2016-2017学年河北省唐山市高三(上)第一次摸底数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年河北省唐山市高三（上）第一次摸底数学试卷（理
科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（5分）已知集合A⊆{1，2，3，4，5}，且A∩{1，2，3}＝{1，2}，则满足条件的集合A 的个数是（）
A．2B．4C．8D．16
2．（5分）已知复数满足（1+i）z＝i，则z＝（）
A．+i B．﹣i C．+i D．﹣i 3．（5分）某班学生一次数学考试成绩频率分布直方图如图所示，数据分组依次为[70，90），[90，110），[110，130），[130，150]，若成绩大于等于90分的人数为36，则成绩在[110，130）的人数为（）
A．12B．9C．15D．18
4．（5分）设函数y＝f（x），x∈R，“y＝|f（x）|是偶函数”是“y＝f（x）的图象关于原点对称”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．（5分）设F1、F2是双曲线的两个焦点，点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，则△F1PF2的面积为（）
A．B．2C．D．1
6．（5分）要得到函数f（x）＝2sin x cos x，x∈R的图象，只需将函数g（x）＝2cos2x﹣1，x∈R 的图象（）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
7．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入a＝1，b＝2，则输出的x＝（）
A．1.25B．1.375C．1.40625D．1.4375
8．（5分）设x0是方程（）x＝的解，则x0所在的范围是（）A．（0，）B．（，）C．（，）D．（，1）9．（5分）某几何体的三视图如图所示，则此几何体的体积为（）
A．B．C．3D．
10．（5分）把长为80cm的铁丝随机截成三段，则每段铁丝长度都不小于20cm的概率是（）A．B．C．D．
11．（5分）在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝4，E，F，H分别是棱PB，BC，PD的中点，则过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面面积为（）
A．B．C．D．
12．（5分）设函数f（x）＝x3﹣3x2+（8﹣a）x﹣5﹣a，若存在唯一的正整数x0，使得f （x0）＜0，则a的取值范围是（）
A．B．C．D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．（5分）已知向量＝（cos15°，sin15°），＝（cos75°，sin75°），则|﹣2|＝．14．（5分）在（2x3﹣）n的展开式中，各二项式系数的和为128，则常数项是．15．（5分）已知抛物线x2＝4y与圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）有公共点P，若抛物线在P点处的切线与圆C也相切，则r＝．
16．（5分）一艘海监船在某海域实施巡航监视，由A岛向正北方向行驶80海里至M处，然后沿东偏南30°方向行驶50海里至N处，再沿南偏东30°方向行驶30海里至B 岛，则A，B两岛之间距离是海里．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（12分）设S n为等差数列{a n}的前n项和，S10＝110，S15＝240．
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）令b n＝+，求数列{b n}的前n项和T n．
18．（12分）如图，在四棱锥P﹣ABCD中，P A⊥底面ABCD，BC⊥PB，△BCD为等边三角形，P A＝BD＝，AB＝AD，E为PC的中点．
（1）求AB；
（2）求平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值．
