《平均数》教学设计课题

第六章数据的分析
1．平均数（第1课时）
一、学情与教材分析
1.学情分析
学生在小学已经初步学习过算术平均数的概念，会简单地求一组数据的算术平均数，并会单一地用算术平均数理解一组数据的平均水平．在相关知识的学习过程中，学生已经经历了一些统计活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数据收集和处理的必要性和作用，获得了从事统计活动所必须的一些数学活动经验，具备了一定的合作与交流的能力．
2.教材分析
本节是义务教育课程标准北师大版实验教科书八年级（上）第六章《数据的分析》第一节第1课时．本节课的教学任务是：理解算术平均数、加权平均数的概念，会求一组数据的算术平均数和加权平均数，能解决有关平均数的实际问题，发展学生的数学应用能力，达成有关的情感态度目标．
二、教学目标
1.掌握算术平均数、加权平均数的概念，会求一组数的算术平均数和加权平均数．
2.经历数据的收集与处理的过程，发展学生初步的统计意识和数据处理的能力；通过有关平均数问题的解决，发展学生的数学应用能力．
3.通过小组合作活动，培养学生的合作意识；通过解决实际问题，让学生体会数学与生活的密切联系．
三、教学重难点
教学重点：求一组数的算术平均数和加权平均数．
教学难点：如何求一组数的算术平均数和加权平均数．
四、教法建议
总体思路是：实际问题→平均数的概念→解决实际问题．
先从学生熟悉的现实背景抽象出算术平均数、加权平均数的概念，然后在理解概念的基础上，解决有关平均数的实际问题．
五、教学设计
（一）课前设计
1．预习任务
任务1：回忆平均数，还记得怎么求平均数吗？那什么又是算术平均数呢？
（观看《平均数与加权平均数》新知讲解00:00-01:42）
任务2：做一做课本p137例题，结合例题，你理解了什么是加权平均数吗？
（观看《平均数与加权平均数》新知讲解01:43-05:52）
2．预习自测
一、选择题
1．一组数据2，3，5，7，8的平均数是（）
A．2 B．3 C．4 D．5
答案：D
解析：数据2，3，5，7，8的平均数==5．
点拨：根据平均数的定义计算．
2．某校调查了20名同学某一周玩手机游戏的次数，调查结果如下表所示，那么这20名同学玩手机游戏次数的平均数为（）
A．5 B．5.5 C．6 D．6.5
答案：B
解析：平均数为=5.5．
点拨：需先根据加权平均数的求法，列出式子，解出结果即可．
二、填空题
3．在校园歌手大赛中，参赛歌手的成绩为5位评委所给分数的平均分．各位评委给某位歌手的分数分别是92，93，88，87，90，则这位歌手的成绩是_________．答案：90
解析：这位参赛选手在这次比赛中获得的平均分为：（92+93+88+87+90）÷5=90（分）．
点拨：根据算术平均数的计算公式，把这5个分数加起来，再除以5，即可得出答案．
4．某校欲招聘一名数学老师，甲、乙两位应试者经审查符合基本条件，参加了笔试和面试，他们的成绩如右表所示，请你按笔试成绩占40%，面试成绩占60%选出综合成绩较高的应试者是___________．
答案：甲
解析：甲的平均成绩为：80×40%+90×60%=86（分），
乙的平均成绩为：85×40%+86×60%=85.6（分），
因为甲的平均分数最高，所以甲将被录取．
点拨：根据题意先算出甲、乙两人的加权平均数，再进行比较，即可得出答案．(或点击“随堂训练”，选择“《平均数（1）》预习自测”)
（二）课堂设计
本节课设计了五个教学环节：第一环节：情境引入；第二环节：探究发现；第三环节：知识运用；第四环节：随堂检测；第五环节：课堂小结．第一环节：情境引入
内容：
1. 投影展示课本章前文字、章前图和一组问题，引入本章主题．
2. 用篮球比赛引入本节课题：
篮球运动是大家喜欢的一种运动项目，尤其男生们更倍爱有加．下面播放一段CBA（中国篮球协会）2011—2012赛季“冠军队”和“亚军队”的一场比赛片段，请同学们欣赏．
