吉林省长春汽车经济技术开发区六中2018_2019学年高二数学上学期期中试题文20181214021

汽开区六中高二年级2018~2019学年度上学期期中考试
数学（文）学科
考试说明：1.考试时间为120分钟，满分150分，选择题涂卡。

2.考试完毕交答题卡。

第Ⅰ卷
一、选择题（本题包括12个小题，每小题只有一个正确选项，每小题5分，共60分）1．命题“若p则q”的逆否命题是（）
A．若p则q B．若q则p C．若p则q D．若q则p
2．k进制数3651，则k可能是( )
（k）
A．2 B．4 C．6 D．8
3．如图所示的程序框图的运行结果是（）
A．2 B．2.5 C．3.5 D．4
4．下列说法正确的是( )
3
A．甲、乙二人比赛，甲胜的概率为，则比赛5场，甲胜3场
5
B．某医院治疗一种疾病的治愈率为10%，前9个病人没有治愈，则第10个病人一定治愈C．天气预报中，预报明天降水概率为90%，是指降水的可能性是90%
D．随机试验的频率与概率相等
x
22
y
5．已知ABC的顶点B，C在椭圆1上，顶点是椭圆的一个焦点，且椭圆的另
A
169
一个焦点在边BC上，则ABC的周长是（）
A．16 B．83C．12 D．8
6．从1，2，3，4四个数字中任取两个不同数字，则这两个数字之积小于5的概率为（）
112 A．B．C．D．3235 6
x y
22
7．设P是双曲线1上一点，双曲线的一条渐近线方程为2，F，F分别
3x y0
是双曲线的左、右焦点，若|1|3，则PF（）
PF||
2
A．1或5 B．6 C．7 D．9
- 1 -
8． A ， B 两名同学在 5次数学考试中的成绩统计如下面的茎叶图所 示，若 A ， B 两人的平均成绩分别是 x ， x ，观察茎叶图，下列结
A
B
论正确的是（ ）
A ．
，B 比 A 成绩稳定
B ．
，B 比 A 成绩稳定
x A x
x A x
B
B
A
x
B
B
x
C ．
，A 比 B 成绩稳定 D ．
，A 比 B 成绩稳定
x
A
x
9．如图，在
ABC 中，
30 ，
、
边上的
CAB
CBA AC
BC
高分别为 BD 、 AE ，则以 A ， B 为焦点，且过 D 、 E 的椭圆与双 曲线的离心率的倒数和为（ ） A ． 3
B ． 1
C ． 2 3
D ． 2
10．如图所示是一个长方形，其内部阴影部分为两个半圆，在此长方形中任取一点， 则此点取自阴影部分的概率为（ ）
3
3 3
A ．
B ．
C ．
D ．
1 1 8
8
16
3 16
11．若点 A 的坐标为 (3,2) ， F 是抛物线 y 2 4x 的焦点，点 M 在抛物线上移动
时，使| MF | | MA | 取得最小值的 M 的坐标为（） 1 A ． (0,0)
B ． ( ,1)
C ． (1, 2)
D ． (1, 2)
2
x
y
2
2
12．已知 ， 分别是椭圆 的左、右焦点， 为椭圆上一点，且
F
F
1(a b 0) P
1
2
2
2
a
b
PF 1
(OF
OP
O
|
| 2 | |
) 0
1
PF
（ 为坐标原点），若
，则椭圆的离心率为（）
PF
1
2
D．
2
第Ⅱ卷
二、填空题（本题包括4个小题，每小题5分，共20分）
13．为了了解2100名学生早晨到校时间，计划采用系统抽样的方法从全体学生中抽取容量为100的样本，则分段间隔为__________．
14．命题“,40”为假命题，是“”的____________条件．
x R x ax a16a0
02
00
15．已知命题p：关于x的方程x2ax10有实根；命题q：a0．若“p q”是真命题，“p q”是假命题，则实数a的取值范围是__________．
- 2 -
x
2
16．已知椭圆C：21，F，F是椭圆C的两个焦点，P是该椭圆上的一个动点，
y
12
4
则的范围为____________．
P F1PF
2
三、解答题（本题包括6个小题，17题10分，18--22每题12分，共70分）
5
17．（1）求焦点在x轴上，虚轴长为12，离心率为的双曲线的标准方程；
4
（2）求经过点P(2,4)的抛物线的标准方程．
18．近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国．某选拔赛后，随机抽取100名选手的
成绩，按成绩由低到高依次分为第1，2，3，4，5组，制成频率分布直方图如下图所示：
（1）在第3、4、5组中用分层抽样抽取5名选手，求第3、4、5组每组各抽取多少名选手；（2）在（1）的前提下，在5名选手中随机抽取2名选手，求第4组至少有一名选手被抽取的概率．
19．（本小题满分12分）
已知{}是公比为的等比数列，且1,a,a成等差数列．
a q1a
n32
（1）求q的值；
（2）设{b}是以2为首项，q为公差的等差数列，其前n项和为S，求使S0成立的最大n n n
的n的值．
20．某地区2011年至2017年农村居民家庭人均纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2011 2012 2013 2014 2015 2016 2017 年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（1）若y关于t的线性回归方程为y bt 2.3，根据图中数据求出实数b并预测2018年该地区农村居民家庭人均纯收入；
（2）在2011年至2017年中随机选取两年，求这两年人均纯收入高于3.6千元的概率．
21．如图，在四棱柱中，平面底面，且．
ABCD A ABCD ABC
A1B C D
- 3 -
（1）求证：BC//平面1C；
AB
1
（2）求证：平面平面．
A1ABB AB
1C
11
x y
22
22．已知椭圆C：1(a b0)的两个焦点与短轴的一个端点连线构成等边三角形，
a b
22
且椭圆C的短轴长为23．
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）是否存在过点P(0,2)的直线l与椭圆C相交于不同的两点M，N，且满足
OM ON2O l
（为坐标原点）若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由．
- 4 -
汽开区六中高二年级2018~2019学年度上学期期中数学（文）参考答案
1．B
【解析】本题主要考查命题及其关系。

