【精品试题】高考数学一轮必刷题 专题68 参数方程(含解析)

考点68 参数方程
1．（天津市河东区2019届高三二模数学理）已知直线l 的参数方程为34x t
y t m
=⎧⎨
=+⎩（t 为参数），圆C 的极
坐标方程为2cos ρθ=若直线l 与圆C
，则m 的值为________________.
2．（河南省南阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学理）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x t y t =--⎧⎨
=+⎩
，
（t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的
极坐标方程)4
π
ρθ=+
.
(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，(2,3)P -为直线l 上一点，求
11
||||
PA PB +. 3．（宁夏长庆高级中学2020届高三上学期第一次月考数学理）已知直线的参数方程为132x t
y t
=+⎧⎨=+⎩（t 为参
数），曲线C 的极坐标方程为2
sin 16cos ρθθ=，直线与曲线C 交于A 、B 两点，点P(1,3). （1）求直线的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求AB 的值.
4．（湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期月考试卷一理）在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为
2cos sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线3
π
θ=
与曲线2C 交于点2,
3D π⎛⎫
⎪⎝
⎭
. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程； （2）已知极坐标系中两点()10,A ρθ，20,+
2B πρθ⎛⎫
⎪⎝
⎭
，若A 、B 都在曲线1C 上，求
2
2
121
1
+
ρρ的值.
5．（山东省烟台市、菏泽市2019届高三5月高考适应性练习一理）[选修4—4：坐标系与参数方程]:在直角
坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨=+⎩
（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴
的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
6cos 8sin 210ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ．
(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设P(1，2)，求2
2
PA PB +的取值范围．
6．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）在直角坐标系xOy 中，直线1:2l x =，曲线
2cos :22sin x C y ϕϕ
=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为(3,)6
π. （1）求直线1l 和曲线C 的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知射线2:(0)2
l π
θαα=<<与1l ,C 的公共点分别为A ,B ，且OA OB ⋅=求MOB ∆的面积．
7．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是
cos 5sin x t y t α
α
⎧=⎨
=+⎩（t 是参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程是
2cos 4πρθθ⎛⎫
=+
- ⎪⎝
⎭
. （Ⅰ）写出圆2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线1C 与2C 有且仅有三个公共点，求
sin cos sin cos αα
αα
-+的值.
8．（山东省临沂市2019届高三模拟考试三模理）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y α
α
=+⎧⎨=⎩
（α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
cos 13ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
． （1）求C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程；
（2）射线11,63ππθθθ⎛⎫
⎡⎤=∈-
⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
与圆C 的交点为O ，M ，与直线l 的交点为N ，求OM ON ⋅的取值范围．
9．（河南省十所名校2019届高三毕业班阶段性测试七理）在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为
,,x a y ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为28
53cos 2ρθ
=
-，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程； （Ⅱ）若线段AB
的长度为
5
，求实数a 的值. 10．（辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试理）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θ
θ
=+⎧⎨=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛
⎫
-= ⎪⎝
⎭
. （1）求圆C 的极坐标方程； （2）已知射线:,0,2m πθαα⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
，若m 与圆C 交于点A （异于点O ），m 与直线l 交于点B ，求||||OA OB 的最大值.
11．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为
112x y t ⎧=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）
，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点()1,0P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B ，求11
PA PB
+的值．
12．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）选修4-2：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,
3,
x t y t =+⎧⎨
=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
sin 2cos ρθθ=.若直线l 与曲线C 交于,A B 两点，求线段
AB 的长.
13．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r θ
θ=⎧⎨
=⎩
（θ
为参数，0r >）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为
121,1z i z i =-=+.
（1）求曲线C 的普通方程和曲线1C 的直角坐标方程；
（2）设曲线C 和1C 交于A ，B 两点，点()1,0P ，若PA ，AB ，PB 成等比数列，求r 的值. 14．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参
数方程为1x a y ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数，a R ∈）.以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2
cos 4cos 0ρθθρ+-=.
（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）已知曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.
