(新课标)2020版高考数学二轮复习专题二数列第1讲等差数列与等比数列学案文新人教A版(最新整理)

第1讲等差数列与等比数列
［做真题］
1．（一题多解）(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n为等比数列{a n｝的前n项和．若a1＝错误!，a错误!＝a6，则S5＝________．
解析：通解:设等比数列{a n}的公比为q，因为a错误!＝a6，所以(a1q3）2＝a1q5，所以a1q ＝1，又a1＝错误!，所以q＝3,所以S5＝错误!＝错误!＝错误!.
优解：设等比数列｛a n}的公比为q,因为a错误!＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1,又a1＝错误!，所以q＝3，所以S5＝错误!＝错误!＝错误!。

答案：121 3
2．（一题多解）(2019·高考全国卷Ⅲ)记S n为等差数列{a n｝的前n项和．若a3＝5，a7＝13，则S10＝____________．
解析：通解：设等差数列｛a n｝的公差为d，则由题意,得错误!解得错误!所以S10＝10×1＋错误!×2＝100.
优解：由题意，得公差d＝错误!（a7－a3）＝2，所以a4＝a3＋d＝7，所以S10＝错误!＝5(a4＋a7)＝100。

答案：100
3．(2019·高考全国卷Ⅱ)已知｛a n｝是各项均为正数的等比数列，a1＝2，a3＝2a2＋16。

（1)求{a n}的通项公式;
(2）设b n＝log2a n，求数列{b n}的前n项和．
解:（1)设｛a n}的公比为q，由题设得
2q2＝4q＋16，即q2－2q－8＝0.
解得q＝－2(舍去）或q＝4.
因此｛a n｝的通项公式为a n＝2×4n－1＝22n－1.
（2)由(1)得b n＝(2n－1）log2 2＝2n－1，因此数列｛b n｝的前n项和为1＋3＋…＋2n－1＝n2。

4．（2018·高考全国卷Ⅰ)已知数列｛a n｝满足a1＝1，na n＋1＝2（n＋1）a n。

设b n＝错误!.
（1）求b1，b2，b3；
(2）判断数列｛b n}是否为等比数列,并说明理由；
(3)求｛a n}的通项公式．
解：（1）由条件可得a n＋1＝错误!a n.
将n＝1代入得，a2＝4a1，而a1＝1，所以，a2＝4。

将n＝2代入得，a3＝3a2，所以，a3＝12。

从而b1＝1，b2＝2,b3＝4。

（2)｛b n}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得错误!＝错误!，即b n＋1＝2b n，又b1＝1,所以｛b n｝是首项为1,公比为2的等比数列．
（3)由（2）可得错误!＝2n－1,所以a n＝n·2n－1。

[明考情]
等差数列、等比数列的判定及其通项公式在考查基本运算、基本概念的同时，也注重对函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想的考查；对等差数列、等比数列的性质考查主要是求解数列的等差中项、等比中项、通项公式和前n项和的最大、最小值等问题，主要是中低档题．
等差、等比数列的基本运算（综合型）
［知识整合]
等差数列的通项公式及前n项和公式
a n＝a
＋(n－1）d;S n＝错误!＝na1＋错误!d（n∈N*）．
1
等比数列的通项公式及前n项和公式
q n－1（q≠0);S n＝错误!＝错误!（q≠1)(n∈N*）．
a n＝a
1
[典型例题]
(2019·高考全国卷Ⅰ）记S n为等差数列{a n｝的前n项和．已知S9＝－a5.
(1)若a3＝4，求｛a n}的通项公式;
(2）若a1＞0,求使得S n≥a n的n的取值范围．
【解】(1）设{a n｝的公差为d.
由S9＝－a5得a1＋4d＝0。

由a3＝4得a1＋2d＝4.
于是a1＝8，d＝－2。

因此{a n｝的通项公式为a n＝10－2n.
（2)由（1）得a1＝－4d，故a n＝（n－5）d,S n＝错误!.
由a1>0知d<0,故S n≥a n等价于n2－11n＋10≤0,解得1≤n≤10。

所以n的取值范围是｛n|1≤n≤10,n∈N}．
错误!
等差(比)数列基本运算的解题思路
(1）设基本量a1和公差d(公比q）．
（2)列、解方程组：把条件转化为关于a1和d（q)的方程（组）,然后求解，注意整体计算，以减少运算量．
[对点训练]
1．（2019·福州市质量检测)已知数列｛a n}中，a3＝2，a7＝1.若数列错误!为等差数列,则a9＝（）
A.错误!B。

