2023-2024学年北京171中高二(下)期中数学试卷+答案解析

2023-2024学年北京171中高二（下）期中数学试卷
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。

在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知抛物线C 的准线方程为，则抛物线C 的标准方程为(
)
A. B.
C.
D.
2.的展开式中x 的系数是(
)
A.80
B.
C.160
D.
3.已知函数
，其导函数
的图象如图，则对于函数
的描述正确的是(
)
A.在上为减函数
B.在处取得最大值
C.在
上为减函数
D.在
处取得最小值
4.设随机变量X 的概率分布列为
X 1234
P m
则()
A.
B.
C.
D.
5.某社区计划在端午节前夕按如下规则设计香囊：在基础配方以外，从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选择一味添加到香囊，则不同的添加方案有()A.13种
B.14种
C.15种
D.16种
6.下列求导的运算中，正确的是()
A. B.
C. D.
7.设…，若
…
，则展开式中系数最大的项是()
A. B. C. D.
8.函数，当时，
恒成立，则k 的取值范围是(
)
A.
B.
C.
D.
9.已知双曲线的左焦点为F，右顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线FD，
D为垂足.若，则C的离心率为()
A. B.2 C. D.
10.定义满足方程的解叫做函数的“自足点”，则下列函数不存在“自足点”的是()
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。

11.已知的展开式的二项式系数之和为16，则__________；各项系数之和为__________用
数字作答
12.已知双曲线的左、右焦点分别为，，点，则双曲线的渐近线方程为__________；
__________.
13.函数的定义域为R，，对任意，，则的解集为__________.
14.把5件不同产品摆成一排，若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有________种.
15.已知函数，给出下列四个结论：
①当时，函数有最小值；
②，使得函数在区间上单调递增；
③，使得函数没有最小值；
④，使得方程有两个根且两根之和小于
其中所有正确结论的序号是__________.
三、解答题：本题共6小题，共85分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.本小题13分
已知函数，若曲线在处的切线方程为
求a，b的值；
求函数的单调区间和极值；
求函数在上的最大值、最小值.
17.本小题14分
如图，在长方体中，，
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求平面与平面ABCD夹角的余弦值；
Ⅲ求点B到平面的距离．
18.本小题14分
某超市销售5种不同品牌的牙膏，它们的包装规格均相同，销售价格元/管和市场份额指该品牌牙膏的销售量在超市同类产品中所占比重如下表：
牙膏品牌A B C D E
销售价格152552035
市场份额
Ⅰ从这5种不同品牌的牙膏中随机抽取1管，估计其销售价格低于25元的概率;
Ⅱ依市场份额进行分层抽样，随机抽取20管牙膏进行质检，其中A和B共抽取了n管.
ⅰ求n的值;
ⅱ从这n管牙膏中随机抽取3管进行氟含量检测.记X为抽到品牌B的牙膏数量，求X的分布列和数学期望.
Ⅲ品牌F的牙膏下月进入该超市销售，定价25元/管，并占有一定市场份额.原有5个品牌的牙育销售价格不变，所占市场份额之比不变.设本月牙育的平均销售价为每管元，下月牙膏的平均销售价为每管元，
比较，的大小只需写出结论
19.本小题14分
已知椭圆E：经过点，离心率为
求椭圆E的方程；
设过点的直线l与椭圆E有两个不同的交点A，均不与点M重合，若以线段AB为直径的圆恒过点M，求t的值.
20.本小题15分
已知函数，其中
Ⅰ当时，求曲线在点处的切线方程；
Ⅱ当时，判断的零点个数，并加以证明；
Ⅲ当时，证明：存在实数m，使恒成立．
21.本小题15分
已知项数为的有穷数列满足如下两个性质，则称数列具有性质P：①…；
②对任意的i，，与至少有一个是数列中的项．
Ⅰ分别判断数列1，2，4，16和2，4，8，16是否具有性质P，并说明理由；
Ⅱ若数列具有性质P，求证：……；
Ⅲ若数列具有性质P，且不是等比数列，求k的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】解：由准线方程可知抛物线的焦点在y轴上，设抛物线的方程为，，
且，解得，
所以抛物线的方程为
故选：
由抛物线的准线方程可得p的值，进而求出抛物线的方程．
本题考查抛物线的性质的应用，属于基础题．
2.【答案】A
【解析】解：展开式中x的项为
故选：
