第6章 容斥原理
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第6章 容斥原理
6.1 容斥原理
●容斥原理是组合数学中的一个重要 原理,它在计数问题中占有很重要地位.
●容斥原理所研究的问题是与若干有 限集的交、并或差有关的计数.
●在实际工作中, 有时要计算具有某种 性质的元素个数.
例: 某单位举办一个外语培训班, 开设 英语, 法语两门课.
●设U为该单位所有人集合, A,B分别为 学英语, 法语人的集合, 如图所示.
Qn | A1 A2 An |
n! | A1 A2 An | (6.5)
n!r1 (n 1)!r2 (n 2)!
(1)n1 rn1 1!(1)n rn 0!
由此可见, 计算禁位排列的关键问题是 计算ri(i=1,2,…,n).
其中ri为有i个棋子落入禁区的方案数.
证. 设Ai为第i个棋子落入禁区的排列的 集合, i=1,2,…,n
如果一个棋子落入禁区的方案数目为
r1, 那么剩下的n-1个棋子可任意排列, 所以: ∑|Ai|=r1(n-1)!. 如果两个棋子落入禁区的方案数目为
r2, 那么剩下的n-2个棋子可任意排列, 所以: ∑|Ai∩ Aj |=r2(n-2)!. 依次类推. 由容斥原理, 可以得到:
Q5 | A1 A2 A3 A4 |
5! | A1 | | A2 | | A3 | | A4 | | Ai Aj |
| Ai Aj Ak | | A1 A2 A3 A4 |
容易计算出:
|Ai|=4!, i=1,2,3,4. |A1A2|中排列含有模式123, 其中排列的 总数={123,4,5}排列总数. 所以,
些绅士没人能拿到他们来时所戴的帽子
● V-8发动机的8个火花塞从气缸中取出清洗。
有多少种方法使得没有火花塞被放回到 原先的气缸
● D1=0,D2=1,D3=2,D4=9
●定理6.3.1 对于n≥1,
Dn
n!(1 1 1!
1 1 (1)n 2! 3!
1) n!
e1 1 1 1 1 1 1! 2! 3! 4!
6.5 另外的禁排位置问题
在错排问题中,每个元素不许出现在原来的 位置, 这是一种绝对的禁位排列. 还有一类 是相对禁位排列.
例6.8 有5个学生每天要排成一列去散步. 除第 一个学生之外, 每个学生前面都有一个学生. 每天都是同一个人在自己前面走显得单调, 第2天他们决定改变排队次序, 使得每个同 学前面的人与第1天不同. 问有多少种不同 的排队方式?
分析: 如果把第1天排队的同学按次序编 号为1,2,3,4,5. 我们所要求的排列为其 中不出现模式12, 23, 34, 45的全部排列. 31425是一个符合要求的排列, 而25341 不符合要求. 因为出现的34模式.
这个问题可以利用容斥原理来解决.
设Ai表示出现i(i+1)模式的全体排列, i=1,2,3,4. 符合要求的排列是这些模式 都不出现. 用Q5来表示符合要求的排列 总数.
• Dn=nDn-1+(-1)n-2
= nDn-1+(-1)n
• 例6.7：在一次舞会上有n位男士和n位女士。 这n位女士能够有多少种方法选择男舞伴开 始第一次跳舞？如果每个人必须换舞伴， 那么第二次跳舞又有多少种选择方法？
6.4 带有禁止位置的排列
所谓“禁位排列”, 是指在一个排列中 禁止某些元素占据某些位置.
ABC A B C AB AC
BC ABC
3. n个集合上的容斥原理:
设A1,A2,,An是有限集合, 则有
n
n
A1 A2 An Ai
Ai Aj
i 1
i1 ji
n
Ai Aj Ak (1)n1 A1 A2 An
种元素均具有无限的重复，则S的r组合
的个数等于
Cr rk
1
例6.5：确定多重集T={3a,4b,5c}的10组合的
个数
例6.6：满足1≤x1≤5, -2≤x2≤4, 0≤x3≤5, 3≤x4≤9 的方程x1+x2+x3+x4=18的整数解的个数 是多少？
6.3 错位排列
●聚会上，10位绅士。有多少种方式使得这
| A || S | | A | 或 | A || S | | A |
其中A表示A在S中的补集或余集 .
