陕西省商洛市2020-2021学年高二上学期期末考试理科数学试题Word版含答案

陕西省商洛市2020-2021学年上学期期末考试
高二理科数学试题
考生注意：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分．考试时间120分钟． 2．请将各题答案填写在答题卡上．
3．本试卷主要考试内容：北师大版必修5，选修2-1．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题
目要求的．
1．已知:[1,3]q x ∃∈，2231x x -<，则q ⌝为（ ） A ．[1,3]x ∀∉，2231x x -≥ B ．[1,3]x ∀∈，2231x x -≥
C ．[1,3]x ∃∉，2231x x -≥
D ．[1,3]x ∃∈，2231x x -≥
2．已知集合{}
2340A x x x =+-<∣，{323}B x
x =+>-∣，则A B =（ ）
A ．{43}x
x -<<-∣ B ．{34}x
x -<<∣
C ．{01}x
x <<∣
D ．{31}x
x -<<∣ 3．已知空间向量(2,1,1)a =-，(1,,7)b λ=，若a b ⊥，则λ=（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
4．双曲线2
2
26x y -=的虚轴长为（ ）
A
B ．2
C ．
D ．
5．已知命题:p 若直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直则l α∥，命题:q ，则（ ） A ．p q ∧为真命题
B ．p q ∨为假命题
C ．()p q ∨⌝为真命题
D ．()p q ⌝∧为真命题
6．“2()k k απ=∈Z ”是“sin 22sin αα=”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．充要条件
C ．必要不充分条件
D ．既不充分也不必要条件
7．如图在平行六面体1111ABCD A B C D -中，AC 与BD 的交点记为M ．设1AA a =，AB b =，AD c =，则下列向量中与1MB 相等的向量是（ ）
A ．1122a b c -
+
B ．11
22a b c +- C ．1122a b c ++ D ．11
22a b c --
8．抛物线21
2x y =上一点(4,)P m 到焦点F 的距离为（ ）
A ．338
B ．5
C ．257
8
D ．33
9．在三棱锥A BCD -中，AB ⊥平面BCD ，2AB =，4BC =，3CD =，5BD =，点E 在棱AD 上，且
2AE ED =，则异面直线BE 与CD 所成角的余弦值为（ ）
A 326
B ．
35
C 317
D 610．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且sin 2sin B A =，34c a b =+，则cos B = （ ）
A ．
1
3
B ．
14
C ．
12
D ．
23
11．正三棱柱111ABC A B C -的底面边长和高均为2，点D 为侧棱1CC 的中点，连接AD ，BD ，则点1C 到平
面ABD 的距离为（ ）
A 7
B 5
C 3
D 2 12．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左右焦点分别为1F ，2F ，点P 为C 上一点，12120F PF ∠=︒，
12F PF △的内切圆与外接圆的半径分别为1r ，2r ，若216r r =，则C 的离心率为（ ）
A ．
32
B ．
154
C ．
1920
D ．
910
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡中的横线上．
13．若实数x ，y 满足约束条件075100x y x y x -≥⎧⎪
-≤⎨⎪≥⎩
，则2z x y =+的最大值为__________．
14．已知0a >，0b >，42a b +=，则
11
a b
+的最小值为__________． 15．“一尺之棰，日取其半，万世不竭”这句话出自《庄子·天下篇》，其意思为“一根一尺长的木棰每天
截取一半，永远都取不完”设第一天这根木棰被截取一半剩下1a 尺，第二天被截取剩下的一半剩下2a 尺，…，第五天被截取剩下的一半剩下5a 尺，则
12
5
a a a +=__________． 16．已知双曲线22
22:1(0,0)y x C a b a b
-=>>，直线x b =与C 的两条渐近线分别交于A ，B 两点，过A 作圆
222:(2)M x b y b ++=的切线，D 为其中一个切点若||||AD AB =，则C 的离心率为__________．
三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）
已知{}n a 是等差数列，11a =，850a =． （1）求{}n a 的通项公式；
（2）求数列{}
22n n a -的前n 项和n S ． 18．（12分）
ABC △的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．已知2225
8
b c a bc +-=，sin 2sin C B =．
