2020-2021武汉中考数学 二次函数综合试题

2020-2021武汉中考数学二次函数综合试题
一、二次函数
1．如图，抛物线y＝ax2+bx+3（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣1，抛物线交x轴于A、C两点，与直线y＝x﹣1交于A、B两点，直线AB与抛物线的对称轴交于点E．
（1）求抛物线的解析式．
（2）点P在直线AB上方的抛物线上运动，若△ABP的面积最大，求此时点P的坐标．（3）在平面直角坐标系中，以点B、E、C、D为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出符合条件点D的坐标．
【答案】(1)y＝﹣x2﹣2x+3；(2)点P(
3
2
-，15
4
)；(3)符合条件的点D的坐标为D1(0，3)，
D2(﹣6，﹣3)，D3(﹣2，﹣7)．
【解析】
【分析】
(1)令y＝0，求出点A的坐标，根据抛物线的对称轴是x＝﹣1，求出点C的坐标，再根据待定系数法求出抛物线的解析式即可；
(2)设点P(m，﹣m2﹣2m+3)，利用抛物线与直线相交，求出点B的坐标，过点P作PF∥y 轴交直线AB于点F，利用S△ABP＝S△PBF+S△PFA，用含m的式子表示出△ABP的面积，利用二次函数的最大值，即可求得点P的坐标；
(3)求出点E的坐标，然后求出直线BC、直线BE、直线CE的解析式，再根据以点B、E、
C、D为顶点的四边形是平行四边形，得到直线D1D2、直线D1D3、直线D2D3的解析式，即可求出交点坐标．
【详解】
解：(1)令y＝0，可得：x﹣1＝0，解得：x＝1，
∴点A(1，0)，
∵抛物线y＝ax2+bx+3(a≠0)的对称轴为直线x＝﹣1，
∴﹣1×2﹣1＝﹣3，即点C(﹣3，0)，
∴
30
9330
a b
a b
++
⎧
⎨
-+
⎩
＝
＝
，解得：
1
2
a
b
-
⎧
⎨
-
⎩
＝
，
＝
∴抛物线的解析式为：y＝﹣x2﹣2x+3；(2)∵点P在直线AB上方的抛物线上运动，
∴设点P(m ，﹣m 2﹣2m+3)，
∵抛物线与直线y ＝x ﹣1交于A 、B 两点，
∴2231y x x y x ⎧--+⎨-⎩
＝＝ ，解得：1145x y -⎧⎨
-⎩＝＝，2210
x y ＝，＝⎧⎨
⎩
∴点B(﹣4，﹣5)，
如图，过点P 作PF ∥y 轴交直线AB 于点F ，
则点F(m ，m ﹣1)，
∴PF ＝﹣m 2﹣2m+3﹣m+1＝﹣m 2﹣3m+4， ∴S △ABP ＝S △PBF +S △PFA ＝
12(﹣m 2﹣3m+4)(m+4)+1
2
(﹣m 2﹣3m+4)(1﹣m) ＝-
52（m+32 ）2+
125
8
， ∴当m ＝3
2
-时，P 最大， ∴点P(32-
，154
). (3)当x ＝﹣1时，y ＝﹣1﹣1＝﹣2， ∴点E(﹣1，﹣2)，
如图，直线BC 的解析式为y ＝5x+15，直线BE 的解析式为y ＝x ﹣1，直线CE 的解析式为y ＝﹣x ﹣3，
∵以点B 、C 、E 、D 为顶点的四边形是平行四边形，
∴直线D 1D 3的解析式为y ＝5x+3，直线D 1D 2的解析式为y ＝x+3，直线D 2D 3的解析式为y ＝﹣x ﹣9，
联立53
3y x y x +⎧⎨
+⎩
＝＝ 得D 1(0，3)， 同理可得D 2(﹣6，﹣3)，D 3(﹣2，﹣7)，
综上所述，符合条件的点D 的坐标为D 1(0，3)，D 2(﹣6，﹣3)，D 3(﹣2，﹣7)．
【点睛】
本题考查二次函数的综合应用，解决第(2)小题中三角形面积的问题时，找到一条平行或垂直于坐标轴的边是关键；对于第(3)小题，要注意分类讨论、数形结合的运用，不要漏解．
2．已知，点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，直线y＝mx+5分别交x轴正半轴，y轴于点A，B．
（1）判断顶点M是否在直线y＝4x+1上，并说明理由．
（2）如图1，若二次函数图象也经过点A，B，且mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1，根据图象，写出x的取值范围．
（3）如图2，点A坐标为（5，0），点M在△AOB内，若点C（1
4
，y1），D（
3
4
，y2）
都在二次函数图象上，试比较y1与y2的大小．
【答案】（1）点M在直线y＝4x+1上；理由见解析；（2）x的取值范围是x＜0或x＞
5；（3）①当0＜b＜1
2
时，y1＞y2，②当b＝
1
2
时，y1＝y2，③当
1
2
＜b＜
4
5
时，y1＜
y2．
【解析】
【分析】
（1）根据顶点式解析式，可得顶点坐标，根据点的坐标代入函数解析式检验，可得答案；（2）根据待定系数法，可得二次函数的解析式，根据函数图象与不等式的关系：图象在下方的函数值小，可得答案；
（3）根据解方程组，可得顶点M的纵坐标的范围，根据二次函数的性质，可得答案．【详解】
（1）点M为二次函数y＝﹣（x﹣b）2+4b+1图象的顶点，
∴M的坐标是（b，4b+1），
把x＝b代入y＝4x+1，得y＝4b+1，
∴点M在直线y＝4x+1上；
（2）如图1，
直线y＝mx+5交y轴于点B，
∴B点坐标为（0，5）又B在抛物线上，
∴5＝﹣（0﹣b）2+4b+1＝5，解得b＝2，
二次函数的解析是为y＝﹣（x﹣2）2+9，
当y＝0时，﹣（x﹣2）2+9＝0，解得x1＝5，x2＝﹣1，
∴A（5，0）．
由图象，得
当mx+5＞﹣（x﹣b）2+4b+1时，x的取值范围是x＜0或x＞5；（3）如图2，
∵直线y＝4x+1与直线AB交于点E，与y轴交于F，
A（5，0），B（0，5）得
直线AB的解析式为y＝﹣x+5，
联立EF，AB得方程组
41
5 y x
y x
=+
⎧
⎨
=-+
⎩
，
解得
4
5
21
5
x
y
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
，
∴点E（4
5，
21
5
），F（0，1）．
点M在△AOB内，
1＜4b+1＜21
5
，
∴0＜b＜4
5
．
当点C，D关于抛物线的对称轴对称时，b﹣1
4
＝
3
4
﹣b，∴b＝
1
2
，
且二次函数图象开口向下，顶点M在直线y＝4x+1上，
综上：①当0＜b＜1
2
时，y1＞y2，
②当b＝1
2
时，y1＝y2，
③当1
2
＜b＜
4
5
时，y1＜y2．
【点睛】
本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是把点的坐标代入函数解析式检验；解（2）的关键是利用函数图不等式的关系：图象在上方的函数值大；解（3）的关键是解方程组得出顶点M 的纵坐标的范围，又利用了二次函数的性质：a ＜0时，点与对称轴的距离越小函数值越大．
3．如图，抛物线212222
y x x =-++与x 轴相交于A B ，两点，（点A 在B 点左侧）与y 轴交于点C.
