江西省高安中学高一数学下学期期末考试试题 理(重点班)

江西省高安中学2014－2015学年度下学期期末考试
高一年级数学试题（理重）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分，每小题只有一个正确选项） 1. 若a ＜b ＜0，则( )
A. 1a ＜1b B ．0＜a b ＜1 C ．ab ＞b 2
D. b a ＞a b
2. 已知数列｛n a ｝的通项公式)(82*2N n n n a n ∈--=,则4a 等于( ). A.1 B. 2 C. 0 D. 3
3. 不等式
01
3
22≤+-+x x x 的解集为（ ） A.}113|{≤≤-≥x x x 或 B.}113|{≤<-≥x x x 或 C.}113|{≤≤--≤x x x 或 D.}113|{≤<--≤x x x 或 4．在32cos sin 3-=+a x x 中，a 的取值范围是（ ）
A ．
2521≤≤a B ．21≤a C ．25>a D ．2
125-≤≤-a 5. 已知变量x ，y 满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧x ＋2y ≥2，2x ＋y ≤4，4x －y ≥－1，
，则目标函数z ＝3x －y 的取值范围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，6
B.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32，－1 C ．[－1，6] D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－6，32
6. 在正项等比数列{a n }中，3a ，9a 是方程3x 2
—11x +9=0的两个根，则6a =（ ）
A ．3
B ．
6
11
C ． 3
D ．3± 7. 在△ABC 中，若∠A ∶∠B ∶∠C =1∶2∶3,则a ∶b ∶c 等于（ ）
A.1∶2∶3
B.3∶2∶1
C.2∶3∶1
D.1∶3∶2
8. 已知等差数列{a n }满足65a a +=28，则其前10项之和为 （ ）
A.140
B.280
C.168
D.56
9. 在ABC ∆中,c b a 、、分别为三个内角C B A 、、所对的边,设向量),(),,(a c b n a c c b m +=--=，若向量n m ⊥，则角A 的大小为( )
A.
6π B. 3π C. 2
π
D. 32π
10. 若实数a 、b 满足b a +=2，则b
a 33+的最小值是( )
A ．18
B ．6
C ．23
D ．243
11. 已知10
10sin ,55sin ==βα，且βα,均为锐角，则βα+的值为（ ）
A ．
4π B ．34π C ．4π或34π D ．2
π 12. 在△ABC 中，若2sin sin cos 2
A B C =，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．等腰三角形 C ．直角三角形 D ．等腰直角三角形 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分） 13. 已知1>x ，则函数1
1
)(-+
=x x x f 的最小值为 ． 14. 已知A 船在灯塔C 的正东方向，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西O
30处，A ，B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为 km.
15. o
o o o
10cos 10cos 310sin 40sin -⋅的值为__ ．
16. 数列{a n }的前n 项和是n S ，若数列{a n }的各项按如下规则排列：12，13，23，14，24，34，15，25，35，4
5
，…，
1n ，2n ，…，n －1n
，…，有如下运算和结论：
①a 23＝38；②S 11＝316
；
③数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…是等比数列； ④数列a 1，a 2＋a 3，a 4＋a 5＋a 6，a 7＋a 8＋a 9＋a 10，…的前n 项和n T ＝
n 2＋n
4
；
在横线上填写出所有你认为是正确的运算结果或结论的序号________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分，17题10分，其余5题各12分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.(10分) 已知数列{n a }为等差数列，且3a ＝－6，6a ＝0. (1)求数列{n a }的通项公式；
(2)若等比数列{n b }满足1b ＝－8，3212a a a b ++=，求数列{n b }的前n 项和n S ．
18.(12分) 已知向量(2cos ,1),(3sin cos ,)m x n x x a ωωω==-，其中(,0)x R ω∈>，函数
()f x m n =∙的最小正周期为π，最大值为3.
(1）求ω和常数a 的值； (2）求当[0,]2
x π
∈时,函数()f x 的值域.
19.(12分) 已知函数1)1
()(2
++
-=x a
a x x f ，0>a （1）当21
=a 时，解不等式0)(≤x f ；（2）比较a
a 1与的大小；
（3）解关于x 的不等式0)(≤x f .
20.(12分) 设函数)(x f ＝142
-+x x .
(1)若对一切实数x ，0)4()1()(2<+--+x m x m x f 恒成立，求m 的取值范围； (2)若对于任意]2,1[-∈x ，)(x f 5+-<m 恒成立，求m 的取值范围．
21.(12分) 已知在锐角△ABC 中，a ，b, c 分别为角A ，B ，C 的对边，且sin(2C －π2) ＝1
2.
(1)求角C 的大小；(2)求 a ＋b
c
的取值范围．
22.(12分) 已知数列{n a }的前n 项和为n s ，且－1，n s ，1+n a 成等差数列，n ∈N *
，1a ＝1，函数
x x f 3log )(=.
(1)求数列{n a }的通项公式； (2)设数列{n b }满足n b ＝]
2)()[3(1
++n a f n ，记数列{n b }的前n 项和为n T ，试比较n T 与
512－2n ＋5312
的大小． 江西省高安中学2014－2015学年度下学期期末考试
高一年级数学试题答案（理重）
一．选择题：（本大题共12小题，每题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
13. ____3___ 14. _______16-____________
15. _____-1__________ 16 ②④ 三．解答题：（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（10分）解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .
因为a 3＝－6，a 6＝0，
所以⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＋2d ＝－6，a 1＋5d ＝0，解得⎩
⎪⎨
⎪⎧
a 1＝－10，
d ＝2，
所以a n ＝－10＋(n －1)·2＝2n －12. (2)设等比数列{b n }的公比为q . 因为b 2＝a 1＋a 2＋a 3＝－24，b 1＝－8，
所以－8q ＝－24，即q ＝3，
所以{b n }的前n 项和为n S ＝q
q b n --1)1(1＝4(1－3n
)．
18．（12分）解：（1）2()23sin cos 2cos f x m n x x x a ωωω=∙=-+， 2cos21x x a ωω=--+2sin(2)16
x a π
ω=-+-，
由22T π
πω
=
=，得1ω=. 又当sin(2)16
x π
ω-
=时max 213y a =+-=，得2a =.
(2)由（1）知 ()2sin(2)16f x x π
=-+
∵x ∈[0，π2]，∴2x －π6∈[－π6，5π
6]，
∴sin(2x －π6)∈[－1
2，1]
∴2sin(2x －π
6
)∈[－1，2]
∴]3,0[)(∈x f ，∴所求的值域为]3,0[. 19．（12分）解：（1）当21=
a 时，有不等式012
3)(2
≤+-=x x x f ， ∴0)2)(2
1
(≤--
x x ， ∴不等式的解集为：}22
1
|
{≤≤x x ;
（2）∵a
a a a a )1)(1(1-+=-
且0>a ∴当10<<a 时，有a a >1
当1>a 时，有a a <1
当1=a 时，a a 1
=；
（3）∵不等式0))(1
()(≤--=a x a x x f
当10<<a 时，有a a >1，∴不等式的解集为}1
|{a x a x ≤≤；
当1>a 时，有a a <1，∴不等式的解集为}1
|{a x a
x ≤≤；
当1=a 时，不等式的解集为}1{∈x .
20．（12分）解：(1) 0)4()1()(2<+--+x m x m x f 即mx 2
－mx －1<0恒成立．
当m ＝0时，－1<0，显然成立；
当m ≠0时，应有m<0，Δ＝m 2
＋4m<0， 解得－4<m<0.
综上，m 的取值范围是(-4,0].
(2) 由已知：任意]2,1[-∈x ,)(x f 5+-<m
得142
-+x x 5+-<m ，]2,1[-∈x 恒成立
即642
+--<x x m ，]2,1[-∈x 恒成立 即min 2
)64(+--<x x m ，]2,1[-∈x 所以6-<m .
21．（12分）(1)由sin(2C －π2)＝12，得cos2C ＝－1
2
，
又∵锐角△ABC ∴2C ＝
32π，即C ＝3
π
； (2)
a ＋
b
c ＝sin A ＋sin B sin C
＝3
sin
)32sin(
sin π
A A -+
＝2
3
cos 23
sin 23A
A +＝)6sin(2π+A ， 由C ＝
3π，且三角形是锐角三角形可得22
A B ππ
⎧<⎪⎪⎨⎪<⎪⎩，即62A ππ<<∴32<)6sin(π+A ≤1，
∴2·
32<a ＋b c ≤2，即3<a ＋b c
≤2. 22．（12分）解：(1)∵－1，S n ，a n ＋1成等差数列．
∴2S n ＝a n ＋1－1，①
当n ≥2时，2S n －1＝a n －1，② ①－②，得2(S n －S n －1)＝a n ＋1－a n ， ∴3a n ＝a n ＋1，∴
a n ＋1
a n
＝3. 当n ＝1时，由①得2S 1＝2a 1＝a 2－1，a 1＝1，∴a 2＝3，∴a 2a 1
＝3. ∴{a n }是以1为首项，3为公比的等比数列，∴a n ＝3n －1
.
(2)∵f (x )＝log 3x ，
∴f (a n )＝log 33n －1
＝n －1. ∴b n ＝
]2)()[3(1
++n a f n ＝)3(11++n n ）
（
＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n ＋1－1n ＋3. ∴T n ＝12⎝ ⎛
12－14＋13－15＋14－16＋15
－
⎭
⎪⎫17＋…＋1n －1n ＋2＋1n ＋1－1n ＋3 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋1
3－1n ＋2－1n ＋3
＝512－)
3)(2(252+++n n n . 比较T n 与512－2n ＋5
312的大小，只需比较2(n ＋2)(n ＋3)与312的大小即可．
2(n ＋2)(n ＋3)－312＝2(n 2
＋5n ＋6－156) ＝2(n 2
＋5n －150) ＝2(n ＋15)(n －10)．
∵n ∈N *，∴当1≤n ≤9且n ∈N *
时，2(n ＋2)(n ＋3)＜312，即T n ＜512－2n ＋5312；
当n ＝10时，2(n ＋2)(n ＋3)＝312，即T n ＝512－2n ＋5
312；
当n ＞10且n ∈N *
时，2(n ＋2)(n ＋3)＞312，即T n ＞512－2n ＋5312.。