椭圆中焦点三角形的性质

焦点三角形习题
性质一：过椭圆焦点的所有弦中通径(垂直于焦点的弦)最短，通
径为a
b 2
2
性质二：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设
焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则2
tan 22
1
θb S PF F =∆.
证明：记2211||,||r PF r PF ==， 由椭圆的第一定义得.4)(,222212
1a r r a r r =+∴=+
在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ
配方得：.4cos 22)(22121221c r r r r r r =--+θ
即.4)cos 1(242212c r r a =+-θ
.cos 12cos 1)(22
2221θ
θ+=+-=∴b c a r r
由任意三角形的面积公式得：
2tan 2
cos 22cos
2
sin
2cos 1sin sin 2122
222121θθθ
θ
θ
θθ⋅=⋅=+⋅==
∆b b b r r S PF F .
.2
tan 221θ
b S PF F =∴∆
同理可证，在椭圆122
22=+b x a y （a ＞b ＞0）中，公式仍然成立.
性质三：已知椭圆方程为),0(122
22>>=+b a b
y a x 两焦点分别为,,21F F 设
焦点三角形21F PF 中,21θ=∠PF F 则.21cos 2e -≥θ 性质三
证明：设,,22
11r PF r PF ==则在21PF F ∆中，由余弦定理得：
1222242)(2cos 2
12
221221221212
212221--=--+=-+=r r c a r r c r r r r r r F F r r θ
.2112221)
2
(2222
2
2222122e a c a r r c a -=--=-+-≥ 命题得证。

例1. 若P
是椭圆
164
1002
2=+y x 上的一点，1F 、2F 是其焦点，且
︒=∠6021PF F ，
求△21PF F 的面积. 例
1．解法一：在椭圆
164
1002
2=+y x 中，,6,8,10===c b a 而.60︒=θ 记.||,||2211r PF r PF ==
点
P 在椭圆上，
∴由椭圆的第一定义得：.20221==+a r r
在△21PF F 中，由余弦定理得：.)2(cos 22212221c r r r r =-+θ
配方，得：.1443)(2
1221=-+r r r r
.144340021=-∴r r 从而.3
256
21=
r r .3
36423325621sin 212121=⨯⨯==
∆θr r S PF F 解法二：在椭圆164
1002
2=+y x 中，642=b ，而.60︒=θ
.3
3
6430tan 642
tan
221=
︒==∴∆θ
b S PF F
例2.已知P 是椭圆19
252
2=+y x 上的点，1F 、2F 分别是椭圆的左、右焦点， 2
1
|
|||2121=
⋅PF PF ，则△21PF F 的面积为（ ）
A. 33
B. 32
C. 3
D.
3
3
解：设θ=∠21PF F ，则2
1|
|||cos 2121=
⋅=
PF PF θ，.60︒=∴θ
.3330tan 92
tan
221=︒==∴∆θ
b S PF F 故选答案A.
例
3.已知椭圆19
162
2=+y x 的左、右焦点分别是1F 、2F ，点
P 在椭圆
上. 若P 、1F 、2F 是一个直角三角形的三个顶点，则点P 到x 轴的距离为（ ） A. 5
9 B. 7
79
C. 4
9 D. 4
9或
7
79
解：若1F 或2F 是直角顶点，则点P 到x 轴的距离为半通径的长
4
92=a b ；若P 是直角顶点，设点P 到x 轴的距离为h ，则
945tan 92
tan
221=︒==∆θ
b S PF F ，又,7)2(2
1
21h h c S PF F =⋅⋅=
∆ 97=∴h ，.7
7
9=
h 故选D.
1. 椭圆
124
492
2=+x y 上一点P 和椭圆两个焦点1F 、
2F 的连线互相垂直，则△21PF F 的面积为（ ）
A. 20
B. 22
C. 28
D. 24
解：24,90221=︒==∠b PF F θ，∴2445tan 242
tan
22
1
=︒==∆θ
b S PF
F .故选D.
2. 椭圆
14
22
=+y x 的左右焦点为1F 、2F ，
P 是椭圆上一点，当△2
1PF F 的面积为1时，21PF PF ⋅的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. 3
D. 6
解：设θ=∠21PF F ， 12
tan
2
tan
22
1
===∆θ
θ
b S PF
F ，
∴
︒=︒=90,452
θθ
，021=⋅PF PF .故选A.