在学生观看了篮球比赛的片段后，请同学们思考：
（1）影响比赛成绩的因素有哪些？
（心理、技术、配合、身高、年龄等因素）
（2）如何衡量两个球队队员的身高？怎样理解“甲队队员的身高比乙队更高”？要比较两个球队队员的身高，需要收集哪些数据呢？
（收集两个球队队员的身高，并用两个球队队员身高的平均数作出判断）
在学生的议论交流中引入本节课题：“平均数”．
目的：创设接近学生生活的问题情境，让学生在轻松愉快的环境中，思考现实生活中收集数据、处理数据，并用数据的平均数作出判断的必要性．在课题引入中，激发学生学习本章新知识的兴趣，调动其积极性．
注意事项：本环节一要“有趣”，二要“紧凑”，达到引入课题，调动学生学习积极性的目的既可，不宜将时间拖得过长．
第二环节：探究发现
内容1：算术平均数
投影教材提供的中国男子篮球职业联赛 2011—2012 赛季冠亚军球队队员身高、年龄的表格，提出问题：
“北京金隅队”和“广东东莞银行队”两支篮球队中，哪支球队队员的身高更高？哪支球队队员更为年轻？你是怎样判断的？与同伴交流．（1）学生先独立思考，计算出平均数，然后在小组交流．
（2）各小组之间竞争回答，答对的打上星，给予鼓励．
答案：北京金隅队队员的平均身高为1.98m，平均年龄为25.4 岁；
广东东莞银行队队员的平均身高为2.00 m，平均年龄为24.1岁．
所以，广东东莞银行队队员的身高更高，更为年轻．
教师小结：日常生活中我们常用平均数来表示一组数据的“平均水平”．
一般地，对于n个数x
1，x
2
，…，x
n
，我们把
n
1
（x
1
＋x
2
＋…＋x
n
），叫做这n
个数的算术平均数，简称平均数，记为x．
目的：独立思考是合作探究的一个前提，所以学习算术平均数的过程中让先学生独立思考，然后再与同伴交流．
小组之间竞争回答问题，让学生经历体验竞争的过程，并以打星的方式给予评价，旨在激发学生的积极性．
内容2：加权平均数
想一想：小明是这样计算北京金隅队队员的平均年龄的：
平均年龄﹦（19×1+22×4+23×2+26×2+27×1+28×2+29×2+35×1）÷
（1+4+2+2+1+2+2+1）﹦25.4（岁）
你能说说小明这样做的道理吗？
学生经过讨论后可知，小明的做法还是根据算术平均数的公式进行计算的，只是在求相同加数的和时用了乘法，因此这是一种求算术平均数的简便方法．例1：某广告公司欲招聘广告策划人员一名，对A、B、C三名候选人进行了三项素质测试．他们的各项测试成绩如下表所示：
（1）如果根据三项测试的平均成绩确定录用人选，那么谁将被录用？
（2）根据实际需要，公司将创新、综合知识和语言三项测试得分按4：3：1的比例确定各人的测试成绩，此时谁将被录用？
引导学生思考讨论：第（1）（2）问中录用的人不一样说明了什么？从而认识由于测试的每一项的重要性不同，所以所占的比份也不同，计算出的平均数就不同，因此重要性的差异对结果的影响是很大的．
在学生认识的基础上，教师结合例1给出加权平均数的概念：
实际问题中，一组数据里的各个数据的“重要程度”未必相同，因而，在计算这组数据的平均数时，往往给每个数据一个“权”．如例1中4，3，1分别是创新、综合知识、语言三项测试成绩的权，而称
1
3
4
1 88
3
50
4
72
+
+
⨯+
⨯
+
⨯
为A的三项测试成绩的加权平均数．
目的：“想一想”是从算术平均数到加权平均数的一个台阶，想让学生顺利完成新知识的建构．例1是引导学生思考重要性的差异对结果（平均数）的影响，以引入加权平均数的概念并加以诠释．
注意事项：本环节是这一节课的重点，教学的层次要清楚，从两个篮球队队员的平均身高和平均年龄问题引入算术平均数概念，再从“想一想”过渡到加权平均数的概念．整个教学过程中要充分发挥学生的主观能动性，让他们积极思考，
合作探究，学会新知．
第三环节：知识运用
内容：1. 某次体操比赛，六位评委对选手的打分（单位：分）如下：
9.5 ，9.3 ，9.1 ，9.5 ，9.4 ，9.3.
