02对偶理论
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结论：最大值问题变量与最小值 问题约束方程不等式符号一致; 若变量无约束,则方程为等式
6
对偶关系对应表
第2章 对偶理论
原问题 （对偶问题）
对偶问题（原问题）
目标函数
Max
Min
目标函数系数
约束方程右端常数
n个
变
≥0
量
≤0
无约束
m个
约束
≤
条件
≥
=
约束方程右端常数
目标函数系数
n个
≥
≤ = m个
≥0 ≤0 无约束
-Y1 +2Y2 +Y3 ′- Y3〞 ≥0
Y2 -Y3 ′+Y3〞 ≥2 -Y1 +6Y2 +3Y3 - 3Y3〞≥-5 Y1 ，Y2 ，Y3 ′，Y3〞 ≥0 令Y1 ′ = -Y1 ， Y3 = Y3 ′- Y3〞 , 则模型可表示为
Min =2Y1 ′ +6Y2 Y1 ′ +2Y2 +Y3 ≥0
或出售,如何给资源定价才合算？
产Ⅰ产品的单位获利
定价应考虑的问题 1.出卖资源获利应不少于生产获利 2.价格尽可能低，才能有竞争力 设Y1 Y2 Y3分别为3种资源的出卖价格
1Y1+4Y2≥2 同理 2Y1+4Y3≥3 最低价格应使总收入最小
Min z= 8Y1+16Y2+12Y3
1
对偶问题的提出
y1符号不限, y2 0, y3 0 y1符号不限, y2 0, y3 0
√
×
Min Z 4x1 2x2 3x3
4x1 5x2 6x3 7 s.t.182x1x191x32 x2101x43 11
x1 0, x2符 号 不 限, x3 0 9
第2章 对偶理论
课堂练习：写出下面线性规划的对偶规划：
第2章 对偶理论
对偶问题
Min z= 8Y1+16Y2+12Y3
Y1+4Y2
≥2
2Y1 +4Y3 ≥3
Y1 ，Y2 ，Y3 ≥0
Max
原问题 z=（2
3）
X1 X2
对偶问题
8
Min z=（Y1 Y2 Y3） 16
12 40 04
X1 X2
8 ≦ 16
12
（Y1 Y2
1 2 12 Y3）4 0 ≥ 2
Y2 -Y3 ≥2 Y1 ′ +6Y2 +3Y3 ≥-5 Y1 ′≤0 ，Y2 ≥0 ，Y3 无约束 结论：最大值问题约束方程与 最小值问题变量不等式符号相 反,方程为等式,则变量无约束
5
第2章 对偶理论
例2：求下面模型的对偶问题
Min =2Y1+6Y2
Max z= 2 X2 -5X3
X1 + X3 ≥2 ①
CXˆ YˆAXˆ Yˆb
即最大值问题的任一可行解的目标值一定小于求 最小值对偶问题的任一可行解的目标函数值
12
第2章 对偶理论
推论1：原、对偶问题都有可行解，则必都有最优解 推论2：原问题（P）有可行解，但无有限最优解（无界 解），则对偶问题（D）无可行解
13
第2章 对偶理论
3.可行解为最优解条件
约束方程数n 变量数m
原问题变量类型 与对偶约束条件 的对应关系
变量≥0
约束条件≥
原问题约束条 件与对偶变量 的对应关系
约束条件≤
变量 ≥ 0
4
例1：求非标准形式模型的对偶问题
Max z= 2 X2 -5X3
X1 + X3 ≥2
① Y1 ′2 X1 + X2来自+6 X3 ≦6 ② Y2
X1 - X2 +3 X3 =0 ③ Y3
第2章 对偶理论
例一、生产计划问题 ⅠⅡ
例：Max z=2X1+ 3X2 1X1 +2X2 ≦8 ①
设备 1 2 8 台时
4X1
≦16 ②
原材料A 4 0 16 Kg
4X2 ≦12 ③
原材料B 0 4 12 Kg
X1， X2 ≧0
利润 2 3
用来生产一件产品Ⅰ的台
从另一角度考虑,转变生产方式,例出租 时和材料的销售收入不少于生
线性规划问题具有对偶性！ 任何一个求最大值的线性规划 问题都有一个求最小值的线性规 划问题与之相对应。一个叫“原 始问题”，另一个称为它的“对 偶问题”。
第2章 对偶理论
2
原问题Max z=2 X1 + 3X2
X1+ 2 X2 ≦8
① Y1
4 X1 ≦16 ② Y2
4 X2 ≦12 ③ Y3
X1， X2 ≧0
15
Min =2Y1+6Y2