●我们的目的并不仅仅是讨论这样 一个简单的原理, 而是讨论这个原 理的一个重要推广, 称之为容斥原 理,并且将它运用到若干问题上去, 其中包括：
错位排列、有限制的排列、禁
位排列和棋盘多项式等.
i1 ji k j
4. 容斥原理的余集形式来自| A1 A2 An |
N A1 A2 An
n
n
N Ai Ai Aj
i 1
i1 ji
n
Ai Aj Ak i1 ji k j
(1)n A1 A2 An
|A1A2| =(5-2)!=3! 类似有: |AiAi+1|=(5-2)!=3!, i=2,3.
|AiAj| (j>i+1)中的排列包含有i(i+1), j(j+1), 这样总数等于这两个模式和其余 5-4=1个数的排列数目=3!
类似的分析可以得到:
|AiAj Ak|= (5-3)!=2!, |A1A2 A3A4|=(5-4)!=1.
Dn (1)n1 1 (1)n2 1
n!
(n 1)!
(n 2)!
• Dn=(n-1)(Dn-2+Dn-1) (n=3,4,5…) • Dn-nDn-1=-[Dn-1-(n-1) Dn-2]
=(-1)2 [Dn-2-(n-2) Dn-3] =(-1)3 [Dn-3-(n-3) Dn-4] =… =(-1)n-2 (D2-2 D1)
1. 两个集合的容斥原理
设A和B是分别具有性质P1和P2的元素 的集合, 则
AB A B AB
例6.1 求1到500之间能被5或7整除的正 整数个数.
解 设A为被5整除的整数集合, B为被7 整除的整数集合, 用[x]表示x的整数 部分, 则有
|
A
|
500 5
Q5 | A1 A2 A3 A4 | 5!C(4,1) 4!C(4,2) 3!C(4,3) 2!C(4,4)1!
53.
这个问题可推广到一般情形:
Qn | A1 A2 An | n!C(n 1,1) (n 1)! C(n 1,2) (n 2)! C(n 1,3) (n 3)! (1)n1C(n 1, n 1)1!
DeMorgan定理: 设A, B为全集U的任意 两个子集, 则
(a) A B A B (b) A B A B
DeMorgan定理的推广: 设A1,A2,,An为 U的子集, 则
(a) A1 A2 An A1 A2 An (b) A1 A2 An A1 A2 An
先计算1到700之间能被7整除的整数个 数=700/ 7=100, 所以1到700之间不能被 7整除的整数个数=700-100=600.
因此, 当直接求解受阻或无法达到目的 时, 应考虑间接求解方法. 所谓“曲径 通幽”, 说的就是这个道理.
上面举的间接计数的例子是利用了如 下原理：如果A是集合S的子集, 则A中 的元素个数等于S中的元素个数减去不 在A中的元素个数, 这个原理可写成
100,
|
B
|
500 7
71,
同时被5和7整除的整数个数
|
A
B
|
500 5 7
14.
故能被5或7整除的整数个数
| A B || A | | B | | A B |
100 71 14 157.
2. 三个集合上的容斥原理 设A, B, C为任意三个集合, 则有
错排是禁位排列的一种特殊情况.
这个问题可以利用容斥原理化为棋 盘布局问题来解决. 我们讨论一般 情况.
禁位排列的问题. 我们的目的是计算禁 位排列的个数.
定理 设有n个棋子布入nn的棋盘, 则有禁 位的排列数为
Qn=n!-r1(n-1)!+r2(n-2)!- +(-1)n-1 rn-11! +(-1)n rn0!
●学两门外语的人数为|AB|, 学一门外 语的人数为|AB|-|AB|, 没参加学习的 人数为|U|-|AB|.
在一些计数问题中, 经常遇到间接计算 一个集合中具有某种性质的元素个数 比起直接计算来得简单.
例: 计算1到700之间不能被7整除的整数 个数.
直接计算相当麻烦,间接计算非常容易.
• 例6.2 求从1到1000不能被5、6和8整除 的整数个数
• 例6.3 字母M,A,T,H,I,S,F,U,N存在多少 排列使得单词MATH，IS和FUN都不 能作为连续字母出现？
• 例6.4 从0到99999有多少含有数字2，5 和8的整数？
6.2 具有重复的组合
●令S为具有k种类型元素的一个多重集，每
6.1 容斥原理
●容斥原理是组合数学中的一个重要 原理,它在计数问题中占有很重要地位.
