2020年陕西省西安市数学高二第二学期期末达标测试试题含解析

2020年陕西省西安市数学高二第二学期期末达标测试试题一、单选题（本题包括12个小题，每小题35，共60分．每小题只有一个选项符合题意）
1．若
2
2,
3
P
π
⎛⎫
⎪
⎝⎭
是极坐标系中的一点，则
855
2,,2,,2,,2,
3333
Q R M N
ππππ
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
----
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
四个点中与
点P重合的点有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C
【解析】
【分析】
分别将各点化为直角坐标即可判断
【详解】
P（2，2
3
π
）化直角坐标为
22
2cos1,2sin3
33
x y
ππ
==-==，即为()
1,3
-
同理
855
2,,2,,2,,2,
3333
Q R M N
ππππ
⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
----
⎪ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
化直角坐标分别为
()()()()
1,3;1,3;1,3;1,3
Q R M N
---
则与点P重合的点有3个．
故选：C．
【点睛】
本题考查了极坐标与直角坐标互化公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．2．命题“且的否定形式是（）
A．且
B．或
C．且
D．或
【答案】D
【解析】
【分析】
【详解】
根据全称命题的否定是特称命题，可知命题“且的否定形式是或
故选D.
考点：命题的否定 3．设2i
z i
=+，则||z =（ ） A ．
5 B ．
25
C ．
15
D ．
125
【答案】A 【解析】 【分析】
根据复数除法运算得到12
55
z i =+，根据复数模长定义可求得结果. 【详解】
()()()21212222555i i i i z i i i i -+====+++-Q ，22
125555z ⎛⎫⎛⎫∴=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
.
故选：A . 【点睛】
本题考查复数模长的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题. 4．若直线不平行于平面，且，则（ ）
A ．内所有直线与异面
B ．内只存在有限条直线与共面
C ．内存在唯一的直线与平行
D ．内存在无数条直线与相交 【答案】D 【解析】 【分析】
通过条件判断直线与平面相交，于是可以判断ABCD 的正误. 【详解】
根据直线不平行于平面，且可知直线与平面相交，于是ABC 错误，故选D. 【点睛】
本题主要考查直线与平面的位置关系，直线与直线的位置关系，难度不大.
5．已知双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，若双曲线C 210x y --=平行，则双曲线C 的离心率为( )
A ．
2
B C D ．
3
【答案】A 【解析】
分析：根据双曲线C 10y --=平行，利用斜率相等列出,a b 的关系式，即可求解双曲线的离心率.
详解：双曲线C 的中心在原点，焦点在y 轴上，
若双曲线C 10y --=平行，
可得
a
b
，即2222222a b c a ==-，
可得2232c a =，∴离心率2
e =，故选A.
点睛：本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题. 离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出,a c ，从而求出e ;②构造,a c 的齐次式，求出e ;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解. 6．已知变量x ，y 之间的一组数据如下表：
由散点图可知变量x ，y 具有线性相关，则y 与x 的回归直线必经过点（ ） A ．()2,2.5 B ．()3,3
C ．()4,3.5
D ．()6,4.8
【答案】C 【解析】 【分析】
由表中数据求出平均数x 和y 即可得到结果. 【详解】
由表中数据知，135744x +++=
=，2+3+4+5
=3.54
y =，
则y 与x 的回归直线必经过点()4,3.5. 故选：C ． 【点睛】
本题主要考查回归分析的基本思想及应用，理解并掌握回归直线方程必经过样本中心点(),x y ，属基础题. 7．函数()1
f x x
=
与两条平行线x e =，4x =及x 轴围成的区域面积是（ ）
A ．2ln21-+
B ．2ln 21-
C ．ln 2-
D ．ln 2
【答案】B 【解析】 【分析】
根据定积分的几何意义直接求出()f x 在区间[,4]e 的定积分，即可得出答案。

【详解】
441ln ln 41=2ln 21e
e dx x x
⎰==-- 故选B 【点睛】
本题考查定积分的几何意义，属于基础题。

8．某人有3个电子邮箱，他要发5封不同的电子邮件，则不同的发送方法有（ ） A ．8种 B ．15种
C ．53种
D ．35种
【答案】C 【解析】
由题意得，每一封不同的电子邮件都有三种不同的投放方式，所以把5封电子邮件投入3个不同的邮箱，共有5333333⨯⨯⨯⨯=种不同的方法，故选C.