逆否命题是将原命题的条件与结论否定，然后再将否定
后的条件和结论互换，故命题“若则”的逆否命题是“若，则”。

故选
2．D
【解析】因为k进制数3651(k)中出现的最大数字为6，
可得：k>6，
故选：D.
3．B
24
【解析】，故选B。

S 2.5
42
4．C
【解析】
【分析】
概率表示事件发生的可能性的大小，具有随机性，频率代表实验中事件实际发生的次数与试验总次数之比，为实际值，由此判断即可.
【详解】
A选项，此概率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非一定是5场胜3场；
B选项，此治愈率只说明发生的可能性大小，具有随机性，并非10人一定有人治愈；
C选项，概率为90%，即可能性为90%.
D选项，试验的频率可以估计概率，并不等于概率；
故选C.
【点睛】
本题考查概率的特点以及概率与频率之间的关系，由概率的随机性即可判断.
5．A
【解析】
△ABC的顶点B，C在椭圆上，
顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另一个焦点在BC上，
由椭圆的定义可得：△ABC的周长是4a=4×4=16．
故答案为：A。

6．B
【解析】从 1,2,3,4四个数字中任取两个不同数字，共有1, 2,1, 3,1, 4,2, 3,2, 4,3, 4
共 6个基本事件，其中这两个数字之积小于 5的有
1, 2
,
1, 3
,
1, 4
共 3个基本事件，则这两
3 1 个数字之积小于 5的概率为
；故选 B.
P
6 2
7．C 【解析】
【分析】
由双曲线的方程，渐近线的方程求出 ，由双曲线的定义求出
【详解】
由双曲线的方程，渐近线的方程可得： ，解得
由双曲线的定义可得： 解得 故选 【点睛】
本题主要考查了双曲线的简单性质，结合双曲线的定义进行计算求出结果，较为简单，属于基 础题 8．A 【解析】
【分析】
根据茎叶图看出 和 的五次成绩离散程度，计算出 和 的平均数，比较大小即可
【详解】
的成绩为 ， 的平均数为
的成绩为
的平均数为
从茎叶图上看出 的数据比 的数据集中， 比 成绩稳定 故选 【点睛】
本题考查了茎叶图的应用问题，考查了平均数的求法，解题时应该观察茎叶图中的数据，根据
数据解答问题，属于基础题。