Max z= 2 X2′- 2 X2〞 -5X3
Y1 +2Y2+Y3 ≥0
X1
+ X3 ≥2 Y1
Y2 -Y3 =2
2X1+X2′-X2〞+6X3 ≦6 Y2 X1-X2′+X2〞+3X3 ≦ 0 Y3 X1， X2′，X2〞 ，X3 ≧0，
根据例一的结论，其对偶问题为
Y1 +6Y2+3Y3 ≥-5 Y1 ≤0，Y2，Y3 ≥0
X1， X2 ， X3 ≧0
将模型化为求对偶问题的已有形式
Max z= 2X2 -5X3 -X1 -X3 ≦-2 Y1
2 X1+X2+6 X3 ≦ 6 Y2 X1-X2+3 X3 ≦ 0 Y3 ′
-X1+X2-3 X3 ≦ 0 Y3〞 X1， X2 ， X3 ≧0
其对偶问题
第2章 对偶理论
Min =-2Y1+6Y2+0Y3′+0Y3〞
0这种4关系称3为对称
形式的对偶关系
原问题 Max z=CX，AX ≦b，X ≧0
对偶问题 Min =Yb，YA≧C，Y ≧0
3
第2章 对偶理论
对称形式的对偶问题的对应关系：
原问题
对偶问题
目标函数类型
Max
Min
目标函数系数与右
端常数对应关系
目标函数系数
约束方程右端常数
变量数约束方 程数对应关系
变量数n 约束方程数m
Min Z 4x1 2x2 3x3 4x1 5x2 6x3 7
s.t.182x1x191x32 x2101x43 11 x1 0, x2符号不限, x3 0
10
第2章 对偶理论
对偶问题基本性质
1.对称性：对偶问题的对偶是原问题 2.弱对偶性
对原问题Max z=CX，AX ≦ b，X ≧0 对偶问题Min =Yb，YA≧C，Y ≧0
X *,Y *分别为P、D问题的可行解，且有 CX* Y *b
则它们分别为P、D的最优解
14
第2章 对偶理论
4.对偶定理 若原问题Max z=CX，AX ≦ b，X ≧0有最优解,
则对偶问题Min =Yb，YA≧C，Y ≧0也有最优解,且 目标函数值相等.
• 综上所述，一对对偶问题必然是以下的三种情况： • ①都存在最优解，且最优的目标函数值相等 • ②都无可行解 • ③一个是无界，另一个无可行解
约束 条件
变 量
7
例3：求LP问题的对偶问题
Min z=2X1+3X2-5X3 +X4 X1+X2-3 X3+X4 ≥5 Y1 2X1+2 X3-X4 ≦4 Y2 X2 + X3 + X4 = 6 Y3
X1≦0，X2 ，X3 ≧0,X4 无约束
Max Z=5Y1+4Y2+6Y3
Y1 +2Y2 ≥ 2
设Xˆ ,Yˆ分别为原、对偶问题的 可行解
则有CXˆ Yˆb
11
证明：
第2章 对偶理论
设原问题Max z=CX，AX ≦ b，X ≧0
对偶问题Min =Yb，YA≧C，Y ≧0
Xˆ ,Yˆ分别为原、对偶问题的 可行解
AXˆ b，Yˆ 0
YˆAXˆ Yˆb
又YˆA C， Xˆ 0
YˆAXˆ CXˆ
8
第2章 对偶理论
下面的答案哪一个是正确的？为什麽？
Max W 7 y1 11y2 14y3 Max W 7 y1 11y2 14y3
4 y1 8y2 12y3 4
4 y1 8y2 12y3 4
s.t.
5y1 9 y2 13y3 2 6 y1 10y2 3
s.t.
5y1 9 y2 13y3 2 6 y1 10y2 3
Y1
2 X1 + X2 +6 X3 ≦6 ② Y2
X1 - X2 +3 X3 ≦ 0 ③ Y3
X1， X3 ≧0， X2 无约束
Y1 +2Y2+Y3 ≥0 Y2-Y3 ≥2
-Y2+Y3 ≥-2 Y1 +6Y2+3Y3 ≥-5 Y1 ≤0，Y2，Y3 ≥0 模型又可表示为
令X2 = X2′ - X2〞 代入模型
X1
2Y1 +Y3 ≦ 3 X2
-3Y1 +2Y2 +Y3 ≦ -5 X3
Y1 –Y2 +Y3 = 1
X4
Y1 ≥0,Y2 ≦0,Y3 无约束
第2章 对偶理论
结论： 1.最大值问题变量与最小值问 题约束方程不等式符号一致;若 变量无约束,则方程为等式 2.最大值问题约束方程与最小 值问题变量不等式符号相反,方 程为等式,则变量无约束.
