例析数学批判性思维的培养措施

学生培养
２０２３年４月上半月
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例析数学批判性思维的培养措施
◉陕西省西安市经开第一中学㊀侯丽莎
㊀㊀摘要:
批判性思维是一种高阶思维活动,是创造性思维形成的前提与基础．本文中从哲学与心理学的角度,提出了在高中数学教学中培养批判性思维的主要措施 智慧容错,引发探究;变式训练,多元发散;及时反思,深化理解．
关键词:批判性思维;教学;课堂
㊀㊀数学批判性思维是指学习者在学习过程中,有意识地对已有的内容进行思维的过程,并能及时自我调节性判断㊁推理与调整的个性品质．思维对象包括对自己或他人的思维进行分析㊁质疑与反思;思维目的并不在于一定要推翻原有的结论,而是不断调整与完善原有的认知结构．因此,它所针对的并不一定是错误,还包括已有的数学表述㊁主体的思维过程㊁结论等．不盲从㊁敢于质疑㊁善于发现与纠正错误等,是批判性思维在数学活动过程中的主要表现．
１智慧容错,
引发探究不论是谁,在学习的道路上都会犯错．教师对待错误的态度,对学生的心理发展具有决定性的影响．面对学生的错误,教师若一味地加以指责与训斥,会让学生产生抵触情绪,从而拉开师生心灵的距离,使学生对学习丧失信心;教师若能智慧地包容学生的错误,积极正确地进行引导与鼓励,会有效拉近师生心灵的距离,促使学生形成探究欲．因此,教师的智慧容错,能引发学生产生探究行为,是帮助学生形成良好批判性思维的基础．
有些学生在解题时,存在思路上的误差,从而陷入知识的困境无法自拔．遇到这种情况,教师可通过启发式的引导,帮助学生矫正这种思维偏离现象,以助学生形成良好的批判性思维．
图１
例１㊀如图１,已知抛物线y ２
＝２p x (p ＞０
),若过点M (a ,０)(a ＞０
)任意作一条直线和抛物线相交于A ,B 两点,求әA B O 的最小面积．
这是一道经典例题,学生初
次遇到本题时,常因思维定式的影响而习惯性地通过设斜率来求面积,具体过程为:设过点M (a ,０)的直线方程是y ＝k (x －a )
,将其代入y ２＝２p x ,可得k y ２
－２p y －２p
a k ＝０．设点A (x １,y １),B (x ２,y ２),则y １＋y ２＝２
p k
,y １y ２＝－２p
a ,于是(y １－y ２)２
＝８p
a ＋４p ２k
２,所以S әA B O ＝１２a y １－y ２＝a ２p
a ＋p ２
k
２．问题解到这一步,无法继续往下求最值了．如果要
求S әA B O 的最小值,就需让１
k
２的值最小,也就是当|k |
取值最大时,１
k
２的值最小,但怎么取到|k |的最大值
呢?学生的思维受到阻碍了．
作为教师,面对学生解题思路的偏离,首先要理解㊁包容学生思维的偏差,然后运用适当的方式围绕学生原有的思路进行启发式引导,这样才是真正意义上的接纳学生．
启发:以上解题过程,选择了以直线A B 的斜率k
为变量,得出S әA B O ＝a ２p
a ＋p ２k
２．如果令k ＝１t ,可得S әA B O ＝a p ２t ２
＋２p
a ,但直线A B 的方程不可以直接写为y ＝１
t
(x －a )的形式．因为t ＝０时,S әA B O 的
值最小,所以要将直线方程设为x ＝t y ＋a 的形式来求解．
除此之外,还可以引导学生从面积表达式与求三角形面积等方面重新调整解题思路．但不论用哪种方法进行启发,都需紧紧围绕学生原有的解题思路,意在帮助学生发现思维偏离的原因,让学生的思维随着教师的引导获得启发．整个过程,学生通过合作交流㊁借鉴㊁引用等方式逐渐突破思维的困境,自主探究出问题的答案．无疑,这种智慧容错,启发式的引导方式有效地培养了学生的批判性思维．
２打破定式,
追根溯源数学问题的求解通常并非只有一种方法,若从不
同的视角出发,常常会发现新的解题思路．这就需要学习者拥有灵活的思维,遇到问题能随机应变,从中找出最便捷的解题方法．这样既省时又省力,还能提高正确率．
但在实际解题过程中,学生常受思维定式的影响,抓住一种解题思路不放手,导致解题过程冗长㊁繁杂,因而产生失误．因此,教师在教学中应常组织学生探寻问题的不同解法,让学生在比较中获得最优解,
２
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２０２３年４月上半月㊀
学生培养
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如此可促进学生发散性思维的发展,为批判性思维的形成奠定基础．
图２
例２㊀如图２,连接正方体中的
A C １,
B １D １,求证:A １
C ʅA B １．
本题难度不大,学生基本都能顺利求解．为了深化学生对知识的理解,培养学生的批判性思维,笔者在原题的基础上进行了以下变式．变式１㊀如图３,若分别连接
图３A １C ,A B １,结论A C １ʅA B １是否
成立?
