2019高三数学文北师大版一轮教师用书：第2章 第7节 函数的图像

第七节 函数的图像
[考纲传真] 会运用基本初等函数的图像分析函数的性质．
(对应学生用书第21页) [基础知识填充]
1．利用描点法作函数的图像 方法步骤：(1)确定函数的定义域； (2)化简函数的解析式；
(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、最值等)；
(4)描点连线．
2．利用图像变换法作函数的图像
(1)平移变换
(2)对称变换
①y ＝f (x )的图像―――――――→关于x 轴对称
y ＝－f (x )的图像； ②y ＝f (x )的图像―――――――→关于y 轴对称y ＝f (－x )的图像； ③y ＝f (x )的图像――――――→关于原点对称y ＝－f (－x )的图像；
④y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图像――――――――→关于直线y ＝x 对称y ＝log a x (a ＞0且a ≠1)的图像．
(3)伸缩变换
①y ＝f (x )的图像
y ＝f (ax )的图像；
②y ＝f (x )的图像
―――――――――――――――――――――→a ＞1，纵坐标伸长为原来的a 倍，横坐标不变0＜a ＜1，纵坐标缩短为原来的a ，横坐标不变y ＝af (x )的图像．
(4)翻转变换
①y ＝f (x )的图像―――――――――――→x 轴下方部分翻折到上方
x 轴及上方部分不变y ＝|f (x )|的图像；
②y ＝f (x )的图像――――――――――――――→y 轴右侧部分翻折到左侧
原y 轴左侧部分去掉，右侧不变y ＝f (|x |)的图像．
[知识拓展]
1．一个函数图像的对称关系 (1)函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝f (b －x )，则f (x )的图像关于直线x ＝a ＋b
2对称；
(2)函数f (x )满足关系f (a ＋x )＝－f (b －x )，则f (x )的图像关于点⎝ ⎛⎭
⎪⎫
a ＋
b 2，0对称．
2．两个函数图像的对称关系 (1)函数y ＝f (x )与y ＝f (2a －x )的图像关于直线x ＝a 对称．
(2)函数y ＝f (x )与y ＝2b －f (2a －x )的图像关于点(a ，b )中心对称．
[基本能力自测]
1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝f (1－x )的图像，可由y ＝f (－x )的图像向左平移1个单位得到．( )
(2)函数y ＝f (x )的图像关于y 轴对称即函数y ＝f (x )与y ＝f (－x )的图像关于y 轴对称．( ) (3)当x ∈(0，＋∞)时，函数y ＝f (|x |)的图像与y ＝|f (x )|的图像相同．( )
(4)若函数y ＝f (x )满足f (1＋x )＝f (1－x )，则函数f (x )的图像关于直线x ＝1对称．( )
[答案] (1)× (2)× (3)× (4)√
2．(教材改编)甲、乙二人同时从A 地赶往B 地，甲先骑自行车到两地的中点再改为跑步，乙先跑步到中点再改为骑自行车，最后两人同时到达B 地．已知甲骑车比乙骑车的速度快，且两人骑车速度均大于跑步速度．现将两人离开A 地的距离s 与所用时间t 的函数关系用图像表示，则如图2-7-1的四个函数图像中，甲、乙的图像应该是( )
① ② ③ ④
图2-7-1
A ．甲是图①，乙是图②
B ．甲是图①，乙是图④
C ．甲是图③，乙是图②
D ．甲是图③，乙是图④
B [设甲骑车速度为V 甲骑，甲跑步速度为V 甲跑，乙骑车速度为V 乙骑，乙跑步速度为V 乙跑，依题意V 甲骑＞V 乙骑＞V 乙跑＞V 甲跑，故选B ．]
3．函数f (x )的图像向右平移1个单位长度，所得图像与曲线y ＝e x 关于y 轴对称，则f (x )＝( ) A ．e x ＋1 B ．e x －1
C ．e
－x ＋1
D ．e
－x －1
D [依题意，与曲线y ＝e x 关于y 轴对称的曲线是y ＝e －x ，于是f (x )相当于y ＝e －x 向左平移1个单位的结果，
∴f (x )＝e －(x ＋1)＝e －x －1.] 4．(2017·全国卷Ⅰ)函数y ＝
sin 2x
1－cos x
的部分图像大致为( )
【导学号：00090038】
C [令f (x )＝sin 2x
1－cos x
，
∵f (1)＝
sin 21－cos 1＞0，f (π)＝sin 2π
1－cos π
＝0，
∴排除选项A ，D ．
由1－cos x ≠0得x ≠2k π(k ∈Z )，
故函数f (x )的定义域关于原点对称．
又∵f (－x )＝
sin (－2x )1－cos (－x )＝－sin 2x
1－cos x
＝－f (x )，
∴f (x )为奇函数，其图像关于原点对称，∴排除选项B ．故选C ．] 5．若关于x 的方程|x |＝a －x 只有一个解，则实数a 的取值范围是________．
(0，＋∞) [在同一个坐标系中画出函数y ＝|x |与y ＝a －x 的图像，如图所示．由图像知当a ＞0时，方程|x |＝a －x 只有一个解．]
(对应学生用书第22页)
作函数的图像
(1)y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12|x |；(2)y ＝|log 2(x ＋1)|；
(3)y ＝
2x －1
x －1
；(4)y ＝x 2－2|x |－1. [解] (1)先作出y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像，保留y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x
图像中x ≥0的部分，再作出y
＝ ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的图像中x ＞0部分关于y 轴的对称部分，即得y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫
12|x |的图像，如图①实线部分.