6
对偶关系对应表
第2章 对偶理论
原问题 （对偶问题）
对偶问题（原问题）
目标函数
Max
Min
目标函数系数
约束方程右端常数
n个
变
≥0
量
≤0
无约束
m个
约束
≤
条件
≥
=
约束方程右端常数
目标函数系数
n个
≥
≤ = m个
≥0 ≤0 无约束
-Y1 +2Y2 +Y3 ′- Y3〞 ≥0
Y2 -Y3 ′+Y3〞 ≥2 -Y1 +6Y2 +3Y3 - 3Y3〞≥-5 Y1 ，Y2 ，Y3 ′，Y3〞 ≥0 令Y1 ′ = -Y1 ， Y3 = Y3 ′- Y3〞 , 则模型可表示为
Min =2Y1 ′ +6Y2 Y1 ′ +2Y2 +Y3 ≥0
或出售,如何给资源定价才合算？
产Ⅰ产品的单位获利
定价应考虑的问题 1.出卖资源获利应不少于生产获利 2.价格尽可能低，才能有竞争力 设Y1 Y2 Y3分别为3种资源的出卖价格
1Y1+4Y2≥2 同理 2Y1+4Y3≥3 最低价格应使总收入最小
Min z= 8Y1+16Y2+12Y3
1
对偶问题的提出
y1符号不限, y2 0, y3 0 y1符号不限, y2 0, y3 0
√
×
Min Z 4x1 2x2 3x3
4x1 5x2 6x3 7 s.t.182x1x191x32 x2101x43 11
x1 0, x2符 号 不 限, x3 0 9
第2章 对偶理论
课堂练习：写出下面线性规划的对偶规划：
第2章 对偶理论
对偶问题
Min z= 8Y1+16Y2+12Y3
Y1+4Y2
≥2
2Y1 +4Y3 ≥3
Y1 ，Y2 ，Y3 ≥0
Max
原问题 z=（2
3）
X1 X2
对偶问题
8
Min z=（Y1 Y2 Y3） 16
12 40 04
X1 X2
8 ≦ 16
12
（Y1 Y2
1 2 12 Y3）4 0 ≥ 2
Y2 -Y3 ≥2 Y1 ′ +6Y2 +3Y3 ≥-5 Y1 ′≤0 ，Y2 ≥0 ，Y3 无约束 结论：最大值问题约束方程与 最小值问题变量不等式符号相 反,方程为等式,则变量无约束
5
第2章 对偶理论
例2：求下面模型的对偶问题
Min =2Y1+6Y2
Max z= 2 X2 -5X3
X1 + X3 ≥2 ①
CXˆ YˆAXˆ Yˆb
即最大值问题的任一可行解的目标值一定小于求 最小值对偶问题的任一可行解的目标函数值
12
第2章 对偶理论
推论1：原、对偶问题都有可行解，则必都有最优解 推论2：原问题（P）有可行解，但无有限最优解（无界 解），则对偶问题（D）无可行解
13
第2章 对偶理论
3.可行解为最优解条件
约束方程数n 变量数m
原问题变量类型 与对偶约束条件 的对应关系
变量≥0
约束条件≥
原问题约束条 件与对偶变量 的对应关系
约束条件≤
变量 ≥ 0
4
例1：求非标准形式模型的对偶问题
Max z= 2 X2 -5X3
X1 + X3 ≥2
① Y1 ′2 X1 + X2来自+6 X3 ≦6 ② Y2
X1 - X2 +3 X3 =0 ③ Y3
第2章 对偶理论
例一、生产计划问题 ⅠⅡ
例：Max z=2X1+ 3X2 1X1 +2X2 ≦8 ①
设备 1 2 8 台时
4X1
≦16 ②
原材料A 4 0 16 Kg
4X2 ≦12 ③
原材料B 0 4 12 Kg
X1， X2 ≧0
利润 2 3
用来生产一件产品Ⅰ的台
从另一角度考虑,转变生产方式,例出租 时和材料的销售收入不少于生
线性规划问题具有对偶性！ 任何一个求最大值的线性规划 问题都有一个求最小值的线性规 划问题与之相对应。一个叫“原 始问题”，另一个称为它的“对 偶问题”。
第2章 对偶理论
2
原问题Max z=2 X1 + 3X2
X1+ 2 X2 ≦8
① Y1
4 X1 ≦16 ② Y2
4 X2 ≦12 ③ Y3
X1， X2 ≧0
15
Min =2Y1+6Y2
Max z= 2 X2′- 2 X2〞 -5X3
Y1 +2Y2+Y3 ≥0
X1
+ X3 ≥2 Y1
Y2 -Y3 =2