（1）求这六个分数的平均分．
（2）如果规定：去掉一个最高分和一个最低分，余下分数的平均值作为选手的最后得分，那么该选手的最后得分是多少？
2. 某校在期末考核学生的体育成绩时，将早锻炼及体育课外活动表现占成绩的20%，体育理论测试占30%，体育技能测试占50%．小颖的上述成绩分别为92分、80分、84分，则小颖这学期的体育成绩是多少？
3. 从一批机器零件毛坯中取出20件，称得它们的质量如下：（单位：千克）
2001 2007 2002 2006 2005
2006 2001 2009 2008 2010
（1）试求这批零件质量的平均数．
（2）你能用新的简便方法计算它们的平均数吗？
目的：第1，2题是课本上的题，分别是算术平均数和加权平均数的直接应用，巩固本节课的“双基”内容．第3题是补充的题，考查学生能否将大数据转化为小数据，用新的简便方法求出平均数，以培养学生的思维能力和创新意识．注意事项：对学生的练习结果做适当的评价．
第四环节：随堂检测
一、选择题
1．如果一组数据3，7，2，a，4，6的平均数是5，则a的值是（）A．8 B．5 C．4 D．3
答案：A
解析：∵数据3，7，2，a，4，6的平均数是5，∴（3+7+2+a+4+6）÷6=5，解得：a=8．
点拨：根据算术平均数的计算公式得出（3+7+2+a+4+6）÷6=5，再进行求解即可．
2．8个数的平均数12，4个数的平均为18，则这12个数的平均数为（）
A．12 B．13 C．14 D．15
答案：C
解析：8个数的平均数12，4个数的平均为18，则这12个数的总和为8×12+4×18=168，故其平均数为=14．
点拨：只要运用求平均数公式：即可求出，为简单题．
二、填空题
3．一组数据2，3，6，8，11的平均数是__________．
答案：6
解析：（2+3+6+8+11）÷5=30÷5=6，所以这组数据的平均数是6．
点拨：首先求出2，3，6，8，11的和是多少；然后用2，3，6，8，11的和除以5，求出一组数据2，3，6，8，11的平均数是多少即可．
4．某校规定学生的体育成绩由三部分组成，早晨锻炼及体育课外活动表现占成绩的15%，体育理论测试占35%，体育技能测试占50%，小明的上述三项成绩依次是94分，90分，96分，则小明这学期的体育成绩是__________分．答案：93.6
解析：由题意知，小明的体育成绩=94×15%+90×35%+96×50%=93.6（分）．故小明的体育成绩是93.6分．
点拨：因为早晨锻炼及体育课外活动表现占成绩的15%，体育理论测试占35%，体育技能测试占50%，利用加权平均数的公式即可求出答案．
三、解答题
5．设一组数据x
1，x
2
，…，x
n
的平均数为m，求下列各组数据的平均数：
（1）x
1+3，x
2
+3，…，x
n
+3；
（2）2x
1，2x
2
，…，2x
n
．
答案：见解析
解析：设一组数据x
1，x
2
，…，x
n
的平均数是m，即=，
则x
1+x
2
+…+x
n
=mn．
（1）∵x
1
+x
2
+…+x
n
=mn，
∴x
1
+3+x
2
+3+…+x
n
+3=mn+3n，
∴x
1+3，x
2
+3，…，x
n
+3的平均数是=m+3；
（2）∵x
1+x
2
+…+x
n
=mn，
∴2x
1+2x
2
+…+2x
n
=2mn，
∴2x
1，2x
2
，…，2x
n
的平均数是=2m．
点拨：首先根据求平均数的公式：=，得出x
1+x
2
+…+x
n
，
再利用此公式求出（1）x
1+3，x
2
+3，…，x
n
+3以及（2）2x
1
，2x
2
，…，2x
n
的平
均数．
（或点击“随堂训练”，选择“《平均数（1）》随堂检测”）
第五环节：课堂小结
引导学生用“我知道了…”，“我发现了…”，“我学会了…”，“我想我以后将…”的语言小结算术平均数和加权平均数的概念及运用．
目的：发挥学生的主观能动性，培养学生归纳总结知识的能力．
注意事项：不要用教师的“一言堂”代替学生的“群言堂”．
布置作业：
1. 课本习题6.1的第1，2，3，4，5题．
2. 为了反映你们的家乡近几年的变化，请各小组自己命题，并设计方案，利用双休日展开调查、汇总，用平均数的有关知识进行分析，并写出调查报告．（三）课后作业
基础型
一、选择题
1．一组数据2，0，﹣2，1，3的平均数是（）
A．2 B．1.5 C．1 D．0.8
答案：D
解析：==0.8，∴这组数据的平均数是0.8．