9．a ，b ，c 三个人站成一排照相，则a 不站在两头的概率为（ ） A ．
12
B ．
13
C ．
14
D ．
15
【答案】B 【解析】
分析：a ，b ，c 三个人站成一排照相，
总的基本事件为3
36A =种，a 不站在两头，即a 站中间，则有222A =种情况，从而即可得到答案.
详解：a ，b ，c 三个人站成一排照相，总的基本事件为3
36A =种，
a 不站在两头，即a 站中间，则有2
22A =种情况，
则a 不站在两头的概率为21
63
P ==. 故选：B.
点睛：本题考查概率的求法，考查古典概型、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.
10．已知向量()
2
1,2a x x =-+v ，(),1b x =v ，若a v ∥b v ，则x =
A ．1-
B ．
12
C ．32-
D ．12
-
【答案】D 【解析】 【分析】
根据a v
∥b v
得到2
(1)1(2)0x x x -⋅-+=，解方程即得x 的值. 【详解】
根据a v
∥b v
得到2
1(1)1(2)0,120,2
x x x x x -⋅-+=∴--=∴=-. 故答案为D 【点睛】
(1)本题主要考查向量平行的坐标表示，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理计算能力.(2) 如果
a r =11(,)x y ,
b r =22
(,)x y ，则a r ||b r 的充要条件是12210x y x y -=. 11．在如图所示的“茎叶图”表示的数据中，众数和中位数分别（）.
A ．23与26
B ．31与26
C ．24与30
D ．26与30
【答案】B 【解析】 【分析】
根据茎叶图的数据，结合众数与中位数的概念，即可求解，得到答案. 【详解】
根据茎叶图中的数据，可得众数是数据中出现次数最多的数据，即众数为31， 又由中位数的定义，可得数据的中位数为26， 故选B. 【点睛】
本题主要考查了茎叶图的应用，其中解答中正确读取茎叶图的数据，以及熟记众数、中位数的概念是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. 12．在复平面内，复数2
21z i i
=+-+所对应的点在第几象限（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限
【答案】D
【解析】 【分析】
化简复数，找到对应点，判断象限. 【详解】 复数2
212321z i i i i i
=
+-=-+-=-+ 对应点为：(3,2)- 在第四象限 故答案选D 【点睛】
本题考查了复数的计算，属于简单题.
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．设集合{}1,2,3,4,5I =，选择I 的两个非空子集A 和B ，要使B 中最小的数大于A 中最大的数，则不同的选择方法共有________种. 【答案】49 【解析】
试题分析：若集合,A B 中分别有一个元素，则选法种数有2
510=C 种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有3
510=C 种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有
455=C 种；若集合A 中有一个元素，集合B 中有四个元素，则选法种数有5
51=C 种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有3
510=C 种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有两个元素，
则选法种数有455=C 种；若集合A 中有两个元素，集合B 中有三个元素，则选法种数有5
51=C 种；若集合A 中有三个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有4
55=C 种；若集合A 中有三个元素，集合B 中有两个元素，则选法种数有551=C 种；若集合A 中有四个元素，集合B 中有一个元素，则选法种数有5
51
=C 种；总计有49种．故答案应填：49． 考点：组合及组合数公式．
【方法点睛】解法二：集合,A B 中没有相同的元素，且都不是空集，从5个元素中选出2个元素，有2510=C 种选法，小的给A 集合，大的给B 集合；从5个元素中选出3个元素，有3
510=C 种选法，再分成1、2两