错误!
C。

错误!D．－错误!
解析：选C.因为数列错误!为等差数列，a3＝2，a7＝1，
所以数列错误!的公差d＝错误!＝错误!＝错误!，所以错误!＝错误!＋（9－7）×错误!＝错误!，所以a9＝错误!，故选C。

2．（一题多解)(2019·高考全国卷Ⅰ)记S n为等比数列｛a n｝的前n项和，若a1＝1，S3＝错误!，则S4＝____________．
解析：通解:设等比数列{a n｝的公比为q,由a1＝1及S3＝错误!，易知q≠1。

把a1＝1代入S3＝错误!＝错误!，得1＋q＋q2＝错误!，解得q＝－错误!，所以S4＝错误!＝错误!＝错误!。

优解一：设等比数列{a n}的公比为q，因为S3＝a1＋a2＋a3＝a1(1＋q＋q2)＝错误!，a1＝1,所以1＋q＋q2＝错误!，解得q＝－错误!，所以a4＝a1·q3＝错误!错误!＝－错误!,所以S4＝S3＋a
＝错误!＋错误!＝错误!.
4
优解二：设等比数列｛a n｝的公比为q，由题意易知q≠1。

设数列｛a n｝的前n项和S n＝A(1－q n)（其中A为常数），则a
＝S1＝A（1－q）＝1 ①，S3＝A(1－q3)＝错误!②，由
1
①②可得A＝错误!，q＝－错误!。

所以S4＝错误!×错误!＝错误!。

答案：错误!
3．(2018·高考全国卷Ⅲ）等比数列｛a n｝中，a1＝1，a5＝4a3.
（1)求{a n｝的通项公式；
（2)记S n为｛a n}的前n项和．若S m＝63，求m.
解:（1）设{a n｝的公比为q,由题设得a n＝q n－1。

由已知得q4＝4q2，解得q＝0（舍去)，q＝－2或q＝2。

故a n＝(－2）n－1或a n＝2n－1.
(2)若a n＝(－2)n－1，则S n＝错误!。

由S m＝63得（－2）m＝－188，此方程没有正整数解．
若a n＝2n－1,则S n＝2n－1。

由S m＝63得2m＝64,解得m＝6.
综上，m＝6。

等差、等比数列的判定与证明(综合型)
[知识整合]
证明数列｛a n}是等差数列的两种基本方法
(1)利用定义，证明a n＋1－a n（n∈N*）为一常数．
（2)利用等差中项,即证明2a n＝a n－1＋a n＋1（n≥2且a n≠0)．
证明数列｛a n｝是等比数列的两种基本方法
（1)利用定义，证明错误!(n∈N＊）为一非零常数．
（2)利用等比中项，即证明a错误!＝a n－1a n＋1（n≥2且a n≠0)．
［典型例题]
（2019·高考全国卷Ⅱ)已知数列{a n｝和｛b n｝满足a1＝1,b1＝0，4a n＋1＝3a n－b n＋4，4b n＋1＝3b n－a n－4。

(1)证明：{a n＋b n}是等比数列，｛a n－b n}是等差数列;
(2)求{a n}和{b n｝的通项公式．
【解】（1)证明：由题设得4(a n＋1＋b n＋1）＝2(a n＋b n)，即a n＋1＋b n＋1＝错误!(a n＋b n）．
又因为a1＋b1＝1，所以｛a n＋b n}是首项为1，公比为1
2
的等比数列．
由题设得4(a n＋1－b n＋1）＝4（a n－b n)＋8,即a n＋1－b n＋1＝a n－b n＋2。

又因为a1－b1＝1，所以{a n－b n}是首项为1，公差为2的等差数列．
(2）由(1)知，a n＋b n＝错误!,a n－b n＝2n－1.
所以a n＝错误![（a n＋b n）＋（a n－b n）］＝错误!＋n－错误!，
b n＝错误!［（a n＋b n)－(a n－b n)］＝错误!－n＋错误!.
错误!
证明数列{a n}是等差数列或等比数列的方法
（1)判断一个数列是等差(等比)数列，还有通项公式法及前n项和公式法，但不作为证明方法．
（2)若要判断一个数列不是等差（等比）数列,只需判断存在连续三项不成等差(等比）数列即可．
（3)a2，n＝a n－1a n＋1（n≥2，n∈N*）是｛a n}为等比数列的必要不充分条件，也就是判断一个数列是等比数列时，要注意各项不为0。