设计意图:变式１是为了让学生在探究过程中,能发现一些规律．同时,这又是处于学生最近发展区内的问题,能将学生的思维准确地聚焦到图形核心特征上,以实现思维的延展,提高学生对图形的判别能力．
变式２㊀观察图４,是否能从中分别分解出图２或图３并求证:A C １ʅ平面A B １D １．
图４
㊀㊀㊀
图５
变式３㊀如图５,分别连接B D ,B C １,D C １,
求证:平面A B １D １ʊ平面C １B D ,
并计算这两个平面间的距离．变式４㊀如图５,分别连接A C ,A １C １,
求证:平面A C C １A ʅ平面A B １D １．
设计意图:第一个变式是为了让学生通过自主对比完成基础知识的梳理,为技能的形成奠定基础;后面三个变式则是借助复合图形来提炼㊁分解图形,以培养学生解决复杂问题的能力,为培养学生的批判性思维夯实基础．
３及时反思,
深化理解反思是指对问题进行多次㊁反复㊁持续地深思．反
思能力对学生数学能力的发展具有决定性的作用,学生在反思过程中,主动对自己已完成的学习任务进行周密㊁批判性地再思考,也就是从新的角度,对自身形成的解题方法㊁解题思路的再认识．教学中,在教师的引导下,学生积极地反思自己的学习活动,并逐渐形成反思习惯,不仅能提高自身的学习能力,还能培养独立思考㊁质疑与创新能力．３．１解题思路的反思
在学生解完一道题后,教师应引导学生回过头来重新审视自己的解题思路,而不能将眼光仅局限于解题结论上．学生在反思解题思路的过程中,可从多角度重新观察并联想,探索更多㊁更好的解题路径,以优化
解题思路,为后期的解题作铺垫．
例３㊀已知a ＞b ＞０,求证:m ＋b m ＋a ＞b
a
．
本题可用分析法㊁综合法等多种方法或利用化学浓度的意义进行证明．当学生用一种方法解完题后,教师可鼓励学生换一种角度去反思自己的解题路径是否正确．
３．２解题规律的反思
实践证明,同一类型的问题,解题方法也具有一定的相似性或规律性．为了让学生获得融会贯通的解题能力,教师可在学生解完一道题后,及时反思本题是否可作为一般性的规律进行引申与推广?随着这种解题规律反思次数的增多,学生自然而然地形成良好的举一反三能力,进而从一道题的解法中获得解一类题的能力．
例４㊀已知２x ＋３－y ＝０,求(x －４)２＋(y ＋
５)２
的最小值．
本题可将问题转化成求点A (４,５)到直线２x ＋
３－y ＝０最短距离的问题,也可以将y ＝２x ＋３代入
到待求式子中进行求解,也就是将待求式子转化为
５(x ＋
８５
)
２
＋３３６
５
求解．但待求式子若为x ２＋１＋x ２－４x ＋８,
就不能这样求解了．鉴于此,学生经反思后,一致认为数形结合是此题最好的方法,也就是
将问题转化成求点(x ,０)到两个定点(０,１),(２,２)
距离之和的最小值问题,或者求点(x ,１)到点(２,３),(０,
０
)距离之和最小值的问题．３．３解题结论的反思
长期以来,学生在解完题后,都有检验的习惯．其实,检验就是反思的过程,在检验的过程中,到底在思些什么呢?对于解题结论,一般需反思以下几个问题:解题过程是否存在问题?解题结论合理吗?但有些学生对待课后作业的态度不够端正,缺乏解题反思的习惯,从而出现一些不符合逻辑性的错误．
人类对解决问题的体验具有一定的时效性,若不及时进行巩固㊁反思与总结,这种体验就会淡化,直至消退,因而失去训练数学思维的良好时机．人的认知一般会经历从经验上升到规律㊁从感性认识上升到理性理解的过程．缺乏反思习惯的学习,不仅是一种浪费,也难以让自己形成良好的批判思维．
因此,为了提高学习效率与数学思维,学习者必须及时对自己的学习行为进行反思,从解题过程中遇到困难时的破解方法等经验中汲取精华,实现思维的精确化㊁条理化与概括化,从而形成良好的批判性思维．
总之,教师应营造适合学生思维发展的良好环境,为学生创设更多的思考空间,让学生有更多的机会发挥其批判潜能,使得学生在课堂中能有效突破思维定式,敢于标新立异㊁勇于创新,形成良好的批判性思维．Z
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