9．A
【解析】
若是椭圆，则，，，，而椭圆的离心率
，若是双曲线，则，
，所以，故选A. 10．C
2
【解析】2A
S
1
3
9
阴
224
S
阴
S
长方形
9
4
3
43
16
故选C
11．D
【解析】
【分析】
已知抛物线y2=4x，画出抛物线图象，以及焦点和准线，过点A作准线的垂线，与抛物线交于点M，即为所求点.
【详解】
如图，已知y2=4x，可知焦点F（1,0），准线：x= -1，
过点A作准线的垂线，与抛物线交于点M，作根据抛物线的定义，可知|BM|=|MF|
|MF|+|MA|=|MB|+|MA|取最小值，
已知A（3,2），可知M的纵坐标为2，代入y2=4x中，得M的横坐标为1，
即M(1，2).故选：D
【点睛】
- 7 -
抛物线上一点到焦点的距离，可以转化为该点到准线的距离，与已知定点，构造出“一条直 线”，根据“点到直线垂线段最短”求解. 12．A 【 解 析 】 以
为 邻 边 作 平 行 四 边 形 ， 根 据 向 量 加 法 的 平 行 四 边 形 法 则 ， 由
O F 1,OP
PF OF
OP
1
1
知 此 平 行 四 边 形 的 对 角 线 垂 直 ， 即 此 平 行 四 边 形 为 菱 形 ， ∴
， ∴
是 直 角 三 角 形 ， 即
， 设
， 则
OP OF
F PF
PF PF
PF
x 1
1
2
1
2
2
c 3 ，∴
，故选 A ．
e
6 3
a
2
1
13． 【解析】 【分析】
根据系统抽样的特征，求出分段间隔即可. 【详解】
根据系统抽样的特征，得：
从 2100名学生中抽取 100个学生，分段间隔为 ，
故答案是 21. 【点睛】
该题所考查的是有关系统抽样的组距问题，应用总体除以样本容量等于组距，得到结果，属于 简单题目. 14．充要 【解析】∵命题“ ”为假命题，∴命题“ ”为真命题，则
判别式 ，即
，解得
，则命题“
”为假命题，
是“ ”的充要条件，故答案为充要.
15
．
,
20,
2
【解析】当命题 p 为真时，有 a 2 4 0 ，解得 a 2或 a 2 ．
∵“
p q
”是假命题，
- 8 -
∴p q是真命题．
又“p q”是假命题，
∴p，q一个为真命题，一个为假命题．
①当p真q假时，
a2或a 2
则，解得；
{ a0
a0
②当p假q真时，
2 a 2
0 a 2
a0
则，解得．
{
综上可得实数a的取值范围是,20, 2．
答案：,20, 2
16．
【解析】
由题意，得的左、右焦点分别为，设椭圆上任意一点，则，
；故填.
【技巧点睛】本题考查椭圆的几何性质和平面向量的数量积运算；本题的难点在于如何设出点的坐标，常用三角函数代换设法降低了困难.
x y
2 2
1 x y
2
17．（1）；（2）.
64 36
【解析】试题分析：（1）由虚轴长是12求出半虚轴b，根据双曲线的性质c2=a2+b2以及离心率，求出a2，写出双曲线的标准方程；
（2）设出抛物线方程，利用经过P2,4，求出抛物线中的参数，即可得到抛物线方程．
试题解析：
- 9 -
（１）解：焦点在x轴上，设所求双曲线的方程为=1．由题意，得解得，．∴．所以焦点在x轴上的双曲线的方程为
．
（2）解：由于点P在第三象限，所以抛物线方程可设为：y22px或x22py
在第一种情形下，求得抛物线方程为：y28x；在第二种情形下，求得抛物线方程为：
x y
2
7
18．（1）2人、2人、1人；（2）.
10
【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图可以求出3、4、5组的频数分别为20、20、
10，根据分层抽样的原则：比例相同，可以得到抽取的人数：3组2人；4组2人；5组1人；（2）根据古典概型分别列举出从五位选手中抽取两位选手的总事件有10种，其中第4组至少
7
有一名选手的事件有7，故概率为.
10
试题解析：（1）由频率分布直方图易知第3组的频率为0.041751700.2，从而第3 组的频数为1000.220，同理可得第4、5组的频数分别为20、10，所以第3、4、5组共
有50名选手.
利用分层抽样在50名选手中抽取5名选手，每组抽取的人数分别为：
20
2052105
1 第3组：人，第4组：人，第5组：
人，
52
505050
所以第3、4、5组分别抽取2人、2人、1人.
（2）设第3组的2位选手为，，第4组的2位选手为，，第5组的1位选手为