点拨：根据算术平均数的定义代入计算即可．
2．已知一组数据x
1、x
2
、x
3
、x
4
、x
5
的平均数是5，则另一组新数组x
1
+1、x
2
+2、
x 3+3、x
4
+4、x
5
+5的平均数是（）
A．6 B．8 C．10 D．无法计算
答案：B
解析：∵数x
1、x
2
、x
3
、x
4
、x
5
的平均数为5
∴数x
1+x
2
+x
3
+x
4
+x
5
=5×5
∴x
1+1、x
2
+2、x
3
+3、x
4
+4、x
5
+5的平均数
=（x
1+1+x
2
+2+x
3
+3+x
4
+4+x
5
+5）÷5
=（5×5+15）÷5 =8．
点拨：根据平均数的性质知，要求x
1+1，x
2
+2，x
3
+3，x
4
+4、x
5
+5的平均数，只
要把数x
1、x
2
、x
3
、x
4
、x
5
的和表示出即可．
二、填空题
3．某小组10个人在一次数学小测试中，有3个人的平均成绩为96，其余7个人的平均成绩为86，则这个小组的本次测试的平均成绩为___________．
答案：89
解析：∵有3个人的平均成绩为96，其余7个人的平均成绩为86，
∴这个小组的本次测试的总成绩为：3×96+7×86=890，
∴这个小组的本次测试的平均成绩为：=89．
点拨：先求出总成绩，再运用求平均数公式：即可求出平均成绩．
4．如果数据1，4，x，5的平均数是3，那么x=___________．
答案：2
解析：根据题意得：（1+4+x+5）=3，解得x=2．
点拨：根据平均数的概念建立关于x的方程，然后解方程即可．
三、解答题
5．某班有学生52人，期末数学考试平均成绩是72分，有两名同学下学期要转学，已知他俩的成绩分别为70分和80分，求他俩转学后该班的数学平均分．答案：71.88分
解析：根据题意得：52人总分为52×72=3744（分），则50人平均分为
=71.88（分）．
点拨：先求出52个人的总分数，再求出50人的总分数，最后除以总人数50即可．
能力型
一、选择题
1．x
1，x
2
，…，x
10
的平均数为a，x
11
，x
12
，…，x
50
的平均数为b，则x
1
，x
2
，…，
x
50
的平均数为（）
A．a+b B． C． D．
答案：D
解析：前10个数的和为10a，后40个数的和为40b，50个数的平均数为．点拨：先求前10个数的和，再求后40个数的和，然后利用平均数的定义求出50个数的平均数．
2．某汽车从甲地以速度v
1匀速行驶至乙地后，又从乙地以速度v
2
匀速返回甲地，
则汽车在整个行驶过程中的平均速度为（）
A．B．C． D．
答案：D
解析：设两地距离为S，从甲地行驶至乙地的时间为T
1
，从乙地返回甲地的时间
为T
2，则有T
1
=，T
2
=；
∴平均速度===；
点拨：由题意知，设两地距离为S，从甲地行驶至乙地的时间为T
1
，从乙地返回
甲地的时间为T
2，则利用时间的计算公式求得T
1
及T
2
，再利用平均速度的计算
公式即可求得平均速度．
二、填空题
3．某班在一次考试中，男生的数学平均成绩为118分，女生的数学平均成绩为
122分．若男生人数多于女生人数，则该班数学平均成绩__________120分（填“大于”或“等于”或“小于”）．
答案：小于
解析：若设男生人数为x人，女生人数为y人，依题意得：x＞y，则120x﹣118x
＞122y﹣120y，120（x+y）＞118x+122y，因此＜120．
点拨：平均数的计算要用的所有的数据，它能够充分利用到数据提供的信息，在现实生活中比较常用．
三、解答题
4．将最小的31个自然数分成A、B两组，10在A组中，如果把10从A组移到B
组，则A组中各数的算术平均数增加，B组中各数的算术平均数也增加．问A组中原有多少个数？
答案：见解析
解析：由于把10从A组移到B组后，算术平均数增加了，故我们不妨先假设A 组中的数从10开始至最大的数30，B组中的数为0至9，然后逐步调整．这时，A组中有数21个，其平均数为20，B组中有数10个，平均数为4.5，将10调至B组后，B组中的平均数为5，增加了0.5，调出10后，A组中的平均数为20.5，由此可知这样分组已符合条件，故A组中原有21个数．
点拨：先将问题简单化，我们不妨先假设A组中的数从10开始至最大的数30，B组中的数为0至9，然后逐步调整．若经调换后不符合条件，则可继续将A组中的某些数进行调换，调出或调进或与B组对调．
探究型
一、填空题