3分
① ②
(2)将函数y ＝log 2x 的图像向左平移一个单位，再将x 轴下方的部分沿x 轴翻折上去，即可得到函数y ＝|log 2(x ＋1)|的图像，如图②. 6分
(3)∵y ＝2＋
1x －1
，故函数图像可由y ＝1
x 图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到，如图③.
9分
③ ④
(4)∵y ＝⎩⎨⎧
x 2
－2x －1，x ≥0，
x 2＋2x －1，x ＜0，
且函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上
的图像，再根据对称性作出(－∞，0)上的图像，得图像如图④. 12分
[规律方法] 画函数图像的一般方法
(1)直接法．当函数表达式(或变形后的表达式)是熟悉的基本函数时，就可根据这些函数的特征直接作出；
(2)图像变换法．若函数图像可由某个基本函数的图像经过平移、翻折、对称得到，可利用图像变换作出．
易错警示：注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响． [变式训练1] 分别画出下列函数的图像： (1)y ＝|lg x |；(2)y ＝sin|x |.
[解] (1)∵y ＝|lg x |＝⎩⎨⎧
lg x ，x ≥1，
－lg x ，0＜x ＜1.
∴函数y ＝|lg x |的图像，如图①.
(2)当x ≥0时，y ＝sin|x |与y ＝sin x 的图像完全相同，又y ＝sin|x |为偶函数，图像关于y 轴对称，其图像如图②.
(1)(2017·全国卷Ⅲ)函数y ＝1＋x ＋sin x
x 2的部分图像大致为( )
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数y ＝f (x )的图像如图2-7-2所示，则y ＝－f (2－x )的图像为( )
【导学号：00090039】
图2-7-2
(1)D (2)B [(1)当x →＋∞时，sin x x 2→0,1＋x →＋∞，y ＝1＋x ＋sin x
x 2→＋∞，故排除选项B ．
当0＜x ＜π2时，y ＝1＋x ＋sin x
x 2＞0，故排除选项A ，C ．
故选D ．
(2)法一：由y ＝f (x )的图像知， f (x )＝⎩⎨⎧
x (0≤x ≤1)，
1(1＜x ≤2).