（Ⅰ）求A B ，两点坐标.
（Ⅱ）连结AC ，若点P 在第一象限的抛物线上，P 的横坐标为t ，四边形ABPC 的面积为S.试用含t 的式子表示S ，并求t 为何值时，S 最大.
（Ⅲ）在（Ⅱ）的基础上，若点,G H 分别为抛物线及其对称轴上的点，点G 的横坐标为m ，点H 的纵坐标为n ，且使得以,,,A G H P 四点构成的四边形为平行四边形，求满足条件的,m n 的值.
【答案】（Ⅰ）(2,0),2,0)A B ；（Ⅱ）22
(2)42(022)2
S t t =--+<<,当2t =
时，42S =最大；（Ⅲ）满足条件的点m n 、的值为：23
24
m n =-
=，或52154m n =
=-，或321
4
m n == 【解析】 【分析】
（Ⅰ）令y=0，建立方程求解即可得出结论；
（Ⅱ）设出点P 的坐标，利用S=S △AOC +S 梯形OCPQ +S △PQB ，即可得出结论；
（Ⅲ）分三种情况，利用平行四边形的性质对角线互相平分和中点坐标公式建立方程组即可得出结论． 【详解】
解：（Ⅰ）抛物线212222
y x x =-++， 令0y =，则2122022
x x -
++=， 解得：2x =-或22x =， ∴()()
2,0,22,0A B - （Ⅱ）由抛物线212
222
y x x =-
++，令0x =，∴2y =，∴()0,2C ， 如图1，点P 作PQ x ⊥轴于Q ， ∵P 的横坐标为t ，∴设(),P t p ， ∴212
2,22,22
p t t PQ p BQ t OQ t =-++==-=， ∴()()
111
22222222
AOC
PQB
OCPQ S S
S S
p t t p =++=⨯⨯++⨯+⨯-⨯梯形 11
222222
t pt p pt p t =++
+-=++ 212
22222t t t ⎛⎫=-++++ ⎪ ⎪⎝⎭ ()
2
22
42(022)2
t t =--+<<，
∴当2t =时，42S =最大；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，2t =，
∴)
2,2P
，
∵抛物线21222y x x =-
++的对称轴为2
x =
，
∴设21,2,222G m m m H n ⎛⎫⎛⎫-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
以,,,A G H P 四点构成的四边形为平行四边形，()
A ， ①当AP 和HG 为对角线时，
∴
()211111,2022
2222m m n ⎛⎛⎫=++=-+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
∴3
24
m n =-
=， ②当AG 和PH 是对角线时，
∴(()211111,20222222m m n ⎛⎫=-++=+ ⎪ ⎪⎭⎝⎭
，
∴15
4
m n =
=-， ③AH 和PG 为对角线时，
∴
(()211111,22022222
m m n ⎛⎛⎫=+-+++=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，
∴1
4
m n ==， 即：满足条件的点m n 、的值为：
324m n =-
=，或15
,24
m n ==-，或124m n =-= 【点睛】
此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，三角形的面积公式，梯形的面积公式，平行四边形的性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
4．已知，抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A （﹣1，0）和C （0，3）． （1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P ，使PA +PC 的值最小？如果存在，请求出点P 的坐标，如果不存在，请说明理由；
（3）设点M 在抛物线的对称轴上，当△MAC 是直角三角形时，求点M 的坐标．
【答案】（1）2
23y x x =-++；（2）当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2；
（3）点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,3⎛⎫- ⎪⎝⎭
. 【解析】 【分析】
()1由点A 、C 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，利用二次函数图象上点的坐
标特征可求出点B 的坐标，由点B 、C 的坐标利用待定系数法即可求出直线BC 的解析式，利用配方法可求出抛物线的对称轴，再利用一次函数图象上点的坐标特征即可求出点P 的坐标；
()3设点M 的坐标为()1,m ，则22CM (10)(m 3)=
-+-，
()22AC [01](30)10=--+-=，()22AM [11](m 0)=--+-，分
AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，利用勾股定理可得出关于m 的一元二次方程或一元一次方程，解之可得出m 的值，进而即可得出点M 的坐标． 【详解】
解：()1将()1,0A -、()0,3C 代入2
y x bx c =-++中，
得：{
10
3b c c --+==，解得：{
2
3b c ==，
∴抛物线的解析式为223y x x =-++．
()2连接BC 交抛物线对称轴于点P ，此时PA PC +取最小值，如图1所示．
当0y =时，有2230x x -++=， 解得：11x =-，23x =，
∴点B 的坐标为()3,0．
抛物线的解析式为2
2
23(1)4y x x x =-++=--+，
∴抛物线的对称轴为直线1x =．
设直线BC 的解析式为()0y kx d k =+≠， 将()3,0B 、()0,3C 代入y kx d =+中， 得：{
30
3k d d +==，解得：{
1
3k d =-=，
∴直线BC 的解析式为3y x =-+．
当1x =时，32y x =-+=，
∴当PA PC +的值最小时，点P 的坐标为()1,2．
()3设点M 的坐标为()1,m ，
则22(10)(3)CM m =-+-，()22[01](30)10AC =--+-=，
()22[11](0)AM m =--+-．
分三种情况考虑：
①当90AMC ∠=时，有222AC AM CM =+，即22101(3)4m m =+-++，
解得：11m =，22m =，
∴点M 的坐标为()1,1或()1,2；
②当90ACM ∠=时，有222AM AC CM =+，即224101(3)m m +=++-，
解得：83
m =
， ∴点M 的坐标为81,3⎛⎫
⎪⎝⎭
；
③当90CAM ∠=时，有222CM AM AC =+，即221(3)410m m +-=++，
解得：23
m =-
， ∴点M 的坐标为21,.3⎛
⎫- ⎪⎝
⎭
综上所述：当MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为()1,1、()1,2、81,3⎛⎫ ⎪⎝⎭或21,.3⎛⎫- ⎪⎝⎭
【点睛】
本题考查待定系数法求二次(一次)函数解析式、二次(一次)函数图象的点的坐标特征、轴对称中的最短路径问题以及勾股定理，解题的关键是：()1由点的坐标，利用待定系数法求出抛物线解析式；()2由两点之间线段最短结合抛物线的对称性找出点P 的位置；()3分AMC 90∠=、ACM 90∠=和CAM 90∠=三种情况，列出关于m 的方程．
5．已知抛物线2y ax bx c =++上有两点M (m +1，a )、N (m ，b ). (1)当a ＝－1，m ＝1时，求抛物线2y ax bx c =++的解析式； (2)用含a 、m 的代数式表示b 和c ；
(3)当a ＜0时，抛物线2y ax bx c =++满足24b ac a -=，2b c a +≥，34
m ≤-， 求a 的取值范围. 【答案】（1）11
b c =⎧⎨=⎩；（2）b=-am ，c=-am ；（3）161
393a -≤≤- 【解析】 【分析】
（1）根据题意得到M (2，－1)、N (1，b )，代入抛物线解析式即可求出b 、c ；
（2）将点M (m +1，a )、N (m ，b )代入抛物线2
y ax bx c =++，可得
22
(1)(1)a m b m c a
am bm c b
⎧++++=⎨++=⎩，化简即可得出；
（3）把b am =-，c am =-代入24b ac a -=可得2
1
4a m m
=
+，把b am =-，c am =-代入2b c a +≥可得1m ≥-，然后根据m 的取值范围可得a 的取值范围.
【详解】
解：(1)∵a ＝－1，m ＝1，∴M (2，－1)、N (1，b )
由题意，得4211b c b c b -++=-⎧⎨-++=⎩，解，得1
1b c =⎧⎨
=⎩
(2) ∵点M (m +1，a )、N (m ，b )在抛物线2y ax bx c =++上
22
(1)(1)a m b m c a am bm c b ⎧++++=⎨++=⎩①
②
①－②得，2am b b +=-，∴b am =-
把b am =-代入②，得c am =-
(3)把b am =-，c am =-代入24b ac a -=得2224a m a m a +=
0a <，221
41,4am am a m m
∴+=∴=
+
把b am =-，c am =-代入2b c a +≥得22am a -≥，1m ∴≥-
34m ≤-，314
m ∴-≤≤-
224(2)4m m m +=+-，当2m >-时，24m m +随m 的增大而增大
239
3416
m m ∴-≤+≤-
216113943
m m ∴-≤≤-+ 即161393a -
≤≤- 【点睛】
本题考查待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，由函数图像上点的坐标特征求出b am =-，c am =-是解题关键.
