一次函数第一讲

一次函数：第一讲、函数及其图象
知识点1：理解函数的概念，认识函数关系
在一个变化过程中，有两个变量（如x 、y ），对于自变量（x ）的每一个确定值，函数（y ）都有唯一确定的值与它对应，这时，y 就是x 的函数。

如何判断函数关系：
第一：是不是一个变化过程？ 第二：是不是有两个变量？
第三：自变量每取一个值函数有几个值与它对应？
例1．下面的表分别给出了变量x 与y 之间的对应关系，判断y 是x 的函数吗？
知识点2：认识函数关系式中的常量、自变量与函数
常量：在变化过程中，始终保持不变的量； 变量：在变化过程中，可以取不同数值的量；
通常在表达时，等式左边的是函数，等式右边的是自变量。

例2．指出下列函数中的自变量、函数和常量： （1）x y 2-=； （2）613-
=x y ；（3）2732
+-=x x y ； （4）q
p 51=． 知识点3：自变量的取值范围
一般来说，用解析法表示的函数，自变量的取值范围就是使代数式有意义的范围。

（1）分母不为零；
（2）被开方数必须是非负数。

例3．求下列函数中自变量x 的取值范围：
（1）x y 5-=；（2）132+=x y ；（3）x
y -=
21
；（4）12+=x y ．
知识点4：函数值的讨论
函数值随着自变量取值的变化而变化；反之，函数的取值也决定着自
变量的取值。

（1）自变量的每一个值对应着唯一一个函数值； （2）函数的每一个值对应着相应的自变量值。

难点：当给出一个量的取值范围，求另一个量的取值时，要结合不等式（或不等式组）加以讨论。

例4．写出下列函数中自变量的取值范围，并分别求出当自变量取2时函数的值：
（1）5312+=
x y ；（2）10
3
5-=t y ；（3）1-+=x x y ．
例5．按要求填空：
（1）在y=5x-3中，当x 满足 时，y ≤2。

（2）在y=2-x 中，若3≤x ≤6，则y 的取值为 。

知识点5：实际问题中函数关系式的列法及自变量取值
范围的限制
（一）函数式的列法：关键是要弄清各数量之间的关系
（二）实际问题的自变量取值范围：不但要使得出的函数式有意义，还必须考虑到使实际问题有意义。

（1）非负数；（甚至于是非负整数或正整数） （2）最大与最小的限制。

例6．汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距沈阳的路程S （千米）与行驶时间t （小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围．
例7．如图，长方形ABCD ．当点P 在边AD 上从A 向D 移动时， （1）试指出，哪些三角形的面积始终保持不变，哪些发生了变化？ （2）假设长方形的长AD 为10cm ，宽AB 为4cm ，线段AP 的长度为x cm ， ①写出x 的取值范围；
②写出线段PD 的长度y （cm ）与x 之间的函数关系式； ③写出PCD 的面积)cm (2
S 与x 之间的函数关系式。

例8．下面变量之间的关系是不是函数关系？为什么？ （1）长方形的宽一定时，其长与面积； （2）等腰三角形的底边长与面积； （3）某人的年龄与身高； （4）关系式|y |=x 中的y 与x ．
知识点6：正确理解函数图象与实际问题间的内在联系
函数的图象是由一系列的点组成，图象上每一点的坐标（x,y ）代表了该函数关系的一对对应值。