1．10个人围成一个圆圈做游戏．游戏的规则是：每个人心里都想好一个数，并把自己想好的数如实地告诉与他相邻的两个人，然后每个人将与他相邻的两个人告诉他的数的平均数报出来．若报出来的数如图所示，则报3的人心里想的数是___________．
答案：﹣2
解析：设报3的人心里想的数是x，因为报3与报5的两个人报的数的平均数是4，所以报5的人心里想的数应是8﹣x，
于是报7的人心里想的数是12﹣（8﹣x）=4+x，
报9的人心里想的数是16﹣（4+x）=12﹣x，
报1的人心里想的数是20﹣（12﹣x）=8+x，
报3的人心里想的数是4﹣（8+x）=﹣4﹣x，
所以得x=﹣4﹣x，解得x=﹣2．
点拨：先设报3的人心里想的数为x，利用平均数的定义表示报5的人心里想的数；报7的人心里想的数；报9的人心里想的数；报1的人心里想的数，最后建立方程，解方程即可．
二、解答题
2．某班为了从甲、乙两同学中选出班长，进行了一次演讲答辩与民主测评．A、B、C、D、E五位老师作为评委，对“演讲答辩”情况进行评价，全班50位同学参与了民主测评．结果如下表所示：
表1 演讲答辩得分表（单位：分）
表2 民主测评票数统计表（单位：张）
规定：演讲答辩得分按“去掉一个最高分和一个最低分再算平均分”的方法确定；民主测评得分=“好”票数×2分+“较好”票数×1分+“一般”票数×0分；
综合得分=演讲答辩得分×（1﹣a）+民主测评得分×a（0.5≤a≤0.8）．
（1）当a=0.6时，甲的综合得分是多少？
（2）a在什么范围时，甲的综合得分高？a在什么范围时，乙的综合得分高？答案：见解析
解析：（1）甲的演讲答辩得分=（分），
甲的民主测评得分=40×2+7×1+3×0=87（分），
当a=0.6时，甲的综合得分=92×（1﹣0.6）+87×0.6=36.8+52.2=89（分）；答：当a=0.6时，甲的综合得分是89分；
（2）∵乙的演讲答辩得分=（分），
乙的民主测评得分=42×2+4×1+4×0=88（分），
∴乙的综合得分为：89（1﹣a）+88a，甲的综合得分为：92（1﹣a）+87a，
当92（1﹣a）+87a＞89（1﹣a）+88a时，即有，
又0.5≤a≤0.8，
∴0.5≤a＜0.75时，甲的综合得分高；
当92（1﹣a）+87a＜89（1﹣a）+88a时，即有，
又0.5≤a≤0.8，
∴0.75＜a≤0.8时，乙的综合得分高．
答：当0.5≤a＜0.75时，甲的综合得分高，0.75＜a≤0.8时，乙的综合得分高．点拨：（1）由题意可知：分别计算出甲的演讲答辩得分以及甲的民主测评得分，再将a=0.6代入公式计算可以求得甲的综合得分；（2）同（1）一样先计算出乙的演讲答辩得分以及乙的民主测评得分，则乙的综合得分=89（1﹣a）+88a，甲的综合得分=92（1﹣a）+87a，再分别比较甲、乙的综合得分，甲的综合得分高时即当甲的综合得分＞乙的综合得分时，可以求得a的取值范围；同理甲的综合得分高时即当甲的综合得分＜乙的综合得分时，可以求得a的取值范围．3．甲、乙两同学做“投球进筐”游戏．商定：每人玩5局，每局在指定线外将一个皮球投往筐中，一次未进可再投第二次，以此类推，但最多只能投6次，当投进后，该局结束，并记下投球次数；当6次都未投进时，该局也结束，
并记为“×”．两人五局投球情况如下：
（1）为了计算得分，双方约定：记“×”的该局得0分，其他局得分的计算方法要满足两个条件：
①投球次数越多，得分越低；②得分为正数．请你按约定的要求，用公式、表格、语言叙述等方式选取其中一种写出一个将其他局的投球次数n 换算成得分M 的具体方案；
（2）请根据上述约定和你写出的方案，计算甲、乙两人的每局得分，填入下面的表格中，并从平均分的角度来判断谁投得更好．
答案：见解析
解析：解法1：（1）其他局投球次数n 换算成该局得分M 的公式为M=7﹣n ． （2）
甲
=（分）．乙
=
（分）．
故以此方案来判断：乙投得更好．
解法2：（1）其他局投球次数n 换算成该局得分M 的方案如下表（2）
甲
=（分）．
乙
=（分）．
故以此方案来判断：乙投得更好．
点拨：（1）由于得分要满足“①投球次数越多，得分越低；②得分为正数”的条件，故可用M=7﹣n 来表示其他局投球次数n 换算成该局得分M 的公式；（2）按M=7﹣n 计算每人的成绩，填入表格，根据平均数的概念计算平均成绩后比较两人的成绩．
（或点击“随堂训练”，选择“《平均数（1）》基础型”、“《平均数（1）》能力型”、“《平均数（1）》探究型”）。