19．（12分）甲将要参加某决赛，赛前A，B，C，D四位同学对冠军得主进行竞猜，每人选择一名选手，已知A，B选择甲的概率均为m，C，D选择甲的概率均为n（m＞n），且四人同时选择甲的概率为，四人均未选择甲的概率为．
（1）求m，n的值；
（2）设四位同学中选择甲的人数为X，求X的分布列和数学期望．
20．（12分）如图，过椭圆E：+＝1（a＞b＞0）上一点P向x轴作垂线，垂足为左
焦点F，A，B分别为E的右顶点，上顶点，且AB∥OP，|AF|＝+1．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过原点O做斜率为k（k＞0）的直线，交E于C，D两点，求四边形ACBD面积S 的最大值．
21．（12分）已知函数f（x）＝lnx+﹣2．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若函数y＝f（x）的两个零点x1，x2（x1＜x2），证明：x1+x2＞2a．
四、[选修4-1：几何证明选讲]
22．（10分）如图，△ABC与△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，O为线段AB上一点，BD平分∠ABC，且OD∥BC．
（1）证明：A，B，C，D四点共圆，且O为圆心；
（2）AC与BD相交于点F，若BC＝2CF＝6，AF＝5，求C，D之间的距离．
五、[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的极坐标方程是ρ＝2，矩形ABCD内接于曲线C1，A，B两点的极坐标分别为（2，）和（2，），将曲线C1上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的一半，得到曲线C2．
（1）写出C，D的直角坐标及曲线C2的参数方程；
（2）设M为C2上任意一点，求|MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2的取值范围．
六、选修4-5：不等式选讲
24．已知函数f（x）＝|x+1|+|mx﹣1|．
（1）若m＝1，求f（x）的最小值，并指出此时x的取值范围；
（2）若f（x）≥2x，求m的取值范围．
2016-2017学年河北省唐山市高三（上）第一次摸底数学
试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．【解答】解：∵A⊆{1，2，3，4，5}，且A∩{1，2，3}＝{1，2}，
∴A＝{1，2}，{1，2，4}，{1，2，5}，}，{1，2，4，5}，即满足题意A的个数是4．故选：B．
2．【解答】解：由（1+i）z＝i，
则＝＝，
故选：C．
3．【解答】解：根据频率分布直方图知，成绩大于等于90分的频率为1﹣0.005×20＝0.9，对应人数为36，
所以班级人数为＝40；
成绩在[110，130）的频率为0.9﹣（0.02+0.01）×20＝0.3，
所求的人数为40×0.3＝12．
故选：A．
4．【解答】解：“y＝f（x）的图象关于原点对称”，x∈R，可得y＝|f（x）|是偶函数．反之不成立，例如f（x）＝x2，满足y＝|f（x）|是偶函数，x∈R．
因此，“y＝|f（x）|是偶函数”是“y＝f（x）的图象关于原点对称”的必要不充分条件．故选：B．
5．【解答】解：∵双曲线中，a＝2，b＝1
∴c＝＝，可得F1（﹣，0）、F2（，0）
∵点P在双曲线上，且∠F1PF2＝90°，
∴|PF1|2+|PF2|2＝|F1F2|2＝20
根据双曲线的定义，得||PF1|﹣|PF2||＝2a＝4
∴两式联解，得|PF1|•|PF2|＝2
因此△F1PF2的面积S＝|PF1|•|PF2|＝1
故选：D．
6．【解答】解：将函数g（x）＝2cos2x﹣1＝cos2x，x∈R的图象向右平移个单位，可得函数y＝cos2（x﹣）＝sin2x＝2sin x cos x，x∈R的图象，
故选：D．
7．【解答】解：模拟程序的运行，可得
a＝1，b＝2，x＝1.5
不满足条件x2﹣2＜0，b＝1.5，不满足条件|a﹣b|＜0.1，x＝1.25，
满足条件x2﹣2＜0，a＝1.25，不满足条件|a﹣b|＜0.1，x＝1.375，
满足条件x2﹣2＜0，a＝1.375，不满足条件|a﹣b|＜0.1，x＝1.4375，
