八年级数学下册16.1二次根式第2课时二次根式的性质导学案

第十六章 二次根式
16.1 二次根式
第2课时 二次根式的性质
学习目标：1.经历二次根式的性质的发现过程，体验归纳、猜想的思想方法；
2.会运用二次根式的两个性质进行化简计算. 重点：掌握二次根式的两个性质：
()
()2
20,a a a a a =≥=.
难点：会利用二次根式的性质解题.
一、知识回顾
1.二次根式的概念是什么？我们上节课学了它的哪些性质？
2.使式子
()
2
a 有意义的条件是_______________.
一、要点探究 探究点1：
()()2
0a a ≥的性质
活动1 如图是一块具有民族风的正方形方巾，面积为a ，求它的边长，并用所求得的边长表示出面积，你发现了什么？
活动2 为了验证活动1的结论是否具有广泛性，下面根据算术平方根及平方的意义填空，你又发现了什么？
a (a ≥0) 算术平方根 a 平方运算
()
a
要点归纳：一般地，
2
a
a =(a ____0),即一个非负数的算术平方根的平方等于
课堂探究
自主学习
教学备注
学生在课前完成自主学习部分
配套PPT 讲授
1.情景引入 （见幻灯片3-4）
2.探究点1新知讲授
（见幻灯片5-11）
教学备注
配套PPT 讲授
3.探究点2新知讲授
（见幻灯片12-21）
0 2
4 1
3
...
____________________ ...
____________________ ...
例1(教材P3例2变式题)计算：
2
2
(1);
(2).⎛ ⎝
例2 在实数范围内分解因式：
242(1)3;(2)4 4.x y y --+
计算：
22(1)()(2)().
；
探究点2
议一议:
下面根据算术平方根的意义填空，你有什么发现？ 1.计算：
=24 ;=22.0 ;=2)5
4
( ; =220 .
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=>2,0a a 时 .
2.计算：
=-2)4( ;=-2)2.0( ;=-2)5
4
( ;=-2)20( .
观察其结果与根号内幂底数的关系，归纳得到：当=<2,0a a 时 . 3.计算：
=20 ;当==2,0a a 时 .
要点归纳：将上面得到的结论综合起来，得到二次根式的又一条非常重要的性质：
()
()
()
2
____0
____=0
____0.
a
a a a
a
⎧
⎪
==⎨
⎪
⎩
＞，
，
＜
即任意一个数的平方的算术平方根等于它本身的绝对值.
典例精析
例3 (教材P4例3变式题)化简：
2
(1)10;-2
(2)(3.14).
-π
方法总结:利用2a a
=化简求值时，先应确定a的正负，再化简.
例4 实数a、b在数轴上的对应点如图所示，请你化简:()2
22.
a b a b
-+-
【变式题】实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简：22
44
a a
b b a b
+++-.
方法总结:利用数轴和二次根式的性质进行化简，关键是要要根据a,b的大小讨论绝对
值内式子的符号.
例5已知a、b、c是△AB C的三边长，化简：
()()()
222.
a b c b c a c b a
++-+-+--分析：
针对训练
1.计算：
2
2
(1)(-2)(2)(-1.2).
；
教学备注
配套PPT讲授
3.探究点2新
知讲授
（见幻灯片
12-21）
利用三角
形三边关
三边长均为正数，a+b＞c
两边之和大于第三边，b+c-a＞0，c-b-a＜0
2.请同学们快速分辨下列各题的对错：
()()()()
()()()()
2
2
22
(1)22(2)22
(3)22(4)22
-=--=-
-=---=-
探究点3：代数式的定义
用基本运算符号（包括加、减、乘、除、乘方和开方）把_______或____________连接起
来的式子，我们称这样的式子为代数式.
典例精析
例6 （1）一条河的水流速度是2.5 km/h，船在静水中的速度是v km/h，用代数式表示
船在这条河中顺水行驶和逆水行驶时的速度；
（2）如图，小语要制作一个长与宽之比为5:3的长方形贺卡，若面积为S，用代数式表示
出它的长.
方法总结:列代数式的要点：①要抓住关键词语，明确它们的意义以及它们之间的关系，
如和、差、积、商及大、小、多、少、倍、分、倒数、相反数等；②理清语句层次明确运
算顺序；③牢记一些概念和公式．
针对训练
1.在下列各式中，不是代数式的是（）
A.7
B.3＞2
C.
2
x
D.22
2
3
x y
+
2.如图是一圆形挂钟，正面面积为S，用代数式表示出钟的半径为__________.
二、课堂小结
二次根式的性质内容
性质1 一个非负数的算术平方根的平方等于它_______.即
()()
2
0.
a a a
=≥
性质2 一个数的平方的算术平方根等于它的______.即
()
()
2
0.
a a
a a
a a
≥
⎧⎪
==⎨
-⎪⎩
，
＜
教学备注
配套PPT讲授
4.探究点3新
知讲授
（见幻灯片
22-25）
5.课堂小结（见
幻灯片30）
1.化简16得（）
A. ±4
B. ±2
C. 4
D.-4
2.当1<x<3时，
2
(3)
3
x
x
-
-
的值为（）
A.3
B.-3
C.1
D.-1
3.下列式子是代数式的有 ( )
①a2+b2 ; ②ab; ③13; ④x=2; ⑤3×（4－5）;⑥x－1≤0; ⑦10x+5y=15 ; ⑧.
a
c
b
+
A.3个
B.4个
C.5个
D.6个
4.化简：
（1）9＝_______ ; （2）2
(4)
-＝_______;
（3）()27______
-=; （4）()281______
=.
5. 实数a在数轴上的位置如图所示，化简2
2(1)
a a
-+-的结果是_________.
6.利用a＝2
()a（a≥0），把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
(1) 9；(2)5；(3)2.5；(4)0.25；(5)
1
2
；(6)0 .
能力提升
7.(1)已知a为实数，求代数式2
242
a a a
+---+的值.
(2)已知a为实数，求代数式2
49
a a a
+--+-的值.
当堂检测
教学备注
配套PPT讲授
6.当堂检测
（见幻灯片
26-29）。