15．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ（1+cos2θ）=8sinθ． （1）求曲线C 的普通方程； （2）直线l 的参数方程为x tcos α
y 1tsin α=⎧⎨
=+⎩
,t 为参数直线l 与y 轴交于点F 与曲线C 的交点为A ，B ，当|FA|•|FB|
取最小值时，求直线l 的直角坐标方程．
16．（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练五数学理）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换
12x x
y y
⎧'='=⎪⎨⎪⎩后，曲线C 的方程变为221x y
''+=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/的极坐标方程为33
sin
π
ρθ=（-）.
（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）过点(1,0)P 作l 的垂线l 0交C 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，求
11
||||
PA PB -的值. 17．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为2
21x t y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，且曲线C 的极坐标方程为22cos 4πρθ⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 上的定点P 在曲线C 外且其到C 上的点的最短距离为52-，试求点P 的坐标. 18．（河南省八市重点高中联盟2019届高三5月领军考试理）在直角坐标系
中，直线的参数方程为
（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线交于，两点，求线段
的长
19．（河北省保定市2019届高三4月第一次模拟考试理）已知曲线的极坐标程是，以极点为原点，
极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程
，（为参数），曲线的参数方程
是（为参数）．
（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，为曲线上的动点，求三角形
面积的最大值．
20．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为
（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程； （2）过点
倾斜角为
的直线与曲线
交于
两点，求
的值.
21．（天津市新华中学2019届高三下学期第八次统练一模数学理）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方
程为13,23x t y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为
23ρθ=.P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，则P 的直角坐标为
__________________.
22．（天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试二数学理）已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 12sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=-+⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标
方程为cos 24πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
l 与圆C 交于,M N 两点，则MN =__________. 23．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）设直线l ：11232x t y t
⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），曲线C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ
为参数），直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则|AB =__（用数字填写）
24．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知直线l 的参数方程是cos sin x t y t α
α
=⎧⎨
=⎩（t 为参数），若l 与
圆22
430x y x +-+=交于A, B 两点，且AB =，则直线l 的斜率为_________.
考点68 参数方程
1．（天津市河东区2019届高三二模数学理）已知直线l 的参数方程为34x t
y t m =⎧⎨
=+⎩
（t 为参数），圆C 的极
坐标方程为2cos ρθ=若直线l 与圆C ，则m 的值为________________. 【答案】12m =-或13
6
m =-. 【解析】 由参数方程可得：
33
44
x t y m t ==-, 整理可得直线l 的直角坐标方程为4330x y m -+=，
圆C 的极坐标方程即2
2
2
2
2
2cos ,2,(1)1x y x x y ρρθ=+=-+=, 设圆心到直线的距离为d ，
由弦长公式可得：=解得：12
d =
，
结合点到直线距离公式可得：
4031
52
m -+=,
解得：12m =-
或13
6
m =-. 2．（河南省南阳市第一中学2019-2020学年高三上学期第二次开学考试数学理）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为32x t y t =--⎧⎨
=+⎩
，
（t 为参数).以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的
极坐标方程)4
π
ρθ=+
.
(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；
(2)若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，(2,3)P -为直线l 上一点，求
11
||||
PA PB +. 【答案】（1）直线l 的普通方程为10x y ++=，曲线C 的直角坐标方程为22
(2)(2)8f x y -++=（2）
7
【解析】
解：（1）直线l 的普通方程为10x y ++=，曲线C 的直角坐标方程为22
(2)(2)8x y -++=.
（2）将直线l
的参数方程化为2232x t y ⎧=-
⎪⎪⎨⎪=-+⎪⎩（t 为参数），代入曲线C 的方程22
(2)(2)8x y -++=
，得
270t --=
，所以12t t +=127t t =-，所以
121212||11
||
7
t t PA PB t t -+==
=
3．（宁夏长庆高级中学2020届高三上学期第一次月考数学理）已知直线的参数方程为132x t
y t
=+⎧⎨
=+⎩（t 为参
数），曲线C 的极坐标方程为2
sin 16cos ρθθ=，直线与曲线C 交于A 、B 两点，点P(1,3). （1）求直线的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； （2）求AB 的值.