组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组给B 集合，共有210=20⨯种方法；从5个元素中选出4个
元素，有4
55=C 种选法，再分成1、3；2、2；3、1两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组给B 集合，共有35=15⨯种方法；从5个元素中选出5个元素，有5
51=C 种选法，再分成
1、4；
2、3；
3、2；
4、1两组，较小元素的一组给A 集合，较大元素的一组给B 集合，共有41=4⨯种
方法；总计为10+20+15+4=49种方法．根据题意，B 中最小的数大于A 中最大的数，则集合,A B 中没有相同的元素，且都不是空集，按,A B 中元素数目这和的情况，分4种情况讨论，分别计算其选法种数，进而相加可得答案．本题考查组合数公式的运用，注意组合与排列的不同，进而区别运用，考查分类讨论的数学思想，属于压轴题．
14．如图，用6种不同的颜色给图中的4个格子涂色，每个格子涂一种颜色，要求最多使用3种颜色且相
邻的两个格子颜色不同，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）．
【答案】390 【解析】 【分析】 【详解】 用2色涂格子有
种方法,
用3色涂格子,第一步选色有,第二步涂色,共有
种,
所以涂色方法种方法,
故总共有390种方法. 故答案为:390
15．已知数列{}n a 是正项数列，n S 是数列{}n a 的前n 项和，且满足112n n n S a a ⎛⎫
=+ ⎪⎝⎭.若11
n n n n a b S S ++=，n T 是数列{}n b 的前n 项和，则99T =_______.
【答案】
9
10
【解析】 【分析】
利用1n n n a S S -=-将112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭变为1
1112)2n n n n n S S S n S S ----⎛⎫=+≥ ⎪⎝⎭
（，整理发现数列{2
n S }为等差数列，求出2
n S ，进一步可以求出n a ，再将n a ，n S 代入n b ，发现可以裂项求n b 的前99项和。

【详解】
112n n n S a a ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭
Q
11112)2n n n n n S S S n S S --⎛⎫∴=+≥ ⎪⎝--⎭
（
11
1
2n n n n n S S S S S --+
-∴-=
2222111
11
(1)1)21(1n n n n n n n n S S S S S S S S S n n n n ---+=
--==+∴∴∴-=+-==≥∴）
当1n =时，11S =
符合=n S
，n S ∴=
1-=-n n n a S S (2)n ≥
当1n =时，11a =
符合n a
n a ∴=
11n n n n a b S S ++=
==
9912399119111010T b b b b =+++=++=-=L L
【点睛】
一般公式1n n n a S S -=-的使用是将1n n S S --变为n a ，而本题是将n a 变为1n n S S --，给后面的整理带来方便。

先求n S ，再求n a ，再求n b ，一切都顺其自然。

16．已知抛物线22x py =上的点(2,2)A ，则A 到准线的距离为________ 【答案】5
2
【解析】 【分析】
利用点的坐标满足抛物线方程，求出p ，然后求解准线方程，即可推出结果。

【详解】
由抛物线22x py =上的点(2,2)A 可得14
p =
，所以抛物线方程：2
2y x =，
准线方程为1
2x =-，则A 到准线的距离为52
故答案为：52
【点睛】
本题考查抛物线方程，需熟记抛物线准线方程的求法，属于基础题。

三、解答题（本题包括6个小题，共70分）
17．已知二项式
n
的展开式的第7项为常数项 （1）求n 的值；
（2）求()
1
23
24...2n n
n n n
n C C C --+++-的值 【答案】 (1) 10n =. (2)0. 【解析】 【分析】 【详解】
分析：（1）利用二项式展开式的通项公式求出展开式的通项，令x 的指数为零，即可求出n 的值；（2）结
合（1）()
1
23
24...2n n
n n n
n C C C --+++-化为()()()()()12310
10
012310
1010101010222 (21)
121
=
02
2
C C C C C +-+-+-++----=--.