●容斥原理所研究的问题是与若干有 限集的交、并或差有关的计数.
●在实际工作中, 有时要计算具有某种 性质的元素个数.
例: 某单位举办一个外语培训班, 开设 英语, 法语两门课.
●设U为该单位所有人集合, A,B分别为 学英语, 法语人的集合, 如图所示.
Qn | A1 A2 An |
n! | A1 A2 An | (6.5)
n!r1 (n 1)!r2 (n 2)!
(1)n1 rn1 1!(1)n rn 0!
由此可见, 计算禁位排列的关键问题是 计算ri(i=1,2,…,n).
其中ri为有i个棋子落入禁区的方案数.
证. 设Ai为第i个棋子落入禁区的排列的 集合, i=1,2,…,n
如果一个棋子落入禁区的方案数目为
r1, 那么剩下的n-1个棋子可任意排列, 所以: ∑|Ai|=r1(n-1)!. 如果两个棋子落入禁区的方案数目为
r2, 那么剩下的n-2个棋子可任意排列, 所以: ∑|Ai∩ Aj |=r2(n-2)!. 依次类推. 由容斥原理, 可以得到:
Q5 | A1 A2 A3 A4 |
5! | A1 | | A2 | | A3 | | A4 | | Ai Aj |
| Ai Aj Ak | | A1 A2 A3 A4 |
容易计算出:
|Ai|=4!, i=1,2,3,4. |A1A2|中排列含有模式123, 其中排列的 总数={123,4,5}排列总数. 所以,
些绅士没人能拿到他们来时所戴的帽子
● V-8发动机的8个火花塞从气缸中取出清洗。
有多少种方法使得没有火花塞被放回到 原先的气缸
● D1=0,D2=1,D3=2,D4=9
●定理6.3.1 对于n≥1,
Dn
n!(1 1 1!
1 1 (1)n 2! 3!
1) n!
e1 1 1 1 1 1 1! 2! 3! 4!
6.5 另外的禁排位置问题
在错排问题中,每个元素不许出现在原来的 位置, 这是一种绝对的禁位排列. 还有一类 是相对禁位排列.
例6.8 有5个学生每天要排成一列去散步. 除第 一个学生之外, 每个学生前面都有一个学生. 每天都是同一个人在自己前面走显得单调, 第2天他们决定改变排队次序, 使得每个同 学前面的人与第1天不同. 问有多少种不同 的排队方式?
分析: 如果把第1天排队的同学按次序编 号为1,2,3,4,5. 我们所要求的排列为其 中不出现模式12, 23, 34, 45的全部排列. 31425是一个符合要求的排列, 而25341 不符合要求. 因为出现的34模式.
这个问题可以利用容斥原理来解决.
设Ai表示出现i(i+1)模式的全体排列, i=1,2,3,4. 符合要求的排列是这些模式 都不出现. 用Q5来表示符合要求的排列 总数.
• Dn=nDn-1+(-1)n-2
= nDn-1+(-1)n
• 例6.7：在一次舞会上有n位男士和n位女士。 这n位女士能够有多少种方法选择男舞伴开 始第一次跳舞？如果每个人必须换舞伴， 那么第二次跳舞又有多少种选择方法？
6.4 带有禁止位置的排列
所谓“禁位排列”, 是指在一个排列中 禁止某些元素占据某些位置.
ABC A B C AB AC
BC ABC
3. n个集合上的容斥原理:
设A1,A2,,An是有限集合, 则有
n
n
A1 A2 An Ai
Ai Aj
i 1
i1 ji
n
Ai Aj Ak (1)n1 A1 A2 An
种元素均具有无限的重复，则S的r组合
的个数等于
Cr rk
1
例6.5：确定多重集T={3a,4b,5c}的10组合的
个数
例6.6：满足1≤x1≤5, -2≤x2≤4, 0≤x3≤5, 3≤x4≤9 的方程x1+x2+x3+x4=18的整数解的个数 是多少？
6.3 错位排列
●聚会上，10位绅士。有多少种方式使得这
| A || S | | A | 或 | A || S | | A |
其中A表示A在S中的补集或余集 .