【答案】（1）直线：21y x =+，曲线C ：216y x =
；（2）【解析】
（1）直线的普通方程21y x =+ ，曲线C 的直角坐标方程为2
16y x =，
（2
）直线的参数方程改写为13x y ⎧=+⎪⎨=⎪⎩
，代入2
16y x =，
24705t --=
，12t t +，12
354t t =-，
AB =
=4．（湖南省长沙市雅礼中学2020届高三上学期月考试卷一理）在平面直角坐标系中，曲线1C 的参数方程为
2cos sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩（ϕ为参数），以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线2C 是圆心在极轴上且经过极点的圆，射线3
π
θ=
与曲线2C 交于点2,
3D π⎛⎫
⎪⎝
⎭
. （1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）已知极坐标系中两点()10,A ρθ，20,+2B πρθ⎛⎫ ⎪⎝⎭，若A 、B 都在曲线1C 上，求221211+ρρ的值.
【答案】（1）221:14
x C y +=，()2
22:24C x y -+=；
（2）54. 【解析】
（1）1C 的参数方程为2cos sin x y ϕϕ
=⎧⎨=⎩，1C ∴的普通方程为2
214x y +=，
由题意，设曲线2C 的极坐标方程为2cos a ρθ=（a 为半径）， 将2,
3D π⎛
⎫
⎪⎝
⎭
代入，得1
222
a =⨯
，2a ∴=， 圆2C 的圆心的直角坐标为()2,0，半径为2， 因此，2C 的直角坐标方程为()2
224x y -+=； （2）曲线1C 的极坐标方程为
2222cos sin 14
ρθ
ρθ+=，即2
224
4sin cos ρθθ
=
+
2122
00
44sin cos ρθθ∴=+，2
2
22220044sin 4cos 4sin cos 22ρππθθθθ==+⎛⎫⎛⎫+++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭. 2222000022124sin cos 4cos sin 1
1
5
=+444θθθθρρ++∴+=. 5．（山东省烟台市、菏泽市2019届高三5月高考适应性练习一理）[选修4—4：坐标系与参数方程]:在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1cos 2sin x t y t α
α=+⎧⎨
=+⎩
（t 为参数，0απ≤<），以坐标原点为极点，以x 轴
的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
6cos 8sin 210ρρθρθ--+=，已知直线l 与曲线C 交于不同的两点A ，B ．
(1)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设P(1，2)，求2
2
PA PB +的取值范围．
【答案】（1）直线l 的普通方程为sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=. 曲线C 的直角坐标方程为2268210x y x y +--+=（2）(8,24]
【解析】 解：（1）因为1cos 2sin x t y t αα=+⎧⎨
=+⎩，所以sin sin cos sin cos 2cos sin cos x t y t αααα
αααα
=+⎧⎨=+⎩，两式相减可得
直线l 的普通方程为sin cos sin 2cos 0x y αααα--+=. 因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，2
2
2
x y ρ+=，
所以曲线C 的直角坐标方程2268210x y x y +--+=. （2）将直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程， 整理得关于t 的方程： 2
4(sin cos )40t t αα-++=.
因为直线l 与曲线C 有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为12,t t ， 则 12t t +=4(sin cos )αα+，124t t =.
并且216(sin cos )1632sin cos 0αααα∆=+-=>， 注意到0απ≤< ，解得02
π
α<<
.
因为直线l 的参数方程为标准形式，所以根据参数t 的几何意义，
有22
||PA PB +=2212t t +=21212()2t t t t +-=2
16(sin cos )8αα+-
16sin 28α=+，
因为02
π
α<<
，所以sin 2(0,1]α∈，16sin 28(8,24]α+∈.
因此2
2
||||PA PB +的取值范围是(8,24].