6．在平面直角坐标系xOy 中（如图）．已知抛物线y=﹣12
x 2
+bx+c 经过点A （﹣1，0）和点B （0，
5
2
），顶点为C ，点D 在其对称轴上且位于点C 下方，将线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处． （1）求这条抛物线的表达式； （2）求线段CD 的长；
（3）将抛物线平移，使其顶点C 移到原点O 的位置，这时点P 落在点E 的位置，如果点M 在y 轴上，且以O 、D 、E 、M 为顶点的四边形面积为8，求点M 的坐标．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+5
2
；（2）线段CD 的长为2；（3）M 点的坐标为（0，72）或（0，﹣7
2
）． 【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式； （2）利用配方法得到y=﹣
12（x ﹣2）2+9
2
，则根据二次函数的性质得到C 点坐标和抛物
线的对称轴为直线x=2，如图，设CD=t ，则D （2，9
2
﹣t ），根据旋转性质得∠PDC=90°，DP=DC=t ，则P （2+t ，
92﹣t ），然后把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+5
2
得到关于t 的方程，从而解方程可得到CD 的长；
（3）P 点坐标为（4，
92），D 点坐标为（2，5
2
），利用抛物线的平移规律确定E 点坐标为（2，﹣2），设M （0，m ），当m ＞0时，利用梯形面积公式得到12•（m+5
2
+2）•2=8
当m ＜0时，利用梯形面积公式得到12•（﹣m+5
2
+2）•2=8，然后分别解方程求出m 即可得到对应的M 点坐标．
【详解】（1）把A （﹣1，0）和点B （0，
52）代入y=﹣1
2
x 2+bx+c 得 1
0252b c c ⎧--+=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
，解得252b c =⎧⎪
⎨=⎪⎩，
∴抛物线解析式为y=﹣12x 2+2x+5
2
； （2）∵y=﹣12（x ﹣2）2+9
2
， ∴C （2，
9
2
），抛物线的对称轴为直线x=2， 如图，设CD=t ，则D （2，9
2
﹣t ），
∵线段DC 绕点D 按顺时针方向旋转90°，点C 落在抛物线上的点P 处， ∴∠PDC=90°，DP=DC=t ，
∴P （2+t ，
9
2﹣t ）， 把P （2+t ，92﹣t ）代入y=﹣12x 2+2x+52得﹣12（2+t ）2+2（2+t ）+52=9
2
﹣t ，
整理得t 2﹣2t=0，解得t 1=0（舍去），t 2=2， ∴线段CD 的长为2；
（3）P 点坐标为（4，
92），D 点坐标为（2，5
2
）， ∵抛物线平移，使其顶点C （2，9
2
）移到原点O 的位置，
∴抛物线向左平移2个单位，向下平移9
2
个单位，
而P点（4，9
2
）向左平移2个单位，向下平移
9
2
个单位得到点E，
∴E点坐标为（2，﹣2），设M（0，m），
当m＞0时，1
2
•（m+
5
2
+2）•2=8，解得m=
7
2
，此时M点坐标为（0，
7
2
）；
当m＜0时，1
2
•（﹣m+
5
2
+2）•2=8，解得m=﹣
7
2
，此时M点坐标为（0，﹣
7
2
）；
综上所述，M点的坐标为（0，7
2
）或（0，﹣
7
2
）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题，涉及到待定系数法、抛物线上点的坐标、旋转的性质、抛物线的平移等知识，综合性较强，正确添加辅助线、运用数形结合思想熟练相关知识是解题的关键.
7．课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
【答案】（1）240
7
mm，
480
7
mm；（2）PN=60mm，40
PQ mm．
【解析】 【分析】
(1)、设PQ=y （mm ），则PN=2y （mm ），AE=80-y （mm ），根据平行得出△APN 和△ABC 相似，根据线段的比值得出y 的值，然后得出边长；(2)、根据第一题同样的方法得出y 与x 的函数关系式，然后求出S 与x 的函数关系式，根据二次函数的性质得出最大值. 【详解】
(1)、设PQ=y （mm ），则PN=2y （mm ），AE=80-y （mm ） ∵PN ∥BC, ∴=，△APN ∽△ABC
∴= ∴=
∴=
解得 y=
∴2y=
∴这个矩形零件的两条边长分别为
mm ，
mm
(2)、设PQ=x （mm ），PN=y （mm ），矩形面积为S ，则AE=80-x （mm ）．. 由（1）知=
∴=
∴ y=
则S=xy==
=
∵
∴ S 有最大值
∴当x=40时，S 最大=2400（mm 2） 此时，y=
=60 ．
∴面积达到这个最大值时矩形零件的两边PQ 、PN 长分别是40 mm ，60 mm ． 考点：三角形相似的应用
8．如图，抛物线2y ax bx c =++的图象过点(
10)(30)(03)A B C ﹣，、，、，.
（1）求抛物线的解析式；
（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P ，使得△PAC 的周长最小，若存在，请求出点P 的坐标及△PAC 的周长；若不存在，请说明理由；
（3）在（2）的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在点M （不与C 点重合），使得
PAM PAC S S ∆∆＝？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）2
23y x x =++-；（2）存在，点(1
2)P ，1032；（3）存在，点M 坐标为(1
4)， 【解析】 【分析】
（1）由于条件给出抛物线与x 轴的交点1030A B （﹣，）、（，）
，故可设交点式13y a x x +＝（）（﹣），把点C 代入即求得a 的值，减小计算量．
（2）由于点A 、B 关于对称轴：直线1x ＝对称，故有PA PB ＝，则
PAC C AC PC PA AC PC PB ∆++++＝＝，所以当C 、P 、B 在同一直线上时，
PAC C AC CB ∆+＝最小．利用点A 、B 、C 的坐标求AC 、CB 的长，求直线BC 解析式，把
1x ＝代入即求得点P 纵坐标．
（3）由PAM PAC S S ∆∆＝可得，当两三角形以PA 为底时，高相等，即点C 和点M 到直线PA 距离相等．又因为M 在x 轴上方，故有//CM PA ．由点A 、P 坐标求直线AP 解析式，即得到直线CM 解析式．把直线CM 解析式与抛物线解析式联立方程组即求得点M 坐标． 【详解】
解：（1）∵抛物线与x 轴交于点1030A B （﹣，）、（，）
∴可设交点式13y a x x +＝（
）（﹣） 把点03C （，）代入得：33a ﹣＝
1a ∴＝﹣
21323y x x x x ∴+++＝-（）（﹣）＝﹣