2X1+X2′-X2〞+6X3 ≦6 Y2 X1-X2′+X2〞+3X3 ≦ 0 Y3 X1， X2′，X2〞 ，X3 ≧0，
根据例一的结论，其对偶问题为
Y1 +6Y2+3Y3 ≥-5 Y1 ≤0，Y2，Y3 ≥0
X1， X2 ， X3 ≧0
将模型化为求对偶问题的已有形式
Max z= 2X2 -5X3 -X1 -X3 ≦-2 Y1
2 X1+X2+6 X3 ≦ 6 Y2 X1-X2+3 X3 ≦ 0 Y3 ′
-X1+X2-3 X3 ≦ 0 Y3〞 X1， X2 ， X3 ≧0
其对偶问题
第2章 对偶理论
Min =-2Y1+6Y2+0Y3′+0Y3〞
0这种4关系称3为对称
形式的对偶关系
原问题 Max z=CX，AX ≦b，X ≧0
对偶问题 Min =Yb，YA≧C，Y ≧0
3
第2章 对偶理论
对称形式的对偶问题的对应关系：
原问题
对偶问题
目标函数类型
Max
Min
目标函数系数与右
端常数对应关系
目标函数系数
约束方程右端常数
变量数约束方 程数对应关系
变量数n 约束方程数m
Min Z 4x1 2x2 3x3 4x1 5x2 6x3 7
s.t.182x1x191x32 x2101x43 11 x1 0, x2符号不限, x3 0
10
第2章 对偶理论
对偶问题基本性质
1.对称性：对偶问题的对偶是原问题 2.弱对偶性
对原问题Max z=CX，AX ≦ b，X ≧0 对偶问题Min =Yb，YA≧C，Y ≧0
X *,Y *分别为P、D问题的可行解，且有 CX* Y *b
则它们分别为P、D的最优解
14
第2章 对偶理论
4.对偶定理 若原问题Max z=CX，AX ≦ b，X ≧0有最优解,
则对偶问题Min =Yb，YA≧C，Y ≧0也有最优解,且 目标函数值相等.
• 综上所述，一对对偶问题必然是以下的三种情况： • ①都存在最优解，且最优的目标函数值相等 • ②都无可行解 • ③一个是无界，另一个无可行解
约束 条件
变 量
7
例3：求LP问题的对偶问题
Min z=2X1+3X2-5X3 +X4 X1+X2-3 X3+X4 ≥5 Y1 2X1+2 X3-X4 ≦4 Y2 X2 + X3 + X4 = 6 Y3
X1≦0，X2 ，X3 ≧0,X4 无约束
Max Z=5Y1+4Y2+6Y3
Y1 +2Y2 ≥ 2
设Xˆ ,Yˆ分别为原、对偶问题的 可行解
则有CXˆ Yˆb
11
证明：
第2章 对偶理论
设原问题Max z=CX，AX ≦ b，X ≧0
对偶问题Min =Yb，YA≧C，Y ≧0
Xˆ ,Yˆ分别为原、对偶问题的 可行解
AXˆ b，Yˆ 0
YˆAXˆ Yˆb
又YˆA C， Xˆ 0
YˆAXˆ CXˆ
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第2章 对偶理论
下面的答案哪一个是正确的？为什麽？
Max W 7 y1 11y2 14y3 Max W 7 y1 11y2 14y3
4 y1 8y2 12y3 4
4 y1 8y2 12y3 4
s.t.
5y1 9 y2 13y3 2 6 y1 10y2 3
s.t.
5y1 9 y2 13y3 2 6 y1 10y2 3
Y1
2 X1 + X2 +6 X3 ≦6 ② Y2
X1 - X2 +3 X3 ≦ 0 ③ Y3
X1， X3 ≧0， X2 无约束
Y1 +2Y2+Y3 ≥0 Y2-Y3 ≥2
-Y2+Y3 ≥-2 Y1 +6Y2+3Y3 ≥-5 Y1 ≤0，Y2，Y3 ≥0 模型又可表示为
令X2 = X2′ - X2〞 代入模型
X1
2Y1 +Y3 ≦ 3 X2
-3Y1 +2Y2 +Y3 ≦ -5 X3
Y1 –Y2 +Y3 = 1
X4
Y1 ≥0,Y2 ≦0,Y3 无约束
第2章 对偶理论
结论： 1.最大值问题变量与最小值问 题约束方程不等式符号一致;若 变量无约束,则方程为等式 2.最大值问题约束方程与最小 值问题变量不等式符号相反,方 程为等式,则变量无约束.