6．（广东省肇庆市2019届高中毕业班第三次统一检测数学理）在直角坐标系xOy 中，直线1:2l x =，曲线
2cos :22sin x C y ϕϕ
=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）.以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，点M 的极坐标为(3,)6
π. （1）求直线1l 和曲线C 的极坐标方程；
（2）在极坐标系中，已知射线2:(0)2
l π
θαα=<<与1l ,C 的公共点分别为A ,B ，且OA OB ⋅=求MOB ∆的面积．
【答案】（1）直线1l ： cos 2ρθ=；曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=；（2【解析】 解：（1）∵cos {
sin x y ρθρθ
==，∴直线2x =的极坐标方程是cos 2ρθ=，
曲线C 的普通方程为2
2(2)4x y +-=，即22
40x y y +-=. 所以曲线C 的极坐标方程为4sin ρθ=.
（2）将θα=分别代入cos 2ρθ=，4sin ρθ=得：2
cos A OA ρα
==，4sin B OB ρα==.
∴8tan OA OB α⋅==tan α=. ∵02
π
α<<
，∴3
π
α=
.
∴OB =，3OM =，6
MOB π
∠=
.
所以1sin 2MOB S OM OB MOB ∆=
∠11322=⨯⨯=
即AOB ∆的面积为
2
． 7．（河南省百校联盟2019届高三考前仿真试卷数学理）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程是
cos 5sin x t y t α
α
⎧=⎨
=+⎩（t 是参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆2C 的极坐标方程是
2cos 4πρθθ⎛⎫
=+
- ⎪⎝
⎭
. （Ⅰ）写出圆2C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若曲线1C 与2C 有且仅有三个公共点，求sin cos sin cos αα
αα
-+的值.
【答案】（Ⅰ）2
2
240x y x y +--=；（Ⅱ）3.
【解析】（Ⅰ）sin cos 2cos 4sin 2cos ρθθθθθ=-=+⎭
， 24sin 2cos ρρθρθ=+，
∴22
42x y y x +=+，
∴圆2C 的直角坐标方程是22
240x y x y +--=.
（Ⅱ）因为曲线1C 与2C 有且仅有三个公共点，说明直线()tan 5tan 0y x αα=-⋅+<与圆2C 相切，2C 圆
心为（1，2）
=，
解得tan 2α，
所以
sin cos tan 1
3sin cos tan 1
αααααα--==++.
8．（山东省临沂市2019届高三模拟考试三模理）在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为1cos sin x y α
α=+⎧⎨
=⎩
（α为参数），以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为
cos 1ρθθ⎫
+=⎪⎪
⎝⎭
．
（1）求C 的极坐标方程和直线l 的直角坐标方程； （2）射线11,63ππθθθ⎛⎫
⎡⎤=∈-
⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭
与圆C 的交点为O ，M ，与直线l 的交点为N ，求OM ON ⋅的取值范围．
【答案】（1）圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=.直线l
的直角坐标方程为103
x y +-=.（2）[1,3] 【解析】
（1）圆C 的普通方程是22
(1)1x y -+=，
将cos x ρθ=，sin y ρθ=代入上式：222
(cos 1)sin 1ρθρθ-+=，化简得：2cos ρθ=，
所以圆C 的极坐标方程为2cos ρθ=. 直线l
的极坐标方程为sin cos 13ρθθ⎛⎫
+= ⎪
⎪
⎝⎭
，
将cos x ρθ=，sin y ρθ=
代人上式，得：103
x y +
-=， ∴直线l
的直角坐标方程为10x y +
-=. （2）设()11,M ρθ，因为点M 在圆:2cos C ρθ=上，则有112cos ρθ=，
设()21,N ρθ，因为点N
在直线:cos 13l ρθθ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭
，则有2113
ρ=
， 所以12
||||OM ON ρρ⋅
==
=
， ∵1,63ππθ⎡⎤
∈-
⎢⎥⎣⎦
，∴1
tan 33
θ-，∴
12
3
tan 1233
θ+，
∴
11
3
3
tan 1θ+，即1||||3OM ON ⋅，
故||||OM ON ⋅的范围为[1,3].
9．（河南省十所名校
2019届高三毕业班阶段性测试七理）在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为
,2
,2x a y ⎧=+⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.曲线C 的极坐标方程为28
53cos 2ρθ
=
-，直线l 与曲线C 交于A ，B 两点.