［对点训练]
1．已知数列{a n}的前n项和为S n，若a1＝1，S n＝1
3
a n
＋1
，则a7＝（)
A．47B．3×45
C．3×46D．46＋1
解析：选B.依题意得3S n＝S n＋1－S n，即S n＋1＝4S n.又S1＝a1＝1，所以数列{S n}是以1为首项，4为公比的等比数列，所以S n＝1×4n－1＝4n－1,a7＝S7－S6＝46－45＝3×45,选B.
2．已知数列{a n}满足a1＝错误!，且a n＋1＝错误!.
（1）求证：数列错误!是等差数列；
（2）若b n＝a n·a n＋1，求数列{b n｝的前n项和S n。

解:（1）证明：因为a n＋1＝错误!，所以错误!＝错误!，所以错误!－错误!＝错误!，
所以数列错误!是以2为首项,错误!为公差的等差数列．
（2）由（1)知错误!＝错误!,所以a n＝错误!，
因为b n＝错误!＝4×(错误!－错误!）,所以S n＝
4×错误!
＝4×错误!＝错误!.
等差、等比数列的性质（综合型）
［知识整合]
等差数列等比数列
性质（1）若m，n，p,q∈N＊，
且m＋n＝p＋q，
则a m＋a n＝a p＋a q.
(2)a n＝a m＋（n－m)d.
（3)S m,S2m－S m，S3m－S2m，…仍成等差
数列
(1)若m，n，p,q∈N＊,
且m＋n＝p＋q，
则a m·a n＝a p·a q.
(2)a n＝a m q n－m。

(3）S m，S2m－S m,S3m－
S
2m
，…仍成等比数列
(q≠－1)
[典型例题]
（1）已知等比数列｛a n｝的各项均为正数，且a错误!＝25a3a2 019，则数列｛a n}的公比q
为（)
A。

错误!B。

错误!
C．－错误!D．±错误!
(2)(一题多解）已知等差数列{a n｝的前n项和为S n,a1＝9，错误!－错误!＝－4，则S n取最大值时n的值为( )
A．4 B．5
C．6 D．4或5
【解析】（1)因为a错误!＝25a3a2 019，
所以a错误!＝25a错误!，
所以q4＝错误!.
因为等比数列{a n}的各项均为正数，所以q＞0，
故q＝错误!。

故选A。

（2)法一：因为数列｛a n｝为等差数列,且错误!－错误!＝－4，
所以错误!－错误!＝错误!－错误!＝a5－a3＝2d＝－4，
解得d＝－2，所以数列｛a n}为单调递减数列，即S n存在最大值．
因为a1＝9，所以a n＝－2n＋11，
由错误!得错误!解得4.5＜n≤5.5。

因为n∈N*，
所以n＝5，所以数列{a n}的前n项和S n取最大值时n的值为5,故选B.
法二：因为数列{a n｝为等差数列，且错误!－错误!＝－4，
所以S
9
9
－错误!＝错误!－错误!＝a5－a3＝2d＝－4，解得d＝－2。

因为a1＝9,所以a n＝－2n＋11，
所以S n＝错误!＝－n2＋10n＝－(n－5）2＋25，
所以数列{a n｝的前n项和S n取最大值时n的值为5，故选B.
【答案】(1)A （2）B
错误!
等差、等比数列性质问题的求解策略
（1）解题关键：抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入手选择恰当的性质进行求解．
（2）运用函数性质:数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质解题．
［对点训练］
1．已知等差数列{a n｝的前n项和为S n，若S12＝156，S36＝1 332，则S24＝（）
A．744 B．300
C．600 D．1 200
解析：选C。

因为S12＝156，S36＝1 332，易知S12,S24－S12，S36－S24成等差数列，
所以2（S24－S12）＝S12＋S36－S24，
所以2（S24－156）＝156＋1 332－S24,
解得S24＝600.故选C.
2．已知等比数列{a n｝共有10项,其中奇数项之积为2，偶数项之积为64，则其公比q为( )
A。

3
2
B。

2
C．2 D．2错误!
解析：选C。

由奇数项之积为2,偶数项之积为64,得a1·a3·a5·a7·a9＝2，
a 2·a4·a6·a8·a10＝64,则q5＝
a
2
·a4·a6·a8·a10
a
1
·a3·a5·a7·a9
＝32，则q＝2，故选C。