根据二项式展开式求解即可．
本题考查二项式定理的应用，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了导数和函数的单调性和极值，最值的关系，属于中档题．
结合图象，求出函数的单调区间，在判断函数的最值．
【解答】
解：当或时，，
故函数在，上单调递减，
当或时，，
故函数在上单调递增，
当或时函数取的极大值，
函数最大值为，，
无最小值，
故选：
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题简单的考查了概率分布列的定义，随机变量的运用判断，属于基础题．
利用概率分布的定义得出：，求出m，得出分布列，判断，求解即可．
【解答】
解：根据概率分布的定义得出：，
得，
随机变量X的概率分布列为
X1234
P
，
故选
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了分类加法计数原理，组合问题，属于基础题．
分四种情况，利用分类计数原理即可求出结果．
【解答】
解：从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选一种，有种，
从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中选二种，有种，
从佩兰、冰片、丁香、石莒蒲这四味中药中选三种，有种，
从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药全选，有1种，
所以从佩兰、冰片、丁香、石菖蒲这四味中药中至少选一种，共有种．
故选：
6.【答案】A
【解析】解：，正确，
，错误，
，错误，
，错误，
故选：
根据导数的公式即可得到结论．
本题主要考查导数的基本运算，属基础题．
7.【答案】D
【解析】解：在…中，
令，得，
令，得…，
；
展开式中系数最大的项为
故选：
利用二项展开式的基本定理确定n的数值，再求展开式中系数最大的项．
本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了赋值法求二项式的次数的应用问题．
8.【答案】C
【解析】解：依题意，在上恒成立，即在上恒成立，
令，则，
当时，，单减，当时，，单增，
，
故选：
问题等价于在上恒成立，构造函数，求其最小值即可．
本题考查不等式的恒成立问题及利用导数研究函数的最值，属于基础题．
9.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查双曲线的几何性质，主要包含渐近线、离心率，考查学生的数形结合思想、逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
过点D作于点C，易知C为AF的中点，从而有，由点到直线的距离公式可知，
再由，代入相关数据，进行运算即可．
【解答】
解：过点D作于点C，
，
点C为AF的中点，
，
而点到渐近线的距离为，
，即，
，即，
或舍，
离心率
故选
10.【答案】D
【解析】解：A中，，
由，得，
此方程有解，函数存在“自足点”；
B中，，由，得，
此方程显然有解，函数存在“自足点”；
C中，，由，
可知就是此方程的解，函数存在“自足点”；
D中，，
由，得，
，，
故该方程无解，函数不存在“自足点”．
故选：
对函数求导，根据题中的定义，列方程，判断方程根的情况即可判断．
本题考查了函数的运算，学生的数学运算能力，属于基础题．
11.【答案】4
81
【解析】【分析】
本题主要考查二项式系数之和以及各项系数之和，属基础题．
利用二项展开式的二项式系数和为，列出方程求出
n；再令可得结论．
【解答】
解：的展开式中二项式系数之和为，
，解得，
，令可得各项系数之和为：，
故答案为：
4；
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的简单性质的应用，双曲线的渐近线方程的求法，定义的应用，是基础题．
利用双曲线方程直接求解渐近线方程；求出焦点坐标，然后利用双曲线的定义求解即可得到【解答】
解：双曲线的渐近线方程为：，
双曲线的焦点坐标，
M在双曲线左支上，
所以，
故答案为：；
13.【答案】
【解析】【分析】
本题考查利用导数研究函数的单调性，学生灵活运用函数思想求解不等式，解题的关键是构建函数，确定函数的单调性．
构建函数，由得出的值，求出的导函数，根据，
得到在R上为增函数，根据函数的增减性即可得到大于0的解集，进而得到所求不等式的解集．【解答】
解：设，
则，
又对任意，，所以，
即在R上单调递增，
则的解集为，
即的解集为
故答案为：
14.【答案】36
【解析】【分析】
本题考查分步计数原理的应用，排列、组合的综合应用，属于中档题，要优先分析受到限制的元素，如本题的
A、B、分3步进行分析：
①用捆绑法分析AB相邻的摆法，
②计算其中A、B相邻又满足A、C相邻的情况，即将ABC看成一个元素，与其他产品全排列，
③在全部数目中将A、B相邻又满足A、C相邻的情况排除即可得答案.