1、读懂横、纵坐标分别所代表的实际意义；
2、读懂两个量在变化过程中的相互关系；
3、读懂两个量之间的变化规律。

例9．小明的父亲饭后出去散步，从家中走20分钟到一个离家900米的报亭看10分钟报纸后，用15分钟返回家里．图中表示小明的父亲离家的时间与距离之间的关系是（ ）．
例10．甲、乙两人在一次赛跑中，路程s 与时间t 的关系如图所示，请回答下列问题：
（1）这是一次多少米赛跑？ （2）谁先到达终点？
（3）乙在这次赛跑中的速度是多少？
例11．如图，BA OA 、分别表示甲、乙两名学生运动的一次函数图像，图中s 和t 分别表示运动路程和时间，根据图像判断快者的速度比慢者的速度每秒快（ ）
A ．2．5m
B ．2m
C ．1．5m
D ．1m
例12．（吉林省试题，2002）一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售．售出土豆千克数与他手中持有的钱数（含备用零钱）的关系如图所示，结合图象回答下列题：
（1）农民自带的零钱是多少？
（2）降价前他每千克土豆出售的价格是多少？
（3）降价后他按每千克0．4元将剩余土豆出售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是26元，问他一共带了多少千克土豆．
巩固练习
1、分别指出下列各关系式中的变量与常量：
(1) 球的表面积S(cm 2)与球半径R(cm)的关系式是S=4πR 2; (2) 设圆柱的底面半径R(cm)不变，圆柱的体积V(m3)与圆柱的高h(m)的关系
式是v=πR 2h;
(3) 以固定的速度V O (米／秒)向上抛一个小球，小球的高度h(米)与小球运动的
时间t(秒)之间的关系式是h=V O t-4.9t 2. 2．函数 x
x
x y -+-=21中自变量x 的取值范围是______. 3．将)2(2
1
≠++=
y y y x 改用x 的代数式表示y 的形式是_____；其中x 的取值范围是________.
4. 在ABC 中，它的底边长是a ，底边上的高是h ，则三角形面积1
2
S ah =，当a 为定长时，在此式子中（ ）
（A ）S 、h 是变量，a 是常量 （B ）S 、h 、a 是变量，
1
2
是常量 （C ）a 、h 是变量，
12、S 是常量 （D ）S 是变量，1
2
、a 、h 是常量 5．物体从离A 处20m 的B 处以6m/s 的速度沿射线AB 方向作匀速直线运动，t 秒钟后物体离A 处的距离为S m ，则s 与t 之间的函数关系式是________，自变量t 的取值范围是_______.
6．等腰三角形的周长是50cm ，底边长是x cm ，一腰长为y cm ，则y 与x 之间的函数关系式是______；自变量x 的取值范围是______.
7. 平行四边形相邻的边长为x 、y ，它的周长是30，则y 关于x 的函数关系式是_______，自变量x 的取值范围是 .
8．一天，亮亮发烧了，早晨他烧得很厉害，吃过药后感觉好多了，中午时亮亮的体温基本正常，但是下午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么发烫了。

下面各图能基本上反映出亮亮这一天（0时～24时）体温的变化情况是（ ）
9. 甲、乙两同学约定游泳比赛规则：甲先游自由泳到泳道中点后改为蛙泳，而乙则是先游蛙泳到泳道中点后改为自由泳，两人同时从泳道起点出发，最后两人同时游到泳道终点。

又知甲游自由泳比乙游自由泳速度快，并且二人自由泳均比蛙泳速度快，若某人离开泳道起点的距离s 与所用时间t 的函数关系可用图象表示，则下列选项中正确的是（ ）
A. 甲是图<1>，乙是图<2>
B. 甲是图<3>，乙是图<2>
C. 甲是图<1>，乙是图<4>
D. 甲是图<3>，乙是图<4>
作业
1、分别写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与函数：
(1) 设一长方体盒子高为10cm ，底面是正方形，求这个长方体的体积V(cm 3)
与底面边长a(cm)的关系； (2) 秀水村的耕地面积是106(m 2)，求这个村人均占有耕地面积x(m 2)与人数n
的关系
(3) 设地面气温是20℃，如果每升高1km ，气温下降6℃，求气温t(℃)与高
度h(km)的关系. 2．已知1)3)(2(=++y x 。

（1）用含x 的代数式表示y ，并指出x 的取值范围； （2）求当0=x 时，y 的值；当0=y 时，x 的值。

3．写出等腰三角形的顶角的度数y 与底角x 的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围。

4.设某种电报收费标准是每个字0.1元，写出电报费y(元)与字数x(个)之间的
函数关系式，并求自变量x 的取值范围. 5. 某水果批发市场规定，批发水果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元.小于携带现金3000元到市场采购苹果,并以批发价买进,如果购买的苹果为x 千克,小王付款后的剩余现金为y 元,则y 与x 之间的函数关系式是＿＿＿,自变量x 的取值范围是 .
6．已知函数33524232
21;)(;;;x y x y x y x
x y x y =====，其中相同的两个函数是（ ）
A ．1y 与2y
B ．1y 与3y
C ．1y 与4y
D ．1y 与5y
7．一天，小军和爸爸去登山，已知山脚到山顶的路程为300米，小军先走了一段路程，爸爸才开始出发，图中两条线段分别表示小军和爸爸离开山脚登山的路程s （米）与登山所用的时间t （分钟）的关系（从爸爸开始登山时计时）。

根据图象，下列说法错误．．的是（ ） A ．爸爸开始登山时，小军已走了50米 B ．爸爸走了5分钟，小军仍在爸爸的前面 C ．小军比爸爸晚到山顶
D ．爸爸前10分钟登山的速度比小军慢，10分钟之后登山的速度比小军快
s(米) 300
50
O 10 t(分钟)
8．甲乙二人参加某体育项目训练，为了便于研究，把最近五次训练成绩分别用实线和虚线连结，如图所示，下面的错误的是
A ．乙的第二次成绩与第五次成绩相同
B ．第三次测试甲的成绩与乙的成绩相同
C ．第四次测试甲的成绩比乙的成绩多2分
D ．五次测试甲的成绩都比乙的成绩高。