北师大版数学八年级下册-平行线间的距离及平行四边形判定的综合运用-教案

第3课时　平行线间的距离及平行四边形判定的综合运用
●情景导入　吉林工务段龙潭山线路车间一职工在龙潭山将更换枕木，使用道床槽将新枕木穿入，随后安装垫板扣件，确保线路稳定．
A
B C D 问题1：在笔直的铁轨上，夹在铁轨之间的平行枕木是否一样长？
问题2：你能说明理由吗？与同伴交流．
【教学与建议】教学：从实际生活出发，让学生感受两平行线间的距离相等实例．建议：学生先思考后再小组交流．
●悬念激趣　如图，有两条直线l 1，l 2，已知l 1∥l 2，点C 1在l 1上，并且C 1A ⊥l 2，A 为垂足，C 2，C 3是l 1上不同于C 1的任意两点，点B 在l 2上．设△ABC 1的面积为S 1，△ABC 2的面积为S 2，△ABC 3的面积为S 3，小强认为△ABC 2的面积最大，其次是△ABC 1的面积，最小的是△ABC 3的面积，即S 3<S 1<S 2，但是小东认为S 1＝S 2＝S 3.各位同学能否通过自己的分析判断二人谁说的是正确的？请说明理由．
【教学与建议】教学：先通过几何直观，检验学生对图形的敏感程度，再进行严谨的推理论证，训练学生的逻辑推理能力．建议：引导学生由三角形面积公式进行分析，得到小东说法正确，从而导入课题．
◎命题角度1　平行线之间的距离
利用平行线间的距离处处相等和三角形的面积公式求解．
【例1】如图，M 是▱ABCD 的边AB 上的任意一点．设△ADM ，△BCM ，△CDM 的面积分别为S 1，S 2，S ，则S 1＋S 2与S 的关系是(A)
A ．S 1＋S 2＝S
B ．S 1＋S 2>S
C ．S 1＋S 2<S
D ．不能确定
（例1题图） （例2题图）【例2】如图，直线AE ∥BD ，点C 在BD 上，若AE ＝4，BD ＝6.△ABD 的面积为12，则△ACE 的面积为
__8__．
◎命题角度2　有关平行线间距离的分类讨论
此类题目考查学生对平行线间距离的进一步理解，可画图分情况作答．
【例3】在同一平面内，设a ，b ，c 是三条互相平行的直线，已知a 与b 的距离为4 cm ，b 与c 的距离为2 cm ，则a 与c 的距离为(C)
A ．2 cm
B ．6 cm
C ．6 cm 或2 cm
D ．1 cm 或3 cm
【例4】设AB ，CD ，EF 是同一平面内三条互相平行的直线，已知AB 与CD 的距离是12 m ，EF 与CD 的距离是5 cm ，则AB 与EF 的距离等于__7或17__cm.
◎命题角度3　平行四边形的性质与判定的综合
解决平行四边形问题往往同时涉及平行四边形的性质和判定，此类题目综合性较强，应从题目所给条件中得出有用的结论，灵活选择便捷的方法．
【例5】如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，FB ＝CE ，AB ∥ED ，AC ∥FD ，AD 交BE 于点O .求证：AD 与BE 互相平分．
证明：连接BD ，AE .
∵FB ＝CE ，∴FB ＋FC ＝CE ＋FC ，即BC ＝EF .
又∵AB ∥ED ，AC ∥FD ，
∴∠ABC ＝∠DEF ，∠ACB ＝∠DFE .
在△ABC 和△DEF 中，{∠ABC ＝∠DEF ，
BC ＝EF ，
∠ACB ＝∠DFE ，
￿
∴△ABC ≌△DEF (ASA)，∴AB ＝DE
，
又∵AB∥DE，∴四边形ABDE是平行四边形，
∴AD与BE互相平分．
【例6】如图，四边形ABCD是平行四边形，E，F是对角线AC上的两点，∠1＝∠2.
求证：(1)AE＝CF；
(2)四边形EBFD是平行四边形．
证明：(1)连接BD交AC于点O，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD綊BC，∴∠OAD＝∠BCA，
∵∠1＝∠2，∠1＝∠DAC＋∠ADE，∠2＝∠BCA＋∠CBF，
∴∠ADE＝∠CBF，
∴△ADE≌△CBF(ASA)，∴AE＝CF；
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，
∵AE＝CF，∴OA－AE＝OC－CF，即OE＝OF，
∴四边形EBFD是平行四边形．
高效课堂　教学设计
1．利用平行四边形的判定研究“夹在平行线之间的平行线段相等”，掌握平行线之间的距离处处相等．2．在运用平行四边形的判定方法解决问题的过程中，培养和发展学生的逻辑思维能力．
▲重点
平行四边形的性质和判定的应用及平行线之间的距离．
▲难点
平行四边形的性质和判定的综合运用．
◆活动1　创设情境　导入新课(课件)
议一议：
问题1：什么是平行四边形？
问题2：平行四边形有哪些性质？
问题3：判定四边形是平行四边形的方法有哪些？
问题4：在笔直的铁轨上，夹在两根铁轨之间的平行枕木是否一样长？你能说明理由吗？
◆活动2　实践探究　交流新知
【探究1】
已知：如图，直线a∥b，A，B是直线a上任意两点，AC⊥b，BD⊥b，垂足分别为C，D.