∴抛物线解析式为223y x x ++＝-
（2）在抛物线的对称轴上存在一点P ，使得PAC ∆的周长最小． 如图1，连接PB 、BC
∵点P 在抛物线对称轴直线1x ＝上，点A 、B 关于对称轴对称
PA PB ∴＝
PAC C AC PC PA AC PC PB ∆∴++++＝＝
∵当C 、P 、B 在同一直线上时，PC PB CB +＝最小
103003A B C （﹣，）、（，）、（，）
AC BC ∴===
PAC C AC CB ∆∴+＝
设直线BC 解析式为3y kx +＝
把点B 代入得：330k +＝，解得：1k ＝﹣ ∴直线BC ：3y x +＝﹣
132P y ∴+＝﹣＝
∴点12P （，）使PAC ∆
． （3）存在满足条件的点M ，使得PAM PAC S S ∆∆＝． ∵PAM PAC S S ∆∆＝S △PAM ＝S △PAC ∴当以PA 为底时，两三角形等高 ∴点C 和点M 到直线PA 距离相等 ∵M 在x 轴上方
//CM PA ∴
1012A P （﹣，），（，）
，设直线AP 解析式为y px d +＝ 02p d p d -+=⎧∴⎨+=⎩ 解得：p 1
d 1=⎧⎨=⎩
∴直线1AP y x +：＝
∴直线CM 解析式为：3y x +＝
2
3
23
y x y x x =+⎧⎨=-++⎩ 解得：1103x y =⎧⎨=⎩（即点C ），22
14x y =⎧⎨=⎩
∴点M 坐标为14（，）
【点睛】
考查了待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式，轴对称的最短路径问题，勾股定理，平行线间距离处处相等，一元二次方程的解法．其中第（3）题条件给出点M 在x 轴上方，无需分类讨论，解法较常规而简单．
9．已知，m ，n 是一元二次方程x 2+4x +3=0的两个实数根，且|m |＜|n |，抛物线y =x 2+bx +c 的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），如图所示． （1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x 轴的另一个交点为抛物线的顶点为D ，求出点C ，D 的坐标，并判断△BCD 的形状；
（3）点P 是直线BC 上的一个动点（点P 不与点B 和点C 重合），过点P 作x 轴的垂线，交抛物线于点M ，点Q 在直线BC 上，距离点P 为2个单位长度，设点P 的横坐标为t ，△PMQ 的面积为S ，求出S 与t 之间的函数关系式．
【答案】（1）2
23y x x =--；（2）C （3，0），D （1，﹣4），△BCD 是直角三角形；
（3）2213
(03)22
13(03)2
2t t t S t t t t ⎧-+⎪⎪=⎨⎪-⎪⎩＜＜＜或＞
【解析】
试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与x 轴的交点，再判断出△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，
从而得到结论；
（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P 在点M 上方和下方，分别计算即可． 试题解析：解（1）∵2+430x x +=，∴11x =-，23x =-，∵m ，n 是一元二次方程
2+430x x +=的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线2
23
y x x =--的图象经过点A （m ，0），B （0，n ），∴10{3b c c -+==-，∴2
{3
b c =-=-，∴抛物线解析式为
223y x x =--；
（2）令y=0，则2230x x --=，∴11x =-，23x =，∴C （3，0），
∵223y x x =--=2(1)4x --，∴顶点坐标D （1，﹣4），过点D 作DE ⊥y 轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC 和△BED 都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD 是直角三角形；
（3）如图，∵B （0，﹣3），C （3，0），∴直线BC 解析式为y=x ﹣3，∵点P 的横坐标为t ，PM ⊥x 轴，∴点M 的横坐标为t ，∵点P 在直线BC 上，点M 在抛物线上，∴P （t ，t ﹣3），M （t ，223t t --），过点Q 作QF ⊥PM ，∴△PQF 是等腰直角三角形，∵PQ=2，∴QF=1．
①当点P 在点M 上方时，即0＜t ＜3时，PM=t ﹣3﹣（223t t --）=23t t -+，
∴S=
12
PM×QF=21(3)2t t -+=213
22t t -+，②如图3，当点P 在点M 下方时，即t ＜0或t
＞3时，PM=223t t --﹣（t ﹣3）=23t t -，∴S=12PM×QF=12
（23t t -）=213
22t t -．
综上所述，S=2213
(03)22
{13 (03)22
t t t t t t t 或-+<<-．
考点：二次函数综合题；分类讨论．
10．如图，抛物线y=﹣（x ﹣1）2+c 与x 轴交于A ，B （A ，B 分别在y 轴的左右两侧）两点，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为D ，已知A （﹣1，0）．
（1）求点B ，C 的坐标；
（2）判断△CDB 的形状并说明理由；
（3）将△COB 沿x 轴向右平移t 个单位长度（0＜t ＜3）得到△QPE ．△QPE 与△CDB 重叠部分（如图中阴影部分）面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围． 【答案】(Ⅰ)B(3，0)；C(0，3)；(Ⅱ)CDB ∆为直角三角形；
(Ⅲ)22333(0)22
1933(3)2
22t t t S t t t ⎧-+<≤⎪⎪=⎨⎪=-+<<⎪⎩.
【解析】 【分析】
（1）首先用待定系数法求出抛物线的解析式，然后进一步确定点B ，C 的坐标． （2）分别求出△CDB 三边的长度，利用勾股定理的逆定理判定△CDB 为直角三角形． （3）△COB 沿x 轴向右平移过程中，分两个阶段： ①当0＜t≤3
2
时，如答图2所示，此时重叠部分为一个四边形； ②当
3
2＜t ＜3时，如答图3所示，此时重叠部分为一个三角形． 【详解】
解：(Ⅰ)∵点()1,0A -在抛物线()2
1y x c =--+上，
∴()2
011c =---+，得4c =
∴抛物线解析式为：()2
14y x =--+，
令0x =，得3y =，∴()0,3C ； 令0y =，得1x =-或3x =，∴()3,0B . (Ⅱ)CDB ∆为直角三角形.理由如下： 由抛物线解析式，得顶点D 的坐标为()1,4. 如答图1所示，过点D 作DM x ⊥轴于点M ，
则1OM =，4DM =，2BM OB OM =-=.