不满足条件x2﹣2＜0，b＝1.4375，满足条件|a﹣b|＜0.1，退出循环，输出x的值为1.4375．故选：D．
8．【解答】解：构建函数f（x）＝（）x﹣，则f（）＝＝＞0，
f（）＝＜0
∴函数的零点所在的区间是（，）
∴解x0所在的区间是（，）
故选：B．
9．【解答】解：由题意，直观图为组合体，上方为三棱锥，下方为直三棱柱，由图中数据，可得几何体的体积为＝，
故选：D．
10．【解答】解：设把长为80cm的铁丝随机截成三段的长度分别为x，y，80﹣x﹣y，则由题意知，
所以包含事件每段铁丝长度都不小于20cm所表示的面积为区域的面积为＝
而基本事件所表示的平面80×80＝3200，
所以由几何概型的计算公式即可得出每段铁丝长度都不小于20cm的概率为．
故选：A．
11．【解答】解：取CD的中点G，P A的四等分点I，顺次连接E，F，G，H，I，则平面EFGHI即为过E，F，H的平面截四棱锥P﹣ABCD所得截面，
如图所示：
∵四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，P A⊥底面ABCD，P A＝AB＝4，
∴EF＝HG＝PC＝2且EF∥HG∥PC，
EH＝FG＝BD＝2且EH∥FG∥BD，
故四边形EFGH为矩形，面积是4，
△EIH中，EI＝HI＝，故EH上的高IJ＝，
故△EIH的面积为，
即平面EFGHI的面积为5，
故选：C．
12．【解答】解：设g（x）＝x3﹣3x2+8x﹣5，h（x）＝a（x+1），
g'（x）＝x2﹣6x+8＝（x﹣2）（x﹣4），所以x＞4或者x＜2时函数递增，2＜x＜4时递减，并且g（1）＝，g（2）＝，g（3）＝1，g（4）＝，图象如图，函数h（x）经过（﹣1，0），要使存在唯一的正整数x0，使得f（x0）＜0，即g（x）＜h（x）有唯一正整数解，
只要a＞0并且即解得；
故选：A．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．【解答】解：向量＝（cos15°，sin15°），＝（cos75°，sin75°），∴＝cos215°+sin215°＝1，||＝1；
＝cos275°+sin275°＝1，||＝1；
∴•＝cos15°cos75°+sin15°sin75°＝cos60°＝；
＝﹣4•+4＝1﹣4×+4＝3，
∴|a﹣2b|＝．
故答案为：．
14．【解答】解：∵在（2x3﹣）n的展开式中，各二项式系数的和为128，∴2n＝128，解得n＝7，
∴T r+1＝＝•，
由＝0，得r＝1，
∴常数项是T2＝＝14．
故答案为：14．
15．【解答】解：设点P（x0，），则由x2＝4y，求导y′＝x，
∴抛物线在P点处的切线的斜率为k＝x0，
∵圆（x﹣1）2+（y﹣2）2＝r2（r＞0）的圆心的坐标为C（1，2），
∴k PC＝，
∴k PC•k＝•x0＝﹣1，解得：x0＝2
∴P（2，1），
∴r＝丨PC丨＝＝，
故答案为：．
16．【解答】解：连接AN，则在△AMN中，应用余弦定理可得AN＝
＝70，
∴cos∠MAN＝＝
∴cos∠ANB＝cos（30°+∠MAN）＝
∴AB＝＝70，
故答案为70．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．【解答】解：（1）设等差数列{a n}的公差为d，∵S10＝110，S15＝240．∴d＝110，d＝240，
联立解得a1＝d＝2．
∴a n＝2+2（n﹣1）＝2n．
（2）b n＝+＝+＝2+，
∴数列{b n}的前n项和T n＝2n++…+＝2n+1﹣．18．【解答】解：（1）连接AC，
∵P A⊥底面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴P A⊥BC，
又∵BC⊥PB，PB∩P A＝P，
∴BC⊥平面P AB，又AB⊂平面P AB，
∴BC⊥AB．
∵△BCD为等边三角形，AB＝AD，
∴△ABC≌△ADC，
∴∠ACB＝30°，∠CAB＝60°，
又BD＝，∴AB＝；
（2）由（1）知，AC⊥BD，设AC∩BD＝O，
分别以OC、OD所在直线为x、y轴建立空间直角坐标系．
则D（0，，0），B（0，﹣，0），E（，0，），A（，0，0），P（﹣，0，）．
，，，
．
设平面BDE的一个法向量为，
则，得，取，则；
设平面ABP的一个法向量为，
则，得，取，则．
∴|cos＜＞|＝||＝||＝．