（1）求cos A ；
（2）若ABC △
的周长为6ABC △的面积． 19．（12分）
已知椭圆C 的对称中心为坐标原点，焦点在坐标轴上，长轴为12A A ，且12A A 等于双曲线
22
1165
x y -=的实轴长，C
的离心率为
4
．
（1）求C 的标准方程；
（2）若P 为C 上一动点，且P 不在坐标轴上，求12PA A △面积的取值范围． 20．（12分）
在直四棱柱1111ABCD A B C D -中底面ABCD 为正方形，124AA AB ==，M ，N ，P 分别是AD ，1DD ，1
CC 的中点．
（1）证明：平面MNC ∥平面1AD P ； （2）求直线DP 与平面MNC 所成角的正弦值． 21．（12分）
如图，PA ⊥平面ABCD ，四边形ABCD 为直角梯形，226AD BC AB ===，AD BC ∥，AB BC ⊥．
（1）证明：PC CD ⊥；
（2）若PC AD =，点E 在线段CD 上，且2CE ED =求二面角A PE C --的余弦值． 22．（12分）
已知抛物线2
:2(0)C y px p =>与双曲线2
213
x y -=有相同的焦点F ．
（1）求C 的方程，并求其准线l 的方程；
（2）如图，过F 且斜率存在的直线与C 交于不同的两点()11,A x y ，()22,B x y ，直线OA 与准线l 交于
点N ．过点A 作l 的垂线，垂足为M ．证明：12y y 为定值，且四边形AMNB 为梯形．
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高二理科数学试题参考答案
1．B 存在量词命题的否定是全称量词命题． 2．D
因为{}41A x x =-<<∣，{}
3B x x =>-∣， 所以{}31A
B x x =-<<∣．
3．A
因为270a b λ⋅=+-=，所以5λ=．
4．C 由2
2
26x y -=，得22
163
x y -=，所以23b =，则223b = 5．D
如果直线l 的方向向量与平面α的法向量垂直，那么l α∥或l α⊂， 所以p 为假命题．2”是真命题．
6．A
若2()k k απ=∈Z ，
则sin 2sin 40k απ==，2sin 2sin 20k απ==，sin 22sin αα=成立． 若sin 22sin αα=，
则2sin cos 2sin ααα=，得sin 0α=，或cos 1α=． 当sin 0α=时，()k k απ=∈Z ； 当cos 1α=时，2()k k απ=∈Z ．
故“2()k k απ=∈Z ”是“sin 22sin αα=”的充分不必要条件．
7．B 11111111
()2222
MB MB BB DB BB AB AD AA a b c =+=
+=-+=+-． 8．C
依题意可得21
42m =
，所以32m =， 则1257
||32288
p PF m =+=+=．
9．A
建立如图所示的空间直角坐标系B xyx -，
得(0,0,2)A ，(0,0,0)B ，(0,4,0)C ，(3,4,0)D -，
由2AE ED =，得2842,,333AE AD ⎛
⎫=
=-- ⎪⎝⎭， 所以822,,33BE BA AE ⎛⎫=+=- ⎪⎝
⎭
，(3,0,0)CD =-． 设异面直线CD 与BE 所成角为θ， 所以6326
cos 26
||||
68349
BE CD
BE CD θ⋅=
=
=
⨯+
． 10．B 由sin 2sin B A =，得2b a
=，
因为34c a b =+，所以2c a =，
222222(2)(2)1
cos 2224
a c
b a a a B a
c a a +-+-===⋅．
11．C 如图，建立空间直角坐标系O xyz -，O 为11A B 的中点，
由已知，(1,0,2)A -，(1,0,2)B ，3,1)D ，13,0)C ， 所以(2,0,0)AB =，(1,3,1)AD =-，
可求得平面ABD 的法向量为(0,1,3)n =，1(0,0,1)C D =， 则点1C 到平面ABD 的距离为
13
2
||
C D n n ⋅=
． 12．D 设122F F c =，则2222sin1203
c r r =
⇒=︒．
因为122PF PF a +=， 所以()
()2
2
12
12
1221cos120F F PF PF PF PF =+-+︒，
则2
2
1244c a PF PF =-，则2
124PF PF b =． 由等面积法可得
)222111
(22)4sin120322
a c r
b a
c +=⨯⨯︒=-， 整理得13()r a c =-， 因为216r r =63()3
a c =-，故9
10c e a ==．
13．15 作出可行域（图略），由图可知，
当直线2z x y =+经过点()5,5A 时，z 取得最大值，且最大值为15．
14．
92 因为1111114(4)522b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛
⎫+=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，44b a a b +≥=， 所以
119
2
a b +≥． 15．24 依题意可知，1a ，2a ，3a ，…成等比数列，且公比为
12
， 则125
5