（Ⅰ）求曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）若线段AB 的长度为
5
，求实数a 的值. 【答案】（Ⅰ）2
214
x y +=；
（Ⅱ）2a =± 【解析】 （Ⅰ）由2
853cos 2ρθ
=
-，得()
22
56cos 38ρθ-+=，化简得2
2
2
4
3
cos 4.
因为cos x ρθ=，sin y ρθ=，所以方程可化为2
22
434x y x ，
整理得2
2
44x y +=，即2
214
x y +=.
（Ⅱ）由直线l
的参数方程,2
2x a y ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
可得其普通方程为0x y a --=.
联立2244,
x y x y a ⎧+=⎨--=⎩可得2258440x ax a -+-=.
因为直线l 与曲线C 有两个交点，
所以(
)
2
2
644544a a ∆=-⨯⨯-280160
a =->
，得a <<
设()12,A x x ，()22,B x y ，则1285a x x +=，21244
5
a x x -=
.
12||AB x =-==
=
2a =±. 10．（辽宁省朝阳市重点高中2019届高三第四次模拟考试理）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩（θ为参数），以坐标原点O 为极点，x 轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为cos 13πρθ⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
.
（1）求圆C 的极坐标方程； （2）已知射线:,0,2m πθαα⎛⎫
=∈ ⎪⎝⎭
，若m 与圆C 交于点A （异于点O ），m 与直线l 交于点B ，求||||OA OB 的最大值.
【答案】（1）4cos ρθ=；（2）3 【解析】
（1）由圆C 的参数方程为22cos 2sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=⎩消去参数θ，
得到圆的普通方程为2
2
(2)4x y -+=，即2
2
40x y x +-=，
所以其极坐标方程为2
4cos 0ρρθ-=，即4cos ρθ=；
（2）由题意，将θα=代入圆C 的极坐标方程得4cos A OA ρα==；
将θα=代入线l 的极坐标方程，得
1
cos 3B OB ρπα==
⎛
⎫- ⎪
⎝
⎭，
所以||14cos cos 4cos cos ||32OA OB πααααα⎛⎫⎛
⎫=-= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
22cos cos 2cos212sin(2)16
π
αααααα=+=++=++，
因为0,
2πα⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭
， 所以72,666
π
ππα⎛⎫+
∈ ⎪⎝⎭
， 因此，当26
2
π
π
α+
=
，即6
π
α=
时，
||
||
OA OB 取得最大值3. 11．（山东省实验中学等四校2019届高三联合考试理）在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为
1212x t y t ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
（t 为参数）
，曲线C 的极坐标方程为4cos ρθ=． （Ⅰ）求直线l 的普通方程及曲线C 的直角坐标方程；
（Ⅱ）设点()1,0P ，直线l 与曲线C 相交于A ，B ，求11
PA PB
+的值． 【答案】（Ⅰ
）:10l x -=，()2
2:24C x y -+=；（Ⅱ
. 【解析】
解：（Ⅰ
）由1212x y t ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），消去参数t
，可得10x -=． ∵cos ρθ=4，∴24cos ρρθ=，即22
40x y x +-=．
∴曲线的直角坐标方程为()2
224x y -+=；
（Ⅱ
）把112x y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪
⎩112x y t ⎧=-⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩
代入22
40x y x +-=
，得230t +-=． 设A ，B 两点对应的参数分别为1t ，2t
则12t t +=123t t =-． 不妨设10t <，20t >，
∴
121212
1111
t t PA PB t t t t ++=+===
．
12．（江苏省徐州市2018-2019学年高三考前模拟检测）选修4-2：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为1,
3,
x t y t =+⎧⎨
=-⎩（t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴非负半轴
为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为2
sin 2cos ρθθ=.若直线l 与曲线C 交于,A
B 两点，求线段
AB 的长.
【答案】AB =【解析】
由曲线C 的极坐标方程2sin 2cos ρθθ=，得22
sin 2cos ρθρθ=，
所以曲线C 的直角坐标方程是2
2y x =. 所以直线l 的普通方程为40x y --=.
