2020版高考数学大一轮复习第七章不等式、推理与证明7.3基本不等式与绝对值不等式课件

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a+b 2
1.掌握基本不等式 ab ≤
(a>0,b>0)及其应用.
考向分 析
2.会解|x+b|≤c,|x+b|≥c,|x-a|+|x-b|≥c,|x-a|+|x-b|≤c 型不等式. 3.了解不等式||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|. 基本不等式主要考查基本运算与转化化归思想,注重与 函数、充要条件、实际应用等交汇.在求函数的最值时, 应特别注意等号成立的条件. 绝对值不等式是最近两年中新增加的内容,并且在最近 几年的高考中考查频繁,难度也比较大.
7.3
基本不等式与绝对值不等式
-2-
2018 年份 基本不 等式 绝对值 不等式 考查要 求
2017 17,4 分
2016
2015
2014
20,14 分(文) 16,4 分(文) 18,15 分(理) 10,5 分(理) 18,15 分(理) 17,4 分 20,14 分(理) 22,14 分(理)
������+������ 2
������������称为正数 a,b 的几何
������+������ 2 (2)ab≤ (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. 2 ������2 +������2 ������+������ 2 (3) ≥ (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号. 2 2 ������ ������ (4) + ≥2 (a,b 同号),当且仅当 a=b 时取等号. ������ ������
关闭
因为 a,b∈R+,且(a+b)(a+2b)+a+b=9, 所以(a+b)(a+2b+1)=9. 所以(2a+2b)(a+2b+1)=18. 又 3a+4b+1=(2a+2b)+(a+2b+1)≥2 (2������ + 2������)(������ + 2������ + 1)=6 2, 当且仅当 2a+2b=a+2b+1 时,等号成立, 所以 3a+4b 的最小值为 6 2-1.
关闭
∵a>0,b>0,且满足 3a+b=a2+ab, ∴b=
������ 2 -3������ 1-������
>0,解得 1<a<3.
������ 2 -3������ 1-������
则 2a+b=2a+
2
=a-1+
2 ������ -1
+3
≥2 (������-1)· +3=2 2+3,
������ -1
2
1
2(2������ +������ ) ������ ������ ������
+
������ ������
2������ +������ ������
=4+
2������ ������
+
2������ ������
+1=5+2
1 3
������ ������
+
2 1 ������ ������
+42=3 (������ + 3) +
16
16 3+������
+31
≥3×2 (������ + 3) × ������ +3+31=55,当且仅当 x=1,y=10 时取等号.
∴xy+5x+4y 的最小值为 55.
解析 解析 -17答案
考点一
考点二
考点三
考点四
(2)(2018浙江十二校联盟)已知a,b∈R+,且(a+b)· (a+2b)+a+b=9,则 3a+4b的最小值等于 .
关闭
设矩形的长为 x m,宽为 y m,则 x+2y=30, 所以 S=xy= x· (2y)≤
2 1 1 ������ +2������ 2 2 2
=
225 2
,当且仅当 x=2y,即 x=15,y= 时
2
15
取等号.
解析
15 2
关闭
15
解析
答案
-11知识梳理 双击自测
5.已知 a,b∈R,且 a-3b+6=0,则 2a+ ������ 的最小值为
.故
答案为 16.
解析
关闭
B
解析 -13答案
考点一
考点二
考点三
考点四
(2)已知1=x2+4y2-2xy(x<0,y<0),则x+2y的取值范围 为 .
关闭
由题意得(x-y) +3y =1,令 x-y=cos α,y= sin α(α∈(-π,0)),则 x+2y=cos α+ 3sin α=2sin ������ + - π, π 3 π 6 3
1
9
������ +������ ������
+
9(������ +������ ) ������ ������ ������
=10+ +
������ 9������ ������
������
≥10+2
������ ������
· =16
������
9������
当且仅当 =
,即 x=4,y=12 时取“=”
8 4
解析
1 4
关闭
解析
答案
-12知识梳理 双击自测
自测点评 1.应用基本不等式求最值要注意:“一正、二定、三相等”.忽略某 个条件,就会出错. ������ +������ 2 2.对于公式a+b≥2 ������������,ab≤ 2 ,要弄清它们的作用、使用条 件及内在联系,两个公式也体现了ab和a+b的转化关系. 3.在利用不等式求最值时,一定要尽量避免多次使用基本不等式. 若必须多次使用,则一定要保证它们等号成立的条件一致. 4.绝对值不等式使用过程中应该注意不等式方向和等号取到的 条件.
)
关闭
∵ab>0,∴a与b同号,∴|a+b|=|a|+|b|>|a|>|a|-|b|,故①正确,②③错误,④正
确.故选C.
解析
关闭
C
解析 答案 解析 答案
-10知识梳理 双击自测
4.(教材改编)一段长为30 m的篱笆围成一个一边靠的矩形菜园, 墙长18 m,则这个矩形的长为 m,宽为 m时菜 园面积最大.
· =2(当且仅当 a=b 时,等号成立).
������
������
解析
关闭
D
解析 答案
-9知识梳理 双击自测
3.设ab>0,下面四个不等式中,正确的是( ①|a+b|>|a|;②|a+b|<|b|;③|a+b|<|a-b|; ④|a+b|>|a|-|b|. A.①和② B.①和③ C.①和④ D.②和④
2
2
3
,且 x=cos α+ sin α<0,所以������ ∈
3 π 6
3
,α+ ∈ 6
π
5π 6
,-
π 6
,-1≤sin ������ +
<- ,即 x+2y∈[-2,-1).
2
1
解析
关闭
[-2,- 1)
解析 -14答案
考点一
考点二
考点三
考点四
(3)已知a>0,b>0,且满足3a+b=a2+ab,则2a+b的最小值 为 .