过点C 作CN DM ⊥于点N ，则1CN =，1DN DM MN DM OC =-=-=. 在Rt OBC ∆中，由勾股定理得：22223332BC OB OC =+=+=； 在Rt CND ∆中，由勾股定理得：2222112CD CN DN =+=+=； 在Rt BMD ∆中，由勾股定理得：22222425BD BM DM =+=+=.
∵222BC CD BD +=， ∴CDB ∆为直角三角形.
(Ⅲ)设直线BC 的解析式为y kx b =+， ∵()()3,0,0,3B C ，
∴303k b b +=⎧⎨=⎩
，
解得1,3k b =-=，
∴3y x =-+，
直线QE 是直线BC 向右平移t 个单位得到，
∴直线QE 的解析式为：()33y x t x t =--+=-++； 设直线BD 的解析式为y mx n =+， ∵()()3,0,1,4B D ， ∴30
4
m n m n +=⎧⎨
+=⎩，解得：2,6m n =-=，
∴26y x =-+.
连续CQ 并延长，射线CQ 交BD 交于G ，则3,32G ⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 在COB ∆向右平移的过程中： (1)当3
02
t <≤
时，如答图2所示：
设PQ 与BC 交于点K ，可得QK CQ t ==，3PB PK t ==-. 设QE 与BD 的交点为F ，则：26
3y x y x t
=-+⎧⎨
=-++⎩.
解得32x t
y t
=-⎧⎨
=⎩，
∴()3,2F t t -.
111
222
QPE PBK FBE F S S S S PE PQ PB PK BE y ∆∆∆=--=
⋅-⋅-⋅ ()2
21113333232222
t t t t t =⨯⨯---⋅=-+. (2)当
3
32
t <<时，如答图3所示：
设PQ 分别与BC BD 、交于点K 、点J . ∵CQ t =，
∴KQ t =，3PK PB t ==-.
直线BD 解析式为26y x =-+，令x t =，得62y t =-， ∴(),62J t t -.
11
22
PBJ PBK S S S PB PJ PB PK ∆∆=-=
⋅-⋅ ()()()2
11362322
t t t =
---- 219322
t t =-+. 综上所述，S 与t 的函数关系式为：22333022193332
22t t t S t t t ⎧⎛
⎫-+<≤ ⎪⎪⎪⎝
⎭=⎨
⎛⎫
⎪=-+<< ⎪⎪⎝⎭⎩.
11．已知，如图，抛物线2(0)y ax bx c a =++≠的顶点为(1,9)M ，经过抛物线上的两点
(3,7)A --和(3,)B m 的直线交抛物线的对称轴于点C ．
（1）求抛物线的解析式和直线AB 的解析式．
（2）在抛物线上,A M 两点之间的部分（不包含,A M 两点），是否存在点D ，使得
2DAC DCM S S ∆∆=？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）若点P 在抛物线上，点Q 在x 轴上，当以点,,,A M P Q 为顶点的四边形是平行四边形时，直接写出满足条件的点P 的坐标．
【答案】（1）抛物线的表达式为：2
28y x x =-++，直线AB 的表达式为：
21y x =-；（2）存在，理由见解析；点P (6,16)-或(4,16)--或(17,2)+或(17,2)．
【解析】 【分析】
（1）二次函数表达式为：y=a （x-1）2+9，即可求解； （2）S △DAC =2S △DCM ，则
()()
()()()2111
2821139112222
DAC
C A S
DH x x x x x x =
-=-++-++=--⨯，，即可求解；
（3）分AM 是平行四边形的一条边、AM 是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即
可． 【详解】
解：（1）二次函数表达式为：()2
19y a x =-+， 将点A 的坐标代入上式并解得：1a =-， 故抛物线的表达式为：2
28y x x =-++…①， 则点()3,5B ，
将点,A B 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线AB 的表达式为：21y x =-； （2）存在，理由：
二次函数对称轴为：1x =，则点()1,1C ， 过点D 作y 轴的平行线交AB 于点H ，
设点()
2
,28D x x x -++，点(),21H x x -，
∵2DAC DCM S S ∆∆=， 则()()
()()()2111
2821139112222
DAC
C A S
DH x x x x x x =
-=-++-++=--⨯， 解得：1x =-或5（舍去5）， 故点()1,5D -；
（3）设点(),0Q m 、点(),P s t ，228t s s =-++， ①当AM 是平行四边形的一条边时，
点M 向左平移4个单位向下平移16个单位得到A ，
同理，点(),0Q m 向左平移4个单位向下平移16个单位为()4,16m --，即为点P ， 即：4m s -=，6t -=，而228t s s =-++， 解得：6s =或﹣4， 故点()6,16P -或()4,16--； ②当AM 是平行四边形的对角线时，
由中点公式得：2m s +=-，2t =，而228t s s =-++，
解得：17s =±，
故点(
)17,2P +或()
17,2-；
综上，点()6,16P -或()4,16--或(
)17,2+或()
17,2-． 【点睛】
本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、平行四边形性质、图形的面积计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
12．如图①，抛物线2(1)y x a x a =-++-与x 轴交于A 、B 两点(点A 位于点B 的左侧)，与y 轴交于点C ，已知ABC ∆的面积为6. (1)求a 的值；
(2)求ABC ∆外接圆圆心的坐标；
(3)如图②，P 是抛物线上一点，点Q 为射线CA 上一点，且P 、Q 两点均在第三象限内，Q 、A 是位于直线BP 同侧的不同两点，若点P 到x 轴的距离为d ，QPB ∆的面积为2d ，且PAQ AQB ∠=∠，求点Q 的坐标.