●我们的目的并不仅仅是讨论这样 一个简单的原理, 而是讨论这个原 理的一个重要推广, 称之为容斥原 理,并且将它运用到若干问题上去, 其中包括：
错位排列、有限制的排列、禁
位排列和棋盘多项式等.
i1 ji k j
4. 容斥原理的余集形式来自| A1 A2 An |
N A1 A2 An
n
n
N Ai Ai Aj
i 1
i1 ji
n
Ai Aj Ak i1 ji k j
(1)n A1 A2 An
|A1A2| =(5-2)!=3! 类似有: |AiAi+1|=(5-2)!=3!, i=2,3.
|AiAj| (j>i+1)中的排列包含有i(i+1), j(j+1), 这样总数等于这两个模式和其余 5-4=1个数的排列数目=3!
类似的分析可以得到:
|AiAj Ak|= (5-3)!=2!, |A1A2 A3A4|=(5-4)!=1.
Dn (1)n1 1 (1)n2 1
n!
(n 1)!
(n 2)!
• Dn=(n-1)(Dn-2+Dn-1) (n=3,4,5…) • Dn-nDn-1=-[Dn-1-(n-1) Dn-2]
=(-1)2 [Dn-2-(n-2) Dn-3] =(-1)3 [Dn-3-(n-3) Dn-4] =… =(-1)n-2 (D2-2 D1)
1. 两个集合的容斥原理
设A和B是分别具有性质P1和P2的元素 的集合, 则
AB A B AB
例6.1 求1到500之间能被5或7整除的正 整数个数.
解 设A为被5整除的整数集合, B为被7 整除的整数集合, 用[x]表示x的整数 部分, 则有
|
A
|
500 5
Q5 | A1 A2 A3 A4 | 5!C(4,1) 4!C(4,2) 3!C(4,3) 2!C(4,4)1!
53.
这个问题可推广到一般情形:
Qn | A1 A2 An | n!C(n 1,1) (n 1)! C(n 1,2) (n 2)! C(n 1,3) (n 3)! (1)n1C(n 1, n 1)1!
DeMorgan定理: 设A, B为全集U的任意 两个子集, 则
(a) A B A B (b) A B A B
DeMorgan定理的推广: 设A1,A2,,An为 U的子集, 则
(a) A1 A2 An A1 A2 An (b) A1 A2 An A1 A2 An
先计算1到700之间能被7整除的整数个 数=700/ 7=100, 所以1到700之间不能被 7整除的整数个数=700-100=600.
因此, 当直接求解受阻或无法达到目的 时, 应考虑间接求解方法. 所谓“曲径 通幽”, 说的就是这个道理.
上面举的间接计数的例子是利用了如 下原理：如果A是集合S的子集, 则A中 的元素个数等于S中的元素个数减去不 在A中的元素个数, 这个原理可写成
100,
|
B
|
500 7
71,
同时被5和7整除的整数个数
|
A
B
|
500 5 7
14.
故能被5或7整除的整数个数
| A B || A | | B | | A B |
100 71 14 157.
2. 三个集合上的容斥原理 设A, B, C为任意三个集合, 则有
错排是禁位排列的一种特殊情况.
这个问题可以利用容斥原理化为棋 盘布局问题来解决. 我们讨论一般 情况.
禁位排列的问题. 我们的目的是计算禁 位排列的个数.
定理 设有n个棋子布入nn的棋盘, 则有禁 位的排列数为
Qn=n!-r1(n-1)!+r2(n-2)!- +(-1)n-1 rn-11! +(-1)n rn0!
●学两门外语的人数为|AB|, 学一门外 语的人数为|AB|-|AB|, 没参加学习的 人数为|U|-|AB|.
在一些计数问题中, 经常遇到间接计算 一个集合中具有某种性质的元素个数 比起直接计算来得简单.
例: 计算1到700之间不能被7整除的整数 个数.
直接计算相当麻烦,间接计算非常容易.
• 例6.2 求从1到1000不能被5、6和8整除 的整数个数
• 例6.3 字母M,A,T,H,I,S,F,U,N存在多少 排列使得单词MATH，IS和FUN都不 能作为连续字母出现？
• 例6.4 从0到99999有多少含有数字2，5 和8的整数？
6.2 具有重复的组合
●令S为具有k种类型元素的一个多重集，每