求证：AC＝BD.
证明：∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴∠1＝∠2＝90°，∴AC∥BD.
∵AB∥CD，
∴四边形ACDB是平行四边形(平行四边形的定义)，
∴AC＝BD(平行四边形的对边相等)．
思考1：什么是点到直线的距离？
思考2：根据所学知识，你能用自己的语言说说什么是平行线之间的距离吗？
【归纳】如果两条直线互相平行，则其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行
线之间的距离．
注意：距离是指垂线段的长度大于0.
【探究2】夹在两平行线间的平行线段一定相等
观察一组图片，结合所学知识回答：夹在两条平行线间的平行线段一定相等吗？
图①
图②
教师出示图片，学生观察图片，提示学生从平行四边形的定义和性质考虑．
1．类比之前解决的“枕木问题”得出夹在两条平行线间的平行线段一定相等．
2．由夹在两条平行线间的平行线段，可得到平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)．根据平行四边形性质(平行四边形的对边相等)，可以得出夹在平行线之间的平行线段一定相等．【归纳】夹在两条平行线间的平行线段一定相等．
注：两平行线间的距离处处相等．
【探究3】做一做(课本P146)：
如图，以方格纸的格点为顶点画出几个平行四边形，并说明你画图的方法和其中的道理．
(1)根据：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
图①
图②
(2)根据：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．
图①
图②
(3)根据：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
图①
图②
◆活动3　开放训练　应用举例
【例1】如图，直线l1∥l2，点P在直线l1上，点A，B在直线l2上．设△PAB的面积为S.
(1)当点P运动到P1的位置时，△PAB与△P1AB的面积相等吗？为什么？
(2)当点P运动到异于P，P1两点的位置时，△PAB的面积有何变化？请你直接写出结果(写变大、变小或不变)．
【方法指导】因为△PAB与△P1AB有公共底边，故只要说明底边AB上的高是否相等即可．
解：(1)相等．理由如下：
如图，过点P作PC⊥l2于点C，P1D⊥l2于点D.
∵l1∥l2，∴PC＝P1D(平行线间的距离处处相等)．
∵S△PAB＝1
2
AB·PC，S△P1AB＝
1
2
AB·P1D，∴S△PAB＝S△P1AB；
(2)不变．
【例2】已知：如图，在▱ABCD中，点M，N分别在AD和BC上，点E，F在BD上，且DM＝BN，DF＝BE.求证：四边形MENF是平行四边形．
【方法指导】综合利用平行四边形的性质和判定定理．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC(平行四边形的定义)，
∴∠MDF＝∠NBE.
又∵DM＝BN，DF＝BE，
∴△MDF≌△NBE，
∴MF＝NE，∠MFD＝∠NEB，
∴∠MFE＝∠NEF，
∴MF∥EN，
∴四边形MENF是平行四边形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)．
◆活动4　随堂练习
1．已知直线a∥b，点M到直线a的距离是5 cm，点M到直线b的距离是3 cm，那么直线a，直线b之间的距离是(C)
A．2 cm B．8 cm C．2 cm或8 cm D．4 cm
2．如图，直线l1∥l2，△ABC的面积为12，则△DBC的面积(C)
A．大于12 B．小于12
C．等于12 D．不确定
（第2题图）
（第4题图）
3．两条平行铁轨间的枕木长度都相等，依据的数学原理是__两平行线间的距离一定相等__．
4．如图，AB∥CD，O是∠BAC，∠ACD的平分线的交点，OE⊥AC于点E，如果OE＝2 cm，那么AB，CD 间的距离是__4__cm.
◆活动5　课堂小结与作业
【学生活动】通过这节课的学习，你有哪些收获？有何感想？学会了哪些方法？
【教学说明】梳理本节课的重要方法和知识，加深对平行四边形性质与判定的理解．
【作业】课本P148习题6.5中的T1、T2、T3、T4、T5.
本节课先复习平行四边形的性质和判定，使学生进一步熟练相关定理，为本节课打下基础．同时，通过枕木设置疑问，引出新课．
教师通过生活中的实例，结合大量的图片展示，学生的学习积极性高涨，小组合作探究活动充分，学生参与踊跃，基本能够掌握平行四边形的判定方法，并能应用判定方法解决问题．。