当x ∈[0,2]时，2－x ∈[0,2]， 所以f (2－x )＝⎩⎨⎧
1(0≤x ＜1)，
2－x (1≤x ≤2)，
故y ＝－f (2－x )＝⎩⎨⎧
－1(0≤x ＜1)，
x －2(1≤x ≤2).图像应为B ．
法二：当x ＝0时，－f (2－x )＝－f (2)＝－1； 当x ＝1时，－f (2－x )＝－f (1)＝－1. 观察各选项，可知应选B ．
法三：先作y ＝f (x )的图像关于y 轴的对称图形(作图过程略)，得到y ＝f (－x )的图像，再把所得图像向右平移两个单位，得到y ＝f (2－x )的图像，再把所得图像关于x 轴对称得到y ＝－f (2－x )的图像，可知应选B ．] [规律方法] 函数图像的识辨可从以下方面入手：
(1)从函数的定义域，判断图像的左右位置；从函数的值域，判断图像的上下位置；
(2)从函数的单调性，判断图像的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图像的对称性； (4)从函数的周期性，判断图像的循环往复； (5)从函数的特征点，排除不合要求的图像．
[变式训练2] (1)已知函数f (x )的图像如图2-7-3所示，则f (x )的解析式可以是
( )
图2-7-3
A ．f (x )＝ln|x |
x
B ．f (x )＝e
x
x C ．f (x )＝1
x 2－1 D ．f (x )＝x －1
x
(2)(2017·河南驻马店二模)函数y ＝a ＋sin bx (b ＞0且b ≠1)的图像如图2-7-4所示，那么函数y ＝log b (x －a )的图像可能是( )
图2-7-4
(1)A (2)C [(1)由函数图像可知，函数f (x )为奇函数，应排除B ，C ．若函数为f (x )＝x －1
x ，则x →＋∞时，f (x )→＋∞，排除D ，故选A ．
(2)由题图可得a ＞1，且最小正周期T ＝2π
b ＜π，所以b ＞2，则y ＝log b (x －a )是增函数，排除A 和B ；当x ＝2时，y ＝log b (2－a )＜0，排除D ，故选C ．]
角度1 研究函数的性质
已知函数f (x )＝x |x |－2x ，则下列结论正确的是( )
A ．f (x )是偶函数，递增区间是(0，＋∞)
B ．f (x )是偶函数，递减区间是(－∞，1)
C ．f (x )是奇函数，递减区间是(－1,1)
D ．f (x )是奇函数，递增区间是(－∞，0)
C [将函数f (x )＝x |x |－2x 去掉绝对值得f (x )＝⎩⎨⎧
x 2
－2x ，x ≥0，
－x 2－2x ，x <0，
画出函数f (x )
的图像，如图，观察图像可知，函数f (x )的图像关于原点对称，故函数f (x )为奇函数，且在(－1,1)上单调递减．]
角度2 确定函数零点的个数
已知f (x )＝
⎩⎨⎧
|lg x |，x >0，
2|x |，x ≤0，则函数y ＝2f 2(x )－3f (x )＋1的零点
个数是________．
5 [方程2f 2(x )－3f (x )＋1＝0的解为f (x )＝1
2或1.作出y ＝f (x )的图像，
由图像知零点的个数为5.] 角度3 求参数的值或取值范围
已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx ，若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的
实根，则实数k 的取值范围为( ) A ．⎝ ⎛
⎭⎪⎫0，12
B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫
12，1
C ．(1,2)
D ．(2，＋∞)
B [先作出函数f (x )＝|x －2|＋1的图像，如图所示，当直线g (x )＝kx 与直线AB 平行时斜率为1，当直线g (x )＝kx 过A 点时斜率为1
2，故f (x )＝g (x )有两个不相等的实根时，k 的取值范围为⎝ ⎛⎭
⎪⎫
12，1]．
角度4 求不等式的解集
函数f (x )是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图像如图2-7-5所
示，那么不等式f (x )
cos x ＜0的解集为________．
【导学号：00090040】
图2-7-5
⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛⎭⎪⎫1，π2 [在⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2上，y ＝cos x ＞0，在⎝ ⎛⎭⎪⎫
π2，4上，y ＝cos x ＜0. 由f (x )的图像知在⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，π2上f (x )cos x ＜0， 因为f (x )为偶函数，y ＝cos x 也是偶函数， 所以y ＝f (x )
cos x 为偶函数，
所以f (x )cos x ＜0的解集为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，－1∪⎝ ⎛
⎭⎪⎫1，π2.]
[规律方法] 函数图像应用的常见题型与求解方法 (1)研究函数性质：
①根据已知或作出的函数图像，从最高点、最低点，分析函数的最值、极值． ②从图像的对称性，分析函数的奇偶性．
③从图像的走向趋势，分析函数的单调性、周期性． ④从图像与x 轴的交点情况，分析函数的零点等．
(2)研究方程根的个数或由方程根的个数确定参数的值(范围)：构造函数，转化
为两函数图像的交点个数问题，在同一坐标系中分别作出两函数的图像，数形结合求解．
(3)研究不等式的解：当不等式问题不能用代数法求解，但其对应函数的图像可作出时，常将不等式问题转化为两函数图像的上、下关系问题，从而利用数形结合求解．。