3. 椭圆
14
22
=+y x 的左右焦点为1F 、
2F ， P 是椭圆上一点，当△2
1PF F 的面积最大时，21PF PF ⋅的值为（ ）
A. 0
B. 2
C. 4
D. 2-
解：3,1,2=
==c b a ，设θ=∠21PF F ， 2
tan
2
tan 221θ
θ==∆b S PF F ，
∴当△21PF F 的面积最大时，θ为最大，这时点P 为椭圆短轴的
端点，︒=120θ，
∴2120cos cos ||||22121-=︒=⋅=⋅a PF PF PF PF θ.
故答案选D. 4．已知椭圆122
2=+y a
x （a ＞1）的两个焦点为1F 、2F ，P 为椭圆上
一点，
且︒=∠6021PF F ，则||||21PF PF ⋅的值为（ ）
A ．1
B ．3
1 C ．3
4
D ．3
2
解：︒==∠6021θPF F ，1=b ，3
330tan 2
tan
22
1
=
︒==∆θ
b S PF
F ，
又 ||||4
3sin ||||2121212
1
PF PF PF PF S PF
F ⋅=⋅=
∆θ，
∴
3
3||||4321=⋅PF PF ，从而3
4||||21=⋅PF PF .
故答案选C.
5. 已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，1F 、2F 为焦点，点P 在椭圆上，
直线1PF 和2PF 倾斜角的差为︒=∠9021PF F ，△21PF F 的面积是20，且√5/3，
求椭圆的标准方程.
解：设θ=∠21PF F ，则︒=90θ. 2045tan 2
tan
2222
1
==︒==∆b b b S PF
F θ
，
又 3
5
22=-==a b a a
c e ，
∴95
122=
-a
b ，即9
5
2012
=-a
. 解得：452=a .
∴所求椭圆的标准方程为
1204522=+y x 或120
452
2=+x y .
专题2：离心率求法：
1．若椭圆的两个焦点和它的短轴的两个端点是一个
正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为( )
1.解析：选A.如图所示，四边形B 1F 2B 2F 1为正方形，则△B 22为等腰直角三角形， ∴＝.
2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距
成等差数列，则该椭圆的离心率是( )
2.解析：选B.由题意知2b ＝a ＋c ，又b 2＝a 2－c 2
，
∴4(a 2－c 2)＝a 2＋c 2
＋2ac .
∴3a 2－2ac －5c 2＝0.∴5c 2＋2ac －3a 2
＝0.
∴5e 2
＋2e －3＝0.∴e ＝或e ＝－1(舍去)．
3．若椭圆的短轴长为6，焦点到长轴的一个端点的最近距离是1，
则椭圆的离心率为．
3.解析：依题意，得b ＝3，a －c ＝1.
又a 2＝b 2＋c 2
，解得a ＝5，c ＝4， ∴椭圆的离心率为e ＝＝. 答案：
4.已知A 为椭圆＋＝1(a >b >0)上的一个动点，直线、分别过焦点F 1、 F 2，且和椭圆交于B 、C 两点，若当垂直于x 轴时，恰好有1|∶2|＝3∶1， 求该椭圆的离心率． 4.解：设2|＝m ，则1|＝3m ，
∴2a ＝1|＋2|＝4m . 又在△1F 2中， 1F 2|＝＝2m . ∴e ＝＝＝＝.
5．如图所示，F 1、F 2分别为椭圆的左、右焦点，椭圆上点M 的横
坐标等于右焦点的横坐标，其纵坐标等于短半轴长的，求椭圆的离心率．
5. 解：法一：设椭圆的长半轴、短半轴、半焦距长分别为a 、b 、c .则焦点为F 1(－c,0)，F 2(c,0)，M 点的坐标为(c ，b )， 则△1F 2为直角三角形． 在△1F 2中，
1F 2|2＋2|2＝1|2
，
即4c 2＋b 2＝1|2
.
而1|＋2|＝＋b ＝2a ，
整理得3c 2＝3a 2－2.又c 2＝a 2－b 2
， 所以3b ＝2a .所以＝.
∴e 2
＝＝＝1－＝， ∴e ＝. 法二：设椭圆方程为 ＋＝1(a >b >0)，
则M (c ，b )．代入椭圆方程，得＋＝1， 所以＝，所以＝，即e ＝.
椭圆中焦点三角形的性质及应用（答案）
性质二
离心率求法：
2。