新定义下数列创新（创新型）
[典型例题]
如果一个数列由有限个连续的正整数按从小到大的顺序组成（数列的项数大于
2），且所有项之和为N，那么称该数列为“N型标准数列”，例如，数列2，3，4，5，6为“20型标准数列”，则“2 668型标准数列”的个数为____________．
【解析】设首项为a1，项数为n(n＞2且n∈N*），易知na1＋错误!＝2 668，即n(2a1＋n－1)＝5 336＝23×23×29，又n＜2a
1
＋n－1,且两者一定为一奇一偶，则（n，2a1＋n－1)＝（8，667）＝(23，232)＝(29,184），共三组，故“2 668型标准数列”的个数为3.
【答案】3
数列新定义型创新题的一般解题思路
（1）阅读审清“新定义”．
（2）结合常规的等差数列、等比数列的相关知识，化归、转化到“新定义”的相关知识．
（3）利用“新定义"及常规的数列知识，求解证明相关结论．
［对点训练]
若存在常数k(k∈N*，k≥2），q，d，使得无穷数列｛a n}满足a n＋1＝错误!则称数列{a n｝为“段比差数列”，其中常数k，q，d分别叫做段长、段比、段差．设数列{b n｝为“段比差数列”，若｛b n}的首项、段长、段比、段差分别为1，3,0,3,则b15＝( ) A．3 B．4
C．5 D．6
解析：选D。

因为｛b n}的首项、段长、段比、段差分别为1，3，0,3，所以b1＝1,b2＝4,b3＝7，b4＝0×b3＝0，b5＝b4＋3＝3，b6＝b5＋3＝6，b7＝0×b6＝0，…，所以当n≥4时，｛b n}是周期为3的周期数列．所以b15＝b6＝6。

故选D。

一、选择题
1．已知数列{a n}满足a n＋1＝2a n(n∈N*)，a1＋a3＝2,则a5＋a7＝( ）
A．8 B．16
C．32 D．64
解析：选 C.因为数列{a n}满足a n＋1＝2a n（n∈N＊），所以此数列是等比数列，公比为2.则a5＋a7＝24（a1＋a3）＝24×2＝32。

2．(一题多解)(2019·福州市第一学期抽测）等比数列｛a n｝的前n项和为S n,若S2＝2，S
＝－6,则S5＝（）
3
A．18 B．10
C．－14 D．－22
解析：选D.法一:设等比数列｛a n}的公比为q，由题意,得错误!，
,所以S5＝错误!＝－22，故选D。

解得｛a1＝－2
q＝－2
法二:设等比数列｛a n}的公比为q，易知q≠1,令A＝错误!，则S n＝Aq n－A，
错误!，解得错误!，所以S n＝错误!［（－2）n－1］,所以S5＝错误!×[（－2）5－1］＝－22,故选D。

3．已知数列｛a n}的前n项和S n＝an2＋bn（a,b∈R）且a2＝3，a6＝11,则S7等于（) A．13 B．49
C．35 D．63
解析：选B。

由S n＝an2＋bn(a，b∈R）可知数列{a n}是等差数列，依题意得，d＝错误!＝错误!＝2，则a n＝a2＋(n－2）d＝2n－1，即a1＝1，a7＝13,所以S7＝错误!×7＝错误!×7＝49,故选B。

4．等差数列{a n}中，已知|a6|＝|a11|，且公差d〉0,则其前n项和取最小值时n的值为( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析:选C.由d〉0可得等差数列{a n}是递增数列，又｜a6|＝|a11｜，所以－a6＝a11，即－
a
1
－5d＝a1＋10d,所以a1＝－错误!，则a8＝－错误!<0，a9＝错误!〉0，所以前8项和为前n项和的最小值，故选C.
5．(2019·郑州一中摸底测试）设S n是数列｛a n}的前n项和，且a1＝－1,错误!＝S n，则
S
10
＝（)
A.错误!B．－错误!
C．10 D．－10
解析：选B。

由错误!＝S n，得a n＋1＝S n S n＋1.又a n＋1＝S n＋1－S n，所以S n＋1－S n＝S n＋1S n，即错误!－错误!＝－1，所以数列错误!是以错误!＝错误!＝－1为首项，－1为公差的等差数列，所
以1
S n
＝－1＋(n－1)·（－1）＝－n,所以
1
S
10
＝－10，所以S10＝－错误!，故选B.
6．我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重
四斤．斩末一尺，重二斤．问次一尺各重几何?"意思是“现有一根金杖，长5尺，一头粗，一头细，在粗的一端截下1尺，重4斤；在细的一端截下1尺，重2斤．问：依次每一尺各重多少斤．”设该金杖由粗到细是均匀变化的，其质量为M。

现将该金杖截成长度相等的10段，记第i段的质量为a i(i＝1,2，…,10)，且a1〈a2〈…〈a10.若48a i＝5M，则i＝( ）A．4 B．5
C．6 D．7
解析:选C。