由2402x y y x
--=⎧⎨=⎩得2280
y y --=
，所以AB ==13．（江西省新八校2019届高三第二次联考理）在直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为cos sin x r y r θ
θ=⎧⎨
=⎩
（θ
为参数，0r >）以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线1C 的极坐标方程为
121,1z i z i =-=+.
（1）求曲线C 的普通方程和曲线1C 的直角坐标方程；
（2）设曲线C 和1C 交于A ，B 两点，点()1,0P ，若PA ，AB ，PB 成等比数列，求r 的值.
【答案】（1）曲线C 的普通方程是：222
x y r +=，曲线1C 的直角坐标方程为：210x y +-=； （2）3
5
r =
【解析】
（1）由题意得：曲线C 的普通方程是：222
x y r +=
曲线1C 的直角坐标方程为：210x y +-=
（2）易知()1,0P 在1C 上 ∴可设直线1C
的参数方程为：1x y ⎧
=⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）
将直线1C 的参数方程代入曲线C 的普通方程，可得：
22
2
1r ⎛⎫⎫+= ⎪⎪⎝
⎭⎭
，整理可得：2210t r +-= 设,A B 对应的参数分别是12,t t ，则1PA t =，2PB t =，12AB t t =-
12t t ∴+=
2
121t t r =- 又PA ，AB ，PB 成等比数列 则()2
2
12121212124t t t t t t t t t t -=+-==
即：
()22164115
r r --=-，解得：35r =．
14．（陕西省2019年高三第三次教学质量检测理）在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 过点(,1)P a ，其参
数方程为2
12
x a t y t ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
（t 为参数，a R ∈）.以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线2C 的极坐标方程为2
cos 4cos 0ρθθρ+-=.
（1）求曲线1C 的普通方程和曲线2C 的直角坐标方程；
（2）已知曲线1C 与曲线2C 交于,A B 两点，且||2||PA PB =，求实数a 的值.
【答案】(1) 10x y a --+=;2
4y x =.(2) 1
36a =
或94
. 【解析】
（1）曲线1C
参数方程为212
x a t y t ⎧
=+⎪⎪
⎨
⎪=+⎪⎩
(t
为参数)，消去参数t ，得10x y a --+=，
∴曲线1C 的普通方程10x y a --+=，
又由曲线2C 的极坐标方程为2
cos 4cos 0ρθθρ+-=，∴222
cos 4cos 0ρθρθρ+-=，
根据极坐标与直角坐标的互化公式cos sin x y ρθρθ
=⎧⎨
=⎩，代入得()222
40x x x y +-+=，
整理得2
4y x =，即曲线2C 的直角坐标方程2
4y x =. （2）设,A B 两点所对应参数分别为1t ，2t ，
将212
x a y ⎧
=+⎪⎪⎨
⎪=+⎪⎩
代入2
4y x =
，得2820t a --+=， 要使1C 与2C
有两个不同的交点，则24(28)320a a ∆=--=>，即0a >，
由韦达定理有112
82t t t t a ⎧+=⎪⎨⋅=-+⎪⎩，根据参数的几何意义可知1||PA t =，2||PB t =，
又由||2||PA PB =，可得12||2||t t =，即212t t =或122t t =-，
∴当212t t =
时，有1222
1223282
t t t t t t a ⎧+==⎪⇒⎨⋅==-+⎪⎩1036a =>，符合题意. 当122t t =-
时，有1
222
122282
t t t t t t a ⎧+=-=⎪⇒⎨
⋅=-=-+⎪⎩904a =>，符合题意. 综上所述，实数a 的值为1
36a =
或94
. 15．（四川省绵阳市2019届高三下学期第三次诊断性考试数学理）在平面直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为ρ（1+cos2θ）=8sinθ． （1）求曲线C 的普通方程； （2）直线l 的参数方程为x tcos α
y 1tsin α=⎧⎨
=+⎩
,t 为参数直线l 与y 轴交于点F 与曲线C 的交点为A ，B ，当|FA|•|FB|
取最小值时，求直线l 的直角坐标方程． 【答案】（1）x 2=4y ；（2）y=1 【解析】