A A
B B
1212
C A A A B A B
，则从这五位选手中抽取两位选手有，，，，
1,21,2A C
1,11, 1 1
A B A B A C B B B C
2,12,22,11,21,12,1
，，，，，，共10种.其中第4组的2
B C
位选手，中至少有一位选手入选的有：，，，，B2,2
B A B A B A B
1,11,22,1
A B
12
7
B B B C
1,21,12,1
，，，共有7种，所以第4组至少有一名选手的概率为.
B C
10
- 10 -
19．解：（1）由成等差数列知，即，所以
a a a
1,3,22a a a2a q2a a q2q2q10
312111
所以q1或q1而q1，所以1．
q
22
n(n1)1n2n8n n29n
（2）由已知得，所以，可
S2n()n29n0
n
2244
得0n9，所以满足条件的n8．
20．（1）6.3（千元）;（2）.
【解析】分析:（1）根据回归直线经过样本中心点,求出b的值，再利用回归方程预测2018
年该地区农村居民家庭人均纯收入. （2）利用古典概型的概率公式求这两年人均纯收入高于
3.6千元的概率.
详解：（Ⅰ）由题，，
，
代入得，
当时，（千元）
（Ⅱ）记：
即，
记事件“这两年人均纯收入都高于千元”，则
，即
则.
点睛：回归直线经过样本中心点，这是回归分析里的一个重要考点，在解题时注意运用. 21．（1）见解析;（2）见解析.
【解析】（1）立体几何中线面平行的证明，可根据线面平行的判定定理来进行证明，只需证明
直线与该平面内的某一直线平行即可，一般常用的方法是平行四边形对边平行的性质或者是三
角形中位线与底边平行的性质；（2）可根据面面垂直的判定定理来进行证明，一般思路是“面
面垂直线面垂直线线垂直”的过程.
试题解析：（1）在四棱柱中，.
ABCD A B C D BC//B C
111111
- 11 -
因为BC平面AB C，B C平面AB C，
1 1 1 1 1 1
所以BC/ / 平面AB C.
1 1
（2）因为平面底面，平面底面，底面
A AB
B ABCD A ABB ABCD AB BC
1 1 1 1
ABCD
，
且由知，
AB BC
ABC
2
所以BC平面.
A ABB
1 1
又，
BC/ /B C
1 1
故平面.
B C A ABB
1 1 1 1
而平面，
B C AB C
1 1 1 1
所以平面平面.
A AB
B AB C
1 1 1 1
x y
2 2
22．(1) ；(2)答案见解析.
1
4 3
2b 2 3
【解析】试题分析：（1）根据椭圆的几何意义，得到椭圆方程；（2）联立直
{ a2c
a b c
2 2 2
16 12
2
k
2
线和椭圆，得到二次方程，向量坐标化得到，进而求得参数值。

34k
2
解析：
2b 2 3
a （1）由题意得：，解得
{ a 2c{
b
a b c
2 2 2 2 3
∴椭圆C的标准方程是
x y
2 2
1
4 3
（2）当直线l的斜率不存在时，M 0, 3，N 0,
3
OM ON 3
，不符合题意
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为y kx 2，M x y ，
1, 1 N x2 , y2
- 12 -
x
y
2
2
1
2
2
由
消 整理得：
{ 4 3 3 4k x 16kx 4 0
y
y kx
2
k
1
1
16k
16 3 4k
k
，解得
或
2
2
2
2
16k 4 x
x
x x ，
1
2
2
3 4k
3
4k
1 2
2
∴
OM ON
x x y y
1 k
2 x x
2k x x
4 1
2
1 2
1 2
1
2
4 1
k
32k
16 12k
2
2
2
4 3 4k
3 4k
3 4k
2
2
2
16 12
k
2
∵OM ON 2
∴
3
4k
2
2
2
解得
，满足
k
2
2 k x 2
所以存在符合题意的直线，其方程为
2
点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一 次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转
化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．
- 13 -。