详解：（1）二项式通式
1r
n r
r r n
T C -+⎛= ⎝
()5262n r r r
n C x -=-
因为第7项为常数项， 所以
56
026
n ⨯-=， 解得10n = （2）因为10n =，
所以()
1
22
2
24...2n n n n
n C C C --+++- ()92310101010
1024...2C C C =-+++- ()()()()1
2310
12310
10101010
222 (22)
C C C C -+-+-++-=
-
()()()()1
2
3
10
012310
1010101010222 (21)
2
C C C C C +-+-+-++--=
-
当1x =时，()()()10122121010101222C C C -=+-+- ()()310
310
1010
2...2C C +-++- 所以原式()10
121
=
02
--=-
点睛：本题主要考查二项展开式定理的通项与系数以及二项式的应用，属于中档题. 二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：（1）考查二
项展开式的通项公式1r n r r
r n T C a b -+=；（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）（2）考查各项系数和
和各项的二项式系数和；（3）二项展开式定理的应用. 18．已知函数()|21|f x x a =--()a R ∈．
（1）若()f x 在[]1,2-上的最大值是最小值的2倍，解不等式()5f x ≥；
（2）若存在实数x 使得1
()(1)2
f x f x <+成立，求实数a 的取值范围． 【答案】（Ⅰ）31
{|}22
x x x 或≥≤-；（Ⅱ）()2,-+∞.
【解析】
分析：（1）根据()f x 在[]
1,2-上的最大值是最小值的2倍求出a 的值，再解不等式()5f x ≥.(2)先分离参数得4221a x x >--+，再求右边式子的最小值，得到a 的取值范围.
详解：（1）∵[]1,2x ∈-，∴()min 12f x f a ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭
，()()()max 123f x f f a =-==-，
∴32a a -=-，解得3a =-，
不等式()5f x ≥，即212x -≥，解得32x ≥
或12x ≤-， 故不等式()5f x ≥的解集为31|2
2x x x ⎧⎫≥≤-⎨⎬⎩
⎭
或． （2）由()()1
12
f x f x <
+，得4221a x x >--+， 令()4221g x x x =--+，问题转化为()min a g x >，
又()123,,21161,,22123,,2x x g x x x x x ⎧
-+≤-⎪⎪
⎪=-+-<<⎨⎪
⎪
-≥⎪⎩
故()min 122g x g ⎛⎫
==- ⎪⎝⎭，
则2a >-，所以实数a 的取值范围为()2,-+∞．
点睛：（1）本题主要考查不等式的解法和求绝对值不等式的最值，意在考查学生对这些基础知识的掌握能
力.(2)本题易错，得到4221a x x >--+，问题转化为()min a g x >，不是转化为()max a g x >,因为它是存在性问题.
19．已知是复数，与均为实数． （1）求复数； （2）复数在复平面上对应的点在第一象限，求实数的取值范围．
【答案】（Ⅰ） z=4-2i ．（Ⅱ）2＜a ＜6
【解析】 第一问设
所以，
； 由条件得，且 第二问
由条件得：
解：（1）设
所以，； ---------------1分
---------------4分
由条件得，
且，---------------6分 所以
---------------7分 (2)-------------------10分
由条件得：，-------------------12分
解得所以，所求实数的取值范围是-------------------14分
20．若正数,,a b c 满足1a b c ++=，求
111323232
a b c +++++的最小值. 【答案】1
【解析】
试题分析：由柯西不等式得
[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭
33133(32)(32)(32)9(32)(32)(32)
a b c a b c ≥⋅+++=+++，所以1111323232a b c ++≥+++ 试题解析：因为,,a b c 均为正数，且1a b c ++=，
所以(32)(32)(32)9a b c +++++=．
于是由均值不等式可知[]111(32)(32)(32)323232a b c a b c ⎛⎫+++++++ ⎪+++⎝⎭
33133(32)(32)(32)9(32)(32)(32)
a b c a b c ≥⋅+++=+++， 当且仅当13
a b c ===
时，上式等号成立． 从而1111323232
a b c ++≥+++． 故111323232a b c +++++的最小值为1．此时13a b c ===． 考点：柯西不等式
21．等边ABC ∆的边长为3，点D ，E 分别是AB ，BC 上的点，且满足12
AD CE DB EA == (如图(1))，将ADE ∆沿DE 折起到1A DE ∆的位置，使二面角1A DE B --成直二面角，连接1A B ，1A C (如图(2)).