（1）由题意得ρ（1+cos2θ）=8sinθ，得2ρcos 2θ=8sinθ，得ρ2cos 2θ=4ρsinθ， ∵x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴x 2=4y ，即曲线C 的普通方程为x 2=4y ．
（2）由题意可知，直线l 与y 轴交于点F （0，1）即为抛物线C 的焦点， 令|FA|=|t 1|，|FB|=|t 2|，将直线l 的参数方程x tcos α
y 1tsin α
=⎧⎨=+⎩代入C 的普通方程x 2=4y 中，
整理得t 2cos 2α-4tsinα-4=0，
由题意得cosα≠0，根据韦达定理得：t 1+t 2=24sin αcos α，t 1t 2=2
4
cos α
-， ∴|FA||FB|=|t 1||t 2|=|t 1t 2|=
2
4
cos α
≥4，（当且仅当cos 2α=1时，等号成立）， ∴当|FA|•|FB|取得最小值时，直线l 的直角坐标方程为y=1．
16．（湖南省师范大学附属中学2019届高三考前演练五数学理）在同一直角坐标系中，经过伸缩变换
12x x
y y
⎧'='=⎪⎨⎪⎩后，曲线C 的方程变为221x y ''+=.以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线/
的极坐标方程为3
sin
π
ρθ=（-）（1）求曲线C 和直线l 的直角坐标方程；
（2）过点(1,0)P 作l 的垂线l 0交C 于A ，B 两点，点A 在x 轴上方，求
11
||||
PA PB -的值. 【答案】（1）2
214
x y +=
0y -+=（2
）
11||||PA PB -=【解析】
（1）将1
2x x y y ⎧'='=⎪⎨⎪⎩代入22
1x y ''+=得，曲线C 的方程为2214x y +=，
由3
sin
π
ρθ=（-）
，得 3
3
sin cos
cos sin
π
π
ρθρθ-=
把cos sin x y ρθ
ρθ=⎧⎨
=⎩
，代入上式得直线l
0y -+=.
（2）因为直线l 的倾斜角为
3π，所以其垂线l 0的倾斜角为56
π
，
则直线l 0的参数方程为51cos 650sin 6x t y t ππ⎧=+⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数）
，即112x y t
⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）
代入曲线C
的方程整理得27120t --=，
设A ，B 两点对应的参数为t 1，t 2，由题意知10t >，20t <，
则12127127t t t t ⎧+=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩
，且247120∆=+⨯⨯>（，
所以
1212121111||||t t PA PB t t t t +-=-==-. 17．（河北省保定市2019年高三第二次模拟考试理）选修4-4：坐标系与参数方程
在平面直角坐标系xOy 中，直线l
的参数方程为2
12x y t ⎧=
⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩
（t 为参数）.以原点O 为极点，x 轴的正半
轴为极轴建立极坐标系，且曲线C
的极坐标方程为4πρθ⎛
⎫
=- ⎪⎝
⎭
. （1）写出直线l 的普通方程与曲线C 的直角坐标方程；
（2）设直线l 上的定点P 在曲线C 外且其到C
，试求点P 的坐标.
【答案】（1）l 的普通方程为10x y -+=．C 的直角坐标方程为2
2
(1)(1)2x y -+-= （2）（-1，0）或（2，3）
【解析】解：（1
）由1x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
消去参数t ，得1y x =+．
即直线l 的普通方程为10x y -+=．
因为2),(cos sin )2(cos sin )4
π
ρθρθθρθθ=-
∴=+=+
又cos x ρθ=，sin y ρθ=
∴曲线C 的直角坐标方程为2
2
(1)(1)2x y -+-=
（2）由22
(1)(1)2x y -+-=知，曲线C 是以Q （1,1）为圆心，2为半径的圆
设点P 的坐标为(),1x x +，则点P 到C 上的点的最短距离为|PQ|-2
即()
2
25,15PQ x x =∴
-+=，整理得220x x --=，解得121,2x x =-=
所以点P 的坐标为（-1，0）或（2，3）．
18．（河南省八市重点高中联盟2019届高三5月领军考试理）在直角坐标系
中，直线的参数方程为
（为参数），以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）设直线与曲线交于，两点，求线段的长
【答案】（1）
；（2）
【解析】
（1）的方程可化为，将
，，代入其中
得
，所以曲线的直角坐标方程为
.
