人教A版高中数学选修1-2《三章 数系的扩充与复数的引入 3.2.2 复数代数形式的乘除运算》优质课教案_30

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z z
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z z
-
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§3.2.2复数代数形式的乘除运算
教学目标：
知识与技能：理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算
过程与方法：理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化的问题
情感态度与价值观：利用多项式乘除法和复数乘除法的类比，知道事物之间是普遍联系的。

通过学习复数乘除法的运算法则，培养学生探索问题、分析问题、解决问题的能力。

教学重点：复数代数形式的除法运算。

教学难点：对复数除法法则的运用。

教具准备：多媒体、实物投影仪。

教学过程：
一、复习回顾：
1.虚数单位i：i2=-1；
2.复数的代数形式：z=a+bi；
3.复数z1=a+bi与z2=c+di的和差的定义：z1+ z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+ (b+d) i
二、讲解新课：
教师提出：（a+b）（c+d）=? （类比多项式的乘法引入新课）
1、复数的乘法运算：
（1）复数乘法运算法则
规定复数的乘法按照以下的法则进行：
设z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a+bi)(c+di)=(ac－bd)+(bc+ad)i.
其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。

（2）复数的乘法运算律：(1) z1·z2= z2·z1
(2) z1(z2z3)=(z1z2)z3
(3) z1(z2+z3)=z1z2+z1z3
例1计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i)
解：(-2-i)(3-2i)(-1+3i)＝(-8+i) (-1+3i)= 5-25i.
例2计算：（a+bi）2
解：（a+bi）2=a2+2abi-b2
例3 计算（a+bi）（a-bi）
解：（a+bi）（a-bi）=a2-（bi）2= a2+b2
（由例3引出共轭复数）
2、共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数
通常记复数z的共轭复数为z。

思考1：设z=a+bi (a,b∈R ),那么①②③
思考2：共轭复数在复平面的位置关系？
3、复数的除法运算：
教师提出：（类比分母有理化引出复数除法法则）
（1）定义：满足的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记
为：(a+bi)÷(c+di)或者
di
c
bi
a
+
+
?
z z
-
-=
（2）复数的除法运算法则
①设复数a +bi (a ，b ∈R )，除以c +di (c ，d ∈R )，其商为x +yi (x ，y ∈R )，
即(a +bi )÷(c +di )=x +yi
∵(x +yi )(c +di )=(cx －dy )+(dx +cy )i . ∴(cx －dy )+(dx +cy )i =a +bi .
由复数相等定义可知⎩⎨⎧=+=-.,b cy dx a dy cx ，解方程组，得⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧+-=++=.,2222d c ad bc y d c bd ac x 于是有:(a +bi )÷(c +di )=2222d
c a
d bc d c bd ac +-+++ i . ②利用(c +di )(c －di )=c 2+d 2.于是将di
c bi a ++的分母有理化得： 原式=22
()()[()]()()()a bi a bi c di ac bi di bc ad i c di c di c di c d ++-+⋅-+-==++-+ 222222()()ac bd bc ad i ac bd bc ad i c d c d c d
++-+-==++++. ∴(a +bi )÷(c +di )=i d c ad bc d c bd ac 2
222+-+++. 点评：①是常规方法，②是利用初中我们学习的化简无理分式时采用的分母有理化思想方法，而复数c +di 与复数c －di ，相当于我们初中学习的23+的对偶式23-，它们之积为1是有理数，而(c +di )·(c －di )=c 2+d 2是正实数，所以可以分母实数化，把这种方法叫做分母实数化法。

例4计算(12)(34)i i +÷-
解：(12)(34)i i +÷-1234i i
+=- 22(12)(34)386451012(34)(34)342555
i i i i i i i i ++-++-+====-+-++ 巩固练习：1.已知z 1=3+2i ， z 2=1-4i ，则z 1+ z 2，z 1- z 2 ，z 1。

z 2， z 1/ z 2。

三、课堂小结：
1、复数相乘类似于多项式相乘，只要在所得的结果中把i 2换成－1，并且把实部和虚部分别合并。

2、实数系中的乘法公式在复数系中仍然成立。

3、复数代数形式的除法实质：分母实数化。

四、课后作业：
课本第112页 习题3. 2 A 组4，5，6 ；B 组1，2
教学反思：
本节课的内容是人教A 版选修1-2第三章的内容（文科）。

这一知识点在高考中是热点，这几年来全国高考均以选择题出现。

本节课有明确的教学目标，能突出重点，分散难点，熟练运用现代化教学手段，结合板书、投影、学案教学，根据具体内容，选择恰当的教学方法，充分发挥学生主体作用，调动学生学习的积极性。

本课的教学重点是复数代数形式的乘除法运算法则、运算律，共轭复数概念的理解。

注重培养学生的演绎思维、类比推理和迁移能力。

复数的乘法法则是(a +bi )(c +di )=(ac －bd )+(bc +ad )i . 复数的代数式相乘，可按多项式类似的办法进行，不必去记公式。

复数的除法法则是2222d
c a
d bc d c bd ac di c bi a +-+++=++i (c +di ≠0)。

教学难点是复数的除法法则，在教学中通过类比作根式除法时，分子分母都乘分母的“有理化因式”，从而使分母“有理化”。

这里分子分母都乘分母的“实数化因式”（共轭复数），从而使分母“实数化”，转化为复数的乘法运算，从而分散难点。

这节课教学的预设目标完成，特别是知识目标，学生能很好地掌握复数代数形式的乘除运算法。

当然也存在很多不足，时间节奏方面控制有些不好，教学中还是有些紧张，语言个别地方表述不严谨等。

如果对教材挖掘得更到位些，更深入地体会教材的编写意图，相信这堂课会更有成效。