(1)求证：1A D ⊥平面BCED ；
(2)在线段BC 上是否存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒?若存在，求出PB 的长；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）证明见解析；（2）存在点P ，52PB =
. 【解析】
【分析】
（1）通过证明1A D DE ⊥，1A D DB ⊥即可证明1A D ⊥平面BCED ；（2）以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，设()203PB a a =≤≤，然
后并求出平面1A BD 的一个法向量及1PA uu u r 的坐标，最后根据113
sin 60PA DE PA DE
⋅︒==u u u r u u u r u u u r u u u r 即可求出a 的值及PB 的长度.
【详解】
(1)证明 题图(1)中，由已知可得：
2AE =，1AD =，60A =︒. 从而2212212cos603DE =+-⨯⨯⨯︒=.
故得222AD DE AE +=，所以AD DE ⊥，BD DE ⊥.
所以题图(2)中，1A D DE ⊥，BD DE ⊥，
所以1A DB ∠为二面角1A DE B --的平面角，
又二面角1A DE B --为直二面角，
所以190A DB ∠=︒，即1A D DB ⊥，
因为DE DB D ⋂=且DE 、DB ⊂平面BCED ， 所以1A D ⊥平面BCED .
(2)解 存在.由(1)知ED DB ⊥，1A D ⊥平面BCED .
以D 为坐标原点，以射线DB 、DE 、1DA 分别为x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系D xyz -，如图，
过P 作//PH DE 交BD 于点H ，
设()203PB a a =≤≤，则BH a =，3PH a =，2DH a =-，
易知()10,0,1A ，()23,0P a a -，()
3,0E ， 所以()
12,3,1PA a a =--u u u r
. 因为DE ⊥平面1A BD ，
所以平面1A BD 的一个法向量为()
3,0DE =u u u r . 因为直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，所以1213sin 604453PA DE PA DE a a ⋅︒===-+u u u r u u u r u u u r u u u r ，解得
54
a =. 所以522
PB a ==，满足03a ≤≤，符合题意. 所以在线段BC 上存在点P ，使直线1PA 与平面1A BD 所成的角为60︒，此时52PB =
. 【点睛】
本题主要考查线面垂直的证明及通过建立空间直角坐标系并表示出平面的法向量及直线的方向向量的坐标，解决已知直线和平面所成的角求参数的值问题，属中等难度题.
22．选修4-5：不等式选讲
设函数()2f x x a =+.
(Ⅰ)若不等式()1f x ≤的解集是{}|1x x b -≤≤，求实数,a b 的值；
(Ⅱ)若()234f x x --≤对一切x R ∈恒成立，求实数a 的取值范围.
【答案】 (1) 10
a b =⎧⎨=⎩;(2) 实数a 的取值范围是[]10,2--. 【解析】
分析：(1)先根据不等式解集与对应方程根的关系得11212
a a
b --⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,再解得10a b =⎧⎨=⎩. (2)先根据绝对值三角不等式得()23f x x --最大值为6a +，再解不等式64a +≤得实数a 的取值范围.
详解：(Ⅰ)由()1f x ≤,可得21x a +≤,
得121x a -≤+≤,解得1122
a a x ---≤≤. 因为不等式()1f x ≤的解集是 {}
1x x b -≤≤, 所以11212
a a
b --⎧=-⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,解得10a b =⎧⎨=⎩. (Ⅱ)()23223226f x x x a x x a x Q --=+--=+--
()2262266x a x x a x a ≤+--=+-+=+，
若()234f x x --≤对一切x R ∈恒成立,则64a +≤．
解得464a -≤+≤,即102a -≤≤-．故实数a 的取值范围是[]
10,2--.
点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求
解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．。