（2）直线过定点
，将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程得，
，
，
所以.
19．（河北省保定市2019届高三4月第一次模拟考试理）已知曲线的极坐标程是，以极点为原点，
极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程，（为参数），曲线的参数方程是（为参数）．
（1）写出曲线和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于、两点，为曲线上的动点，求三角形面积的最大值．
【答案】（1），直线的直角坐标方程为．（2）
【解析】
解：（1）由题意可知，直线的直角坐标方程为．
（2）将直线方程代入的方程并整理得，
设对应的参数分别为，，
则，，
∴
设，
所以点到直线的距离，
所以当时，的最大值，
即三角形面积最大值为．
20．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）在平面直角坐标系中，已知曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）过点倾斜角为的直线与曲线
交于两点，求的值.
【答案】（1）;（2）8.
【解析】
（1）依题意，曲线的普通方程为， 即
，故
，故
，
故所求极坐标方程为；
（2）设直线的参数方程为
（为参数），
将此参数方程代入中，
化简可得，
显然
.设
所对应的参数分别为，，则.
∴.
21．（天津市新华中学2019届高三下学期第八次统练一模数学理）在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方
程为13,232x t y ⎧
=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数）.以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为
23ρθ=.P 为直线l 上一动点，当P 到圆心C 的距离最小时，则P 的直角坐标为
__________________. 【答案】()3,0 【解析】
极坐标方程即：223sin ρρθ=，故2223x y +=，22(3)3x y +=, 消去参数可得直线l 3330x y --=,
过圆心与直线l
垂直的方程为y x =，
联立直线方程：0y y x --=⎨=⎪⎩
可得交点坐标为：()3,0.
即P 的直角坐标为()3,0.
22．（天津市南开区2019届高三第二学期模拟考试二数学理）已知在直角坐标系xOy 中，圆C 的参数方程为32cos 12sin x y θ
θ
=+⎧⎨
=-+⎩（θ为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标
方程为cos 4πρθ⎛⎫
-= ⎪⎝
⎭
l 与圆C 交于,M N 两点，则MN =__________. 【答案】4 【解析】
圆:C 3212x cos y sin θθ
=+⎧⎨=-+⎩，化为()()22
314x y -++=，
所以，圆心()3,1C -，半径为2r ，
直线cos 4πρθ⎛⎫
-
= ⎪⎝
⎭
cos sin 22
ρθρθ+=20x y +-=， C 直线l 上，24MN r ∴==，故答案为4.
23．（天津市红桥区2019届高三一模数学理）设直线l
：112x t y ⎧
=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），曲线C ：cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩（θ
为参数），直线l 与曲线C 交于A 、B 两点，则|AB =__（用数字填写） 【答案】1 【解析】
解：由曲线C 1：x cos y sin θ
θ
=⎧⎨=⎩（θ为参数），化为x 2+y 2＝1，
直线l
：1122x t y t ⎧=+⎪⎪
⎨⎪=⎪⎩
（t 为参数），消去参数化为
y =x ﹣1）
y --=0．
∴圆心C 1（0，0）到直线l 的距离
d 2
=
=
． ∴|AB |＝
==1． 故答案为：1．
24．（天津市部分区2019届高三联考一模数学理）已知直线l 的参数方程是cos sin x t y t α
α=⎧⎨=⎩
（t 为参数），若l 与
圆22
430x y x +-+=交于A, B
两点，且AB =，则直线l 的斜率为_________.
【答案】15
± 【解析】
由x tcos y tsin αα
=⎧⎨=⎩，得tan y x α=， 设tan k α=，得直线y kx =，
由2
2
430x y x +-+=，得()2
221x y -+=圆心为()2,0，半径为1，
∴圆心到直线y kx =
12=
=，
得15k =±
.
故答案为.。