11242412a a a +
+==．
16
．
4
将x b =代入C 的渐近线方程a
y x b
=±
，得y a =±，则||2AB a =． 不妨假设(),A b a
，则||AD ==
因为||||AD AB =
2a =，即223
8
b a =，
故e ==．
17．解：（1）因为11a =，850a =，所以公差501
781
d -=
=-， 则{}n a 的通项公式为17(1)76n a n n =+-=-．
（2）由（1）知2222(76)n n
n a n -=--，
所以()212(176)212
2
n n n n
S -+-=
-⨯
-
122752n n n +=-+-．
18．解：（1）因为2225
8
b c a bc +-=
， 所以2225
cos 216
b c a A bc +-=
=． （2）因为sin 2sin C B =，所以2c b =．
由余弦定理得2222
152cos 4
a b c bc A b =+-=
，
则a =
． 因为ABC △
的周长为6+
，所以362
b +=+ 解得2b =．
所以ABC △
的面积为122b b ⨯⨯=．
19．解：（1）因为双曲线
22
1165
x y -=
的实轴长为8=，
所以22228a c
a a
b
c =⎧⎪
⎪=⎨⎪=+⎪⎩
，
解得221610a b ⎧=⎨=⎩
，
所以C 的标准方程为
2211610x y +=或22
11016
x y +=． （2）因为210b =
，所以b =
所以P 到12A A
的距离d ∈， 所以12PA A △
面积的取值范围为(0,．
20．（1）证明：因为M ，N ，P 分别是AD ，1DD ，1CC 的中点，
所以1MN AD ∥，1CN PD ∥． 又1AD ⊄平面MNC ，MN ⊂平面MNC ， 所以1AD ∥平面MNC ． 同理1PD ∥平面MNC ， 又1
11AD PD D =，
所以平面MNC ∥平面1AD P ．
（2）解：以D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系D xyz -，
则()0,0,0D ，()0,2,2P ，()1,0,0M ，()0,0,2N ，()0,2,0C ，
(0,2,2)DP =，(1,0,2)MN =-，(1,2,0)MC =-．
设平面MNC 的法向量为(),,n x y z =，
则2020
MN n x z MC n x y ⎧⋅=-+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩， 令1z =，得(2,1,1)n =．
设直线DP 与平面MNC 所成角为θ， 则||3
sin |cos ,|3
||||DP n DP n DP n θ⋅==
=
， 所以直线DP 与平面MNC 3． 21．（1）证明：由题意易知22
3332AC +=
作CH AD ⊥，垂足为H ，则3CH DH ==， 故2
2
3332CD =+=
因为222AD AC CD =+，所以AC CD ⊥．
因为PA ⊥平面ABCD ，CD ⊂平面ABCD ，所以AP CD ⊥． 因为AC ⊂平面APC ，AP ⊂平面APC ，且AC AP A =，
所以CD ⊥平面APC ．
因为PC ⊂平面APC ，所以CD PC ⊥．
（2）解：因为6PC AD ==，32AC =，且PA AC ⊥， 所以2232AP PC AC =-=．
以A 为原点，分别以AB ，AD ，AP 的方向为x ，y ，z 轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz -．
则(0,0,0)A ，(1,5,0)E ，(3,3,0)C ，(0,0,32)P ，
从而(1,5,0)AE =，(0,0,32)AP =，(2,2,0)CE =-，(3,3,32)CP =--．
设平面APE 的法向量为()111,,n x y z =，
则11132050n AP z n AE x y ⎧⋅==⎪⎨⋅=+=⎪⎩，令15x =，得()5,1,0n =-．
设平面PCE 的法向量为()222,,m x y z =， 则2222233320220
m CP x y z m CE x y ⎧⋅=--+=⎪⎨⋅=-+=⎪⎩，
令21x =，得(2m =．
设二面角A PE C --为θ，由图可知θ为锐角， 则|||526cos ||||262n m n m θ⋅-===⨯． 22．（1）解：因为双曲线2
213
x y -=的右焦点为()2,0， 所以()2,0F ，则
22p =，即4p =， 故C 的方程为28y x =，
其准线l 的方程为2x =-．
（2）证明：由题意可知，直线AB 过点F 且斜率存在，设其方程为(2)(0)y k x k =-≠，
联立2(2)8y k x y x
=-⎧⎨=⎩，整理得28160ky y k --=， 2Δ64640k =+>恒成立，
121616k y y k
-==-，故12y y ⋅为定值． 因为点N 在准线l 上，设点N 为()2,m -，
则由OA ON k k =，可得112
y m x =-． 又21
16y y =-，所以112211122168
y y m y y x y =-=-=-=． 因此BN x ∥轴AM ∥，
易知，12x x ≠，||AM BN ≠
∣，故四边形AMNB 为梯形．。