【答案】(1)-3；(2)坐标(-1，1)；(3)Q ()4,1-. 【解析】 【分析】
（1）利用抛物线解析式得到A 、B 、C 三点坐标，然后利用三角形面积公式列出方程解出a ；（2）利用第一问得到A 、B 、C 三点坐标，求出AC 解析式，找到AC 垂直平分线的解析式，与AB 垂直平分线解析式联立，解出x 、y 即为圆心坐标；（3）过点P 做PD ⊥x 轴，PD =d ，发现△ABP 与△QBP 的面积相等，得到A 、D 两点到PB 得距离相等，可得AQ PB ∥，求出PB 解析式，与二次函数解析式联立得到P 点坐标，又易证
ABQ QPA ∆∆≌，得到BQ =AP 26Q 点坐标，点与点的距离列出方程，解出Q 点坐
标即可 【详解】
(1)解：由题意得()()1y x x a =--- 由图知：0a ＜
所以A (,0a )，()10
B ,,()0,
C a - ()()1
12
ABC S a a ∆=
-⋅-=6
34()a a =-=或舍
∴
3a =-
(2)由(1)得A (-3,0)，()10
B ,,()0,3
C ∴直线AC 得解析式为：3y x
AC 中点坐标为33,22⎛⎫-
⎪⎝⎭
∴AC 的垂直平分线为：y x =-
又∵AB 的垂直平分线为：1x =-
∴1y x x =-⎧⎨=-⎩ 得11x y =-⎧⎨=⎩
ABC ∆外接圆圆心的坐标(-1，1). (3)解：过点P 做PD ⊥x 轴 由题意得：PD =d ，
∴1
2
ABP S PD AB ∆=⋅
=2d
∵QPB ∆的面积为2d
∴ABP BPQ S S ∆∆=，即A 、D 两点到PB 得距离相等 ∴AQ PB ∥
设PB 直线解析式为;y x b =+过点(1,0)B ∴1y x =-
∴2
123y x y x x =-⎧⎨=--+⎩易得45x y =-⎧⎨=⎩ 1
()0x y =⎧⎨=⎩舍 所以P (-4,-5),
由题意及PAQ AQB ∠=∠ 易得：ABQ QPA ∆∆≌
∴BQ=AP=26
设Q(m，-1)(0
m＜)
∴()22
1126
m
-+=
4
m=-
∴Q()4,1
-.
【点睛】
本题考查二次函数综合性问题，涉及到一次函数、三角形外接圆圆心、全等三角形等知识点，第一问关键在于用a表示出A、B、C三点坐标；第二问关键在于找到AC垂直平分线的解析式，与AB垂直平分线解析式；第三问关键在于能够求出PB的解析式
13．如图，已知抛物线经过点A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点，点D与点C关于x轴对称，点P是x轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q，交直线BD于点M．
（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；
（2）已知点F（0，1
2
），当点P在x轴上运动时，试求m为何值时，四边形DMQF是平
行四边形？
（3）点P在线段AB运动过程中，是否存在点Q，使得以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣1
2
x2+
3
2
x+2；（2）m=﹣1或m=3时，四边形DMQF是平行四边形；
（3）点Q的坐标为（3，2）或（﹣1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．
【解析】
分析：（1）待定系数法求解可得；
（2）先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=1
2
x-2，则Q（m，-
1
2
m2+
3
2
m+2）、M
（m，1
2
m-2），由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF，据此列出关于m的
方程，解之可得；
（3）易知∠ODB=∠QMB ，故分①∠DOB=∠MBQ=90°，利用△DOB ∽△MBQ 得
12DO MB OB BQ ==，再证△MBQ ∽△BPQ 得BM BP BQ PQ
=，即214 132222
m
m m -=
-++，解之
即可得此时m 的值；②∠BQM=90°，此时点Q 与点A 重合，△BOD ∽△BQM′，易得点Q 坐标．
详解：（1）由抛物线过点A （-1，0）、B （4，0）可设解析式为y=a （x+1）（x-4）， 将点C （0，2）代入，得：-4a=2， 解得：a=-
1
2
， 则抛物线解析式为y=-
12（x+1）（x-4）=-12
x 2+3
2x+2；
（2）由题意知点D 坐标为（0，-2）， 设直线BD 解析式为y=kx+b ，
将B （4，0）、D （0，-2）代入，得：
402k b b +⎧⎨
-⎩＝＝，解得：122
k b ⎧
⎪⎨⎪-⎩＝
＝， ∴直线BD 解析式为y=1
2
x-2， ∵QM ⊥x 轴，P （m ，0），
∴Q （m ，--12m 2+3
2m+2）、M （m ，12
m-2），
则QM=-
12m 2+32m+2-（12m-2）=-1
2m 2+m+4，
∵F （0，1
2
）、D （0，-2）， ∴DF=
52
， ∵QM ∥DF ，
∴当-
12m 2+m+4=5
2
时，四边形DMQF 是平行四边形， 解得：m=-1（舍）或m=3，
即m=3时，四边形DMQF 是平行四边形； （3）如图所示：
∵QM∥DF，
∴∠ODB=∠QMB，
分以下两种情况：
①当∠DOB=∠MBQ=90°时，△DOB∽△MBQ，
则
21
=
42 DO MB
OB BQ
==，
∵∠MBQ=90°，
∴∠MBP+∠PBQ=90°，∵∠MPB=∠BPQ=90°，∴∠MBP+∠BMP=90°，∴∠BMP=∠PBQ，
∴△MBQ∽△BPQ，
∴BM BP
BQ PQ
=，即
2
14
13
22
22
m
m m
-
=
-++，
解得：m1=3、m2=4，
当m=4时，点P、Q、M均与点B重合，不能构成三角形，舍去，
∴m=3，点Q的坐标为（3，2）；
②当∠BQM=90°时，此时点Q与点A重合，△BOD∽△BQM′，