������ ������ ������������ ������������
当且仅当 a=b= 时上式取 “=”.
2
1
2
2
解析
关闭
C
解析 答案
-8知识梳理 双击自测
2.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是(
)
A.a2+b2>2ab 1 1 2 C.������ + ������ > ������������
-16-
考点一
考点二
考点三
考点四
对点训练(1)已知正实数x,y满足xy+2x+3y=42,则xy+5x+4y的最 小值为 .
关闭
∵正实数 x,y 满足 xy+2x+3y=42, ∴y= 3+������ >0,x>0,解得 0<x<21.
则 xy+5x+4y=3x+y+42 =3x+
42 -2������ 3+������ 42 -2������
考点一
考点二
考点三
考点四
利用基本不等式求最值(考点难度★★) 1 9 + 【例1】 (1)设x,y∈R 且 ������ + ������ =1,则x+y的最小值 为 .
关闭
∵ + =1,x,y∈R+,
������ ������
1
9
∴x+y=(x+y)· ������ + ������ =
9������ ������
-3知识梳理 双击自测
1.基本不等式: ������������ ≤
(1)基本不等式成立的条件:a>0,b>0. (2)等号成立的条件:当且仅当 a=b 时取等号. (3)其中 平均数. 2.几个重要的不等式 (1)a2+b2≥2ab (a,b∈R),当且仅当 a=b 时取等号.
������+������ 称为正数 a,b 的算术平均数, 2
解析 -18答案
解析
考点一
考点二
考点三
考点四
利用基本不等式求参数范围(考点难度★★) 2 1 【例2】 已知a>0,b>0,且2a+b=1,若不等式 ������ + ������ ≥m恒成立,则m 的最大值等于 ( ) A.10 B.9 C.8 D.7
关闭
∵ + =
������ ������ ������ ������
8
1
.
关闭
由 a-3b+6=0 可知 a-3b=-6, 1 且 2a+8������ =2a+2-3b.因为对于任意 x,2x>0 恒成立, 所以结合基本不等式的结论可得 2a+2-3b≥2× 2������ × 2-3������ =2× ������ -3������ ������ = 3, 1 2 = 2 , 6 2 = 4,当且仅当 即 时等号成立. ������ = 1 ������-3������ = 6, 1 1 综上,可得 2a+ ������ 的最小值为 .
B.a+b≥2 ������������ ������ ������ D.������ + ������ ≥2
关闭
∵a2+b2- 2ab=(a-b)2≥0,∴A 错误;
对于 B,C,当 a<0,b<0 时 ,明显错误; 对于 D,∵ab>0,∴ + ≥2
������ ������ ������ ������ ������ ������
-4知识梳理 双击自测
3.利用基本不等式求最值 已知x>0,y>0,则 (1)如果积xy是定值p,那么当且仅当x=y 时,x+y有最小 值是 (简记:积定和最小). (2)如果和x+y是定值s,那么当且仅当x=y 时,xy有最大 值是 (简记:和定积最大).
-5知识梳理 双击自测
4.绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集
-7知识梳理 双击自测
1.若 a>0,b>0,且 ln(a+b)=0,则 + 的最小值是( A.
1 4 ������ ������
1
1
) D.8
关闭
B.1
C.4
������ + ������ = 1, 由 a>0,b>0,ln(a+b)=0 得 ������ > 0, ������ > 0. 1 1 ������ +������ 1 1 1 故 + = = ≥ ������ +������ 2 = 1 2 =4.
-6知识梳理 双击自测
(3)|x-a|+|x-b|≥c(c>0)和|x-a|+|x-b|≤c(c>0)型不等式的解法. ①利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; ②利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; ③通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思 想. 5.含有绝对值的不等式的性质 |a|+|b| (1)如果a,b是实数,则 |a|-|b| ≤|a±b|≤ ,当且 仅当 ab≥0 时,等号成立. (2)如果a,b,c是实数,那么 |a-c|≤|a-b|+|b-c| ,当且仅当 (a-b)(b-c)≥0 时,等号成立.
≥5+2×2
× =9,当且仅当 a=b= 时取等号,又 + ≥m 恒成立,
∴m≤9,即 m 的最大值等于 9.故选 B.
解析 解析 -19答案
考点一
考点二
考点三
考点四
方法总结1.对含参的不等式求范围问题通常采用分离变量转化 为恒成立问题,对于“恒成立”的不等式,一般的解题方法是先分离然 后求函数的最值. 2.要记住几个常见的有关不等式的等价命题:(1)a>f(x)恒成立 ⇔a>f(x)max;(2)a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min;(3)a>f(x)有解 ⇔f(x)min<a<f(x)max.
当且仅当 a=1+ 2,b= 1 时取等号 .故答案为 3+2 2.
解析
3+2 2
解析
关闭
-15答案
考点一
考点二
考点三
考点四
方法总结求条件最值通常有两种方法: (1)消元法:根据条件建立两个量之间的关系,代入代数式转化为 函数的最值求解; (2)凑配法:条件灵活变形:利用拆项、配凑、常数代换、平方等 技巧进行变形,使之出现“和或积”为常数的式子,然后利用基本不等 式求解最值.
不等式 |x|<a |x|>a a>0 a=0 ⌀ (-∞,0)∪ (0,+∞) a<0 ⌀ R
(-a,a)
(-∞,-a)∪ (a,+∞)
(2)|ax+b|≤c(c>0)和|ax+b|≥c(c>0)型不等式的解法. ①|ax+b|≤c⇔ -c≤ax+b≤c ; ②|ax+b|≥c⇔ ax+b≥c或ax+b≤-c ;
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