【解答】
解：先考虑产品A与B相邻，把A、B作为一个元素有种方法，而A、B可交换位置，所以有种摆法，
又当A、B相邻又满足A、C相邻，有种摆法，
故满足条件的摆法有种．
故答案为
15.【答案】①②④
【解析】【分析】
①当时，函数，利用导数判断单调性，进而求出最小值，即可判断①；
②函数，，不妨令，利用导数
求解函数在区间上的单调性，即可判断②；
③函数，再构造函数，得到，使得
函数有最小值，即可判断③；
④由③知，时，，时，，时，，故存在根，
使得方程有两个根且两根之和为，即可判断④．
本题考查导数的综合应用，属于综合题．
【解答】
解：函数，
①当时，函数，
，
令，得或，
当时，，原函数单调递增，
当时，，原函数单调递减，
当时，，原函数单调递增，
故时，，故①正确；
②函数，
，
不妨令，则
令，得或1，
当时，，原函数单调递增，
，使得函数在区间上单调递增，故②正确；
③函数，，
令，，
在R上单调递增，
，，，，
，使得，
当时，，原函数单调递减，
当时，，原函数单调递增，
，使得函数有最小值，故③错误；
④由③知，时，，
时，，时，，
时，，时，，
所以方程的一根为0，另一个根，即方程有两个根且两根之和为
，故④正确．
故答案为：①②④．
16.【答案】解：由题意可知：，则，
因为曲线在处的切线方程为，
则，即，解得
因为，，
当时，；当时，；
可知函数的单调递增区间为和；函数的单调递减区间为，
的极大值为，的极小值为
函数在上单调递增，在上单调递减，
且，，，
函数在上的最大值，最小值
【解析】根据题意结合导数的几何意义可知，列式求解即可；
求导利用导数判断原函数的单调区间和极值．
利用导数判断原函数的单调区间和极值结合边界函数值判断即可．
本题考查导数的几何意义，考查利用导数研究函数的单调性，极值，考查运算求解能力，属于中档题．
17.【答案】Ⅰ证明：在长方体中，，
所以四边形是平行四边形，
所以，又平面，平面，
故平面
Ⅱ解：如图所示：以DA，DC，分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
故，，，，，，
设平面的法向量为，则，
取得到，，即，
易知平面ABCD的一个法向量为，
则，
根据图象知二面角的平面角为锐角，故平面与平面ABCD所成角的余弦值为
Ⅲ由Ⅱ，，
故B到平面的距离为
【解析】Ⅰ由线面平行的判断定理可得答案；
Ⅱ建立空间直角坐标系，分别求得平面的法向量、平面ABCD的一个法向量，根据向量的夹角公式计算得到答案；
Ⅲ直接利用向量根据点到平面的距离公式得到答案．
本题主要考查线面平行的证明，空间向量的应用，面面角的计算，点面距离的计算等知识，属于中等题．
18.【答案】解：Ⅰ由题意可知，这5种不同品牌的牙膏中随机抽取1管，
估计其销售价格低于25元的概率为；
Ⅱⅰ由题意，品牌A的牙膏抽取了管，
品牌B的牙膏抽取了管，
所以；
ⅱ由题意，X的可能取值为0，1，2，
所以，
，
，
故X的分布列为：
X012
P
所以；
Ⅲ，
，
其中3：2：5：4：6：a为A，B，C，D，E，F6个品牌的牙膏所占市场份额之比，
则，
所以
【解析】Ⅰ利用题中表格中的数据，由频率估计概率，即可得到答案；
Ⅱⅰ由分层抽样的特点，结合表格中的数据，即可得到答案；
ⅱ先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，列出分布列，由数学期望的计算公式求解即可；
Ⅲ分别求出，，然后作差比较大小即可．
本题考查了频率估计概率的应用，离散型随机变量及其分布列和离散型随机变量期望的求解与应用，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
19.【答案】解：因为椭圆E：经过点，离心率为，
所以，，
所以椭圆E的方程
设直线l的方程为：，，，
由，得，
，
，，
，
，
因为以线段AB为直径的圆恒过点M，
所以，即，
所以，即，
即，解得或舍，
所以
【解析】根据题意易知，，写出椭圆的方程即可；
设直线l的方程，联立直线与椭圆方程，消元，利用韦达定理分别求出，，代入直线方程求出，，根据以线段AB为直径的圆恒过
点M，得出，即，代入化简即可求出结果．
本题考查椭圆方程和性质，直线与椭圆的位置关系，属难题．
20.【答案】解：Ⅰ时，，，
故，，故切线方程为：，
即；
Ⅱ存在一个零点，理由：
，
，
显然恒成立，故
在
上是增函数，又
时，
，时，，
故存在唯一的零点，使得；
Ⅲ，
，
令
，
，故
是增函数，
而当时，，时，
，
故存在，使得，
且时，
，时，
，
故是的极小值点，也是最小值点，
存在实数
，使
恒成立．
【解析】本题考查导数的几何意义，利用导数研究函数的单调性、极值情况，进一步解决不等式恒成立问题，函数零点的个数问题，属于综合题．
Ⅰ求出切点处的函数值、导数值，利用点斜式写出切线方程；
Ⅱ研究
的单调性，极值的符号等，确定零点的个数；
Ⅲ只需判断此例中的函数
存在极小值即可．
21.【答案】解：Ⅰ数列1，2，4，16不具有性质P ，因为和
，
，
，而8，
32不在数列
中；
2，4，8，16不具有性质P ，因为，
都不是数列中的项；
Ⅱ证明：因为，所以
，即，故，
设，因为
，，所以
，
则得…，
因为…
，
故
，
，
，…，
，
，
累乘得：……，
故……；
Ⅲ当时，由Ⅱ，，，
与数列不是等比数列矛盾，不合题意；
当时，存在数列符合题意，例如数列1，2，8，16，故k可以为4；
当时，由Ⅱ，①
当时，，所以，，
又…，
…，
所以，，…，，
所以，
因为，所以，，
所以，，
所以②
由①②两式相除可得与数列不是等比数列矛盾，不合题意．
综上可得，
【解析】Ⅰ由性质②，即可判断两个数列是否具有性质P；
Ⅱ首先推得，，，再由累乘法可得证明；
Ⅲ分别讨论，，的情况，结合Ⅱ的结论，可得结论．
本题考查数列的应用，以及等比数列的性质，理解性质P是解题的关键，考查运算能力和推理能力，属于难题．。