平面BDE与平面ABP所成二面角的正弦值为．
19．【解答】解：由已知得，
解得m＝，n＝．
（2）由题意X的可能取值为0，1，2，3，4，
P（X＝0）＝，
P（X＝1）＝，
P（X＝2）＝
，
P（X＝3）＝×，
P（X＝4）＝，
∴X的分布列为：
E（X）＝＝2.2．
20．【解答】解：（1）由题意可得P（﹣c，），
∴k OP＝﹣，k AB＝﹣．
由AB∥OP，∴﹣＝﹣，解得b＝c，a＝c，
由|AF|＝a+c＝+1得b＝c＝1，a＝，
故椭圆E的方程为+y2＝1．
（2）由题意可设CD：y＝kx，设C（x1，y1），D（x2，y2），到AB的距离分别为d1，d2，将y＝kx代入+y2＝1，得x2＝，则x1＝，x2＝﹣．
由A（，0），B（0，1）得|AB|＝，且AB：x+y﹣＝0，
d1＝，d2＝﹣，
S＝|AB|（d1+d2）＝[（x1﹣x2）+（y1﹣y2）]
＝（1+k）（x1﹣x2）＝，
S2＝2（1+），∵1+2k2≥2k，当且仅当2k2＝1时取等号，
∴当k＝时，四边形ACBD的面积S取得最大值2．
21．【解答】解：（1）∵f（x）＝lnx+﹣2，（x＞0），
f′（x）＝﹣＝，
a≤0时，f′（x）＞0，f（x）递增，
a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，∴f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；
（2）证明：由①可知0＜x1＜a，x2＞a，
f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增；
设h（x）＝f（x）﹣f（2a﹣x）0＜x＜a，
∴h（x）＝ln+﹣，（0＜x＜a），
h′（x）＝•﹣﹣＝﹣＜0，∴h（x）在（0，a）递减，
∴h（x）＞h（a）＝0，
∴f（x）＞f（2a﹣x），
由x1∈（0，1），
∴f（x1）＝f（x2）＞f（2a﹣x1），
而x2＞a，2a﹣x1＞a，f（x）在（a，+∞）递增，
∴x2＞2a﹣x1，即x1+x2＞2a，
∴原不等式成立．
四、[选修4-1：几何证明选讲]
22．【解答】（1）证明：因为△ABC与△ABD都是以AB为斜边的直角三角形，所以A，B，C，D四点都在以AB为直径的圆上．
因为BD平分∠ABC，且OD∥BC，
所以∠OBD＝∠CBD＝∠ODB，OB＝OD．
又∠OAD+∠OBD＝90°，∠ODA+∠ODB＝90°，
所以∠OAD＝∠ODA，OA＝OD．
所以OA＝OB，O是AB的中点，O为圆心．…（5分）
（2）解：由BC＝2CF＝6，得BF＝3，
由Rt△ADF∽Rt△BCF得＝＝2．
设AD＝2DF＝2x，则AF＝x，
由BD平分∠ABC得＝＝2，
所以＝2，解得x＝，即AD＝2．
连CD，由（1），CD＝AD＝2．…（10分）
五、[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．【解答】解：（1）曲线C1的极坐标方程是ρ＝2，矩形ABCD内接于曲线C1，A，B两点的极坐标分别为（2，）和（2，），利用对称性可得：C，D，分别化为直角坐标：C，D．
曲线C1的极坐标方程是ρ＝2，化为直角坐标方程：x2+y2＝4．
设曲线C2．上的任意一点坐标P（x，y），曲线C1的任意一点P′（x′，y′），则，可得．代入（x′）2+（y′）2＝4，得x2+4y2＝4，其参数方程为：．
（2）A，B．设M（2cosθ，sinθ）．
|MA|2+|MB|2+|MC|2+|MD|2＝++（sinθ﹣1）2++（sinθ+1）2++（sinθ+1）2
＝12cos2θ+20∈[20，32]．
六、选修4-5：不等式选讲
24．【解答】解：（1）f（x）＝|x+1|+|x﹣1|≥|（x+1）﹣（x﹣1）|＝2，
当且仅当（x+1）（x﹣1）≤0时取等号．
故f（x）的最小值为2，此时x的取值范围是[﹣1，1]．…（5分）（2）x≤0时，f（x）≥2x显然成立，所以此时m∈R；
x＞0时，由f（x）＝x+1+|mx﹣1|≥2x得|mx﹣1|≥x﹣1，
由y＝|mx﹣1|及y＝x﹣1的性质可得|m|≥1且≤1，
解得m≥1，或m≤﹣1．
综上所述，m的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．…（10分）。