此时m=-1，点Q的坐标为（-1，0）；
综上，点Q的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B、Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．
点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质及分类讨论思想的运用．
14．如图，抛物线与x轴交于点A（，0）、点B（2，0），与y轴交于点C（0，1），连接BC．
（1）求抛物线的函数关系式；
（2）点N为抛物线上的一个动点，过点N作NP⊥x轴于点P，设点N的横坐标为t （），求△ABN的面积S与t的函数关系式；
（3）若且时△OPN∽△COB，求点N的坐标．
【答案】（1）；（2）；（3）（，
）或（1，2）．
【解析】
试题分析：（1）可设抛物线的解析式为，用待定系数法就可得到结论；
（2）当时，点N在x轴的上方，则NP等于点N的纵坐标，只需求出AB，就可得到S与t的函数关系式；
（3）由相似三角形的性质可得PN=2PO．而PO=，需分和0＜t＜2两种情况讨论，由PN=2PO得到关于t的方程，解这个方程，就可得到答案．
试题解析：（1）设抛物线的解析式为，把C（0，1）代入可得：
，∴，∴抛物线的函数关系式为：，即
；
（2）当时，＞0，∴NP===，
∴S=AB•PN==；
（3）∵△OPN∽△COB，∴，∴，∴PN=2PO．
①当时，PN===，PO==，∴，整理得：，解得：=，=，∵＞0，＜＜0，∴t=，此时点N的坐标为（，）；
②当0＜t＜2时，PN===，PO==t，∴，整理
得：，解得：=，=1．∵＜0，0＜1＜2，∴t=1，此时点N的坐标为（1，2）．
综上所述：点N的坐标为（，）或（1，2）．
考点：1．二次函数综合题；2．待定系数法求二次函数解析式；3．相似三角形的性质．
15．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=1
2
x2+
3
2
x﹣2与x轴交于A，B两点（点A
在点B的左侧），与y轴交于点C，直线l经过A，C两点，连接BC．
（1）求直线l的解析式；
（2）若直线x=m（m＜0）与该抛物线在第三象限内交于点E，与直线l交于点D，连接OD．当OD⊥AC时，求线段DE的长；
（3）取点G（0，﹣1），连接AG，在第一象限内的抛物线上，是否存在点P，使
∠BAP=∠BCO﹣∠BAG？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=
1
2
2
x
--；（2）DE=
32
25
；（3）存在点P（
13
9
，
98
81
），使
∠BAP=∠BCO﹣∠BAG，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）根据题目中的函数解析式可以求得点A和点C的坐标，从而可以求得直线l的函数解析式；
（2）根据题意作出合适的辅助线，利用三角形相似和勾股定理可以解答本题；
（3）根据题意画出相应的图形，然后根据锐角三角函数可以求得∠OAC=∠OCB ，然后根据题目中的条件和图形，利用锐角三角函数和勾股定理即可解答本题．
【详解】
（1）∵抛物线y=12x 2+32
x-2， ∴当y=0时，得x 1=1，x 2=-4，当x=0时，y=-2，
∵抛物线y=
12x 2+32
x-2与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ， ∴点A 的坐标为（-4，0），点B （1，0），点C （0，-2）， ∵直线l 经过A ，C 两点，设直线l 的函数解析式为y=kx+b ， 402k b b -+⎧⎨-⎩＝＝，得122
k b ⎧-⎪⎨⎪-⎩＝＝， 即直线l 的函数解析式为y=−12
x−2； （2）直线ED 与x 轴交于点F ，如图1所示，
由（1）可得，
AO=4，OC=2，∠AOC=90°，
∴5
∴4525
=， ∵OD ⊥AC ，OA ⊥OC ，∠OAD=∠CAO ，
∴△AOD ∽△ACO ，
∴
AD AO AO AC ＝， 即425AD ＝，得AD=855
， ∵EF ⊥x 轴，∠ADC=90°，
∴EF ∥OC ，
∴△ADF ∽△ACO ，
∴AF DF AD AO OC AC ＝＝， 解得，AF=165，DF=85， ∴OF=4-
165=45， ∴m=-
45， 当m=-
45时，y=12×（−45）2+32×（-45）-2=-7225， ∴EF=7225， ∴DE=EF-FD=
7225−85＝3225； （3）存在点P ，使∠BAP=∠BCO-∠BAG ，
理由：作GM ⊥AC 于点M ，作PN ⊥x 轴于点N ，如图2所示，
∵点A （-4，0），点B （1，0），点C （0，-2），
∴OA=4，OB=1，OC=2，
∴tan ∠OAC=
2142OC OA ＝＝，tan ∠OCB=12
OB OC ＝，5， ∴∠OAC=∠OCB ，
∵∠BAP=∠BCO-∠BAG ，∠GAM=∠OAC-∠BAG ，
∴∠BAP=∠GAM ， ∵点G （0，-1），5OA=4，
∴OG=1，GC=1，
∴17，
••22AC GM CG OA ＝，即51422GM ⨯＝， 解得，25， ∴22AG GM -222595(17)()55
-=，
∴tan∠
GAM=
2
9
GM
AM
=，
∴tan∠PAN=2
9
，
设点P的坐标为（n，1
2
n2+
3
2
n-2），
∴AN=4+n，PN=1
2n2+
3
2
n-2，
∴
2
13
22 22
49
n n
n
+-
+
＝，
解得，n1=13
9
，n2=-4（舍去），
当n=13
9
时，
1
2
n2+
3
2
n-2=
98
81
，
∴点P的坐标为（13
9，
98
81
），
即存在点P（13
9
，
98
81
），使∠BAP=∠BCO-∠BAG．
【点睛】
本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用三角形相似、锐角三角函数和二次函数的性质解答．。