为：
23
2
12/[2(12)]l l M
K EB dx EB x
t c l
ααθ
-=
==+-⎰
式中所列符号，如图2-7所示。

为了能更好地指导工程实践，现选取不同的结构参数t ，c 和l 对上式进行求解，考虑到变量的多变性，现分别取c=5mm 和c=10mm 来做分析，所得结果见表2-9和表2-10所示，
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
5 0.1668 0.6682 1.5073 2.6889 4.2188 6.1038 8.3519 10.9714 13.9713 17.3611
6 0.1390 0.5568 1.2561 2.240
7 3.5156 5.0865 6.9599 9.1429 11.642
8 14.4676 7 0.1191 0.4773 1.0767 1.9206 3.0134 4.359
9 5.9657 7.8367 9.9795 12.4008 8 0.1042 0.4176 0.9421 1.6806 2.6367 3.8149 5.2200 6.8571 8.7321 10.8507 9
0.0926 0.3712 0.8374 1.4938 2.3438 3.3910 4.6400 6.0952
7.7619
9.6451
t/mm l/mm
) 注：c=10mm
表2-10 双曲线型柔性铰链转角刚度的α值(
和最小厚度t有关。

当铰链深度c为定值，且t不变时，转角刚度值随着l的增大而减小，且变化缓慢；这与柔性铰链越长，其柔性越好是吻合的。

当铰链深度c为定值，且l不变时，转角刚度值随着t的增大而增大，且变化显著；可见最小厚度t在铰链的转角刚度中起着至关重要的作用。

通过以上的比较分析，在柔性铰链机械传动部件设计中，为了使所设计的微动工作台具有良好的动态特性和抗干扰能力，应尽可能地增大柔性铰链的最小厚度，并减小其横向的结构尺寸。

然而，为了实现机械传动的高灵敏度和高分辨率，在保证传动机构强度要求的前提下，则应适当增大柔性铰链的横向的结构尺寸，并减小铰链的最小厚度。

因此，在设计过程中要明确设计目标，对相关参数需要反复比较调整，最后才能达到最终设计要求。

[1 ] PAROS J M , WEISBORD L. How to design flexure hinges [M] . Machine Design ,1994.
[2] 深切口椭圆柔性铰链
[3] Nicolae Lobontiu, Jeffrey S.N. Paine, Edward O’Malley, Marc Samuelson,Parabolic and hyperbolic flexure hinges: flexibility, motion precision and stress characterization based on compliance closed-form equations, Precision Engineering 26 (2002) 183–192。