由题意知，由细到粗每段的质量成等差数列,记为｛a n}，设其公差为d，则错误!
即错误!解得错误!所以该金杖的总质量M＝10×错误!＋错误!×错误!＝15.因为48a i＝5M，所以48错误!＝75，解得i＝6。

故选C.
二、填空题
7．已知递增的等差数列｛a n｝的前三项和为－6，前三项积为10,则前10项和S10＝____________．
解析：设前三项为a－d,a，a＋d(d＞0）,
则有错误!解得错误!
所以数列首项为a1＝a－d＝－5，公差d＝3，
故前10项和为S10＝10a1＋错误!×d＝－50＋135＝85。

答案：85
8．已知数列｛a n}满足a1＝0，数列｛b n｝为等差数列，且a n＋1＝a n＋b n，b15＋b16＝15，则a
＝________．
31
解析：因为数列{a n}满足a1＝0，数列{b n｝为等差数列，且a n＋1＝a n＋b n，b15＋b16＝15，所以a n＋1＝b1＋b2＋b3＋…＋b n，
所以a31＝b1＋b2＋b3＋…＋b30
＝错误!（b1＋b30)＝15（b15＋b16）＝15×15＝225。

答案:225
9．已知等比数列{a n}的首项为1，项数是偶数，所有的奇数项之和为85,所有的偶数项之和为170，则这个等比数列的项数为________．
解析：由题意得a1＋a3＋...＝85,a2＋a4＋ (170)
所以数列｛a n}的公比q＝2，
由数列｛a n｝的前n项和公式S n＝错误!,得85＋170＝错误!，解得n＝8。

答案:8
三、解答题
10．（2019·高考北京卷)设{a n｝是等差数列，a1＝－10,且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．
（1）求｛a n｝的通项公式；
(2）记{a n}的前n项和为S n，求S n的最小值．
解：（1)设{a n｝的公差为d。

因为a1＝－10，
所以a2＝－10＋d,a3＝－10＋2d,a4＝－10＋3d。

因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，
所以(a3＋8)2＝(a2＋10）（a4＋6）．
所以(－2＋2d）2＝d(－4＋3d）．解得d＝2。

所以a n＝a1＋(n－1)d＝2n－12。

(2）由(1)知，a n＝2n－12。

所以，当n≥7时,a n>0；当n≤6时，a n≤0。

所以，S n的最小值为S6＝－30。

11．已知数列｛a n}的前n项和为S n,且S n＝2a n－3n(n∈N＊)．
（1)求a1，a2，a3的值；
(2)设b n＝a n＋3，证明数列{b n}为等比数列，并求通项公式a n.
解：(1）因为数列{a n｝的前n项和为S n，且S n＝2a n－3n(n∈N*)．
所以n＝1时，由a1＝S1＝2a1－3×1,解得a1＝3，
n＝2时，由S
＝2a2－3×2，得a2＝9，
2
n＝3时，由S
＝2a3－3×3，得a3＝21。

3
(2）因为S n＝2a n－3n，所以S n＋1＝2a n＋1－3（n＋1），
两式相减，得a n＋1＝2a n＋3，*
把b n＝a n＋3及b n＋1＝a n＋1＋3,代入*式,
得b n＋1＝2b n（n∈N＊），且b1＝6,
所以数列｛b n}是以6为首项，2为公比的等比数列,
所以b n＝6×2n－1,
所以a n＝b n－3＝6×2n－1－3＝3（2n－1)．
12．（2019·高考江苏卷节选)定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M－数列"．（1)已知等比数列｛a n}（n∈N*)满足：a2a4＝a5，a3－4a2＋4a1＝0，求证：数列｛a n｝为“M－数列”；
(2）已知数列{b n}(n∈N*)满足：b1＝1,错误!＝错误!－错误!,其中S n为数列{b n}的前n项和．求数列｛b n}的通项公式．
解:(1)证明:设等比数列｛a n｝的公比为q，所以a1≠0，q≠0.由错误!得错误!解得错误!因此数列｛a n}为“M－数列"．
(2)因为错误!＝错误!－错误!,所以b n≠0.
由b1＝1,S1＝b1，得错误!＝错误!－错误!，则b2＝2。

由1
S n
＝错误!－错误!，得S n＝错误!，
当n≥2时,由b n＝S n－S n－1，
得b n＝错误!－错误!，
整理得b n＋1＋b n－1＝2b n。

所以数列｛b n｝是首项和公差均为1的等差数列．
因此，数列{b n｝的通项公式为b n＝n（n∈N*)．
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