温州市高三第一学期期末“八校联考”

温州市高三第一学期期末“八校联考”
数学（理科）试卷
一、 选择题：本大题共10题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．定义集合{}*A B x x A x B =∈∉且，若{}{}1,3,5,7,2,3,5A B ==，则*A B 的子集个数为( ) A ．1 B . 2 C . 3 D . 4
2．设,b c 表示两条直线，,αβ表示两个平面，则下列命题是真命 题的是 ( ) A ．若,////b c b c αα⊂则 B ．若,////b b c c αα⊂，则 C ．若//,c c ααββ⊥⊥则 D ．若//,c c αβαβ⊥⊥，则
3．若框图所给的程序运行结果为S=90，那么判断框中应填入的 关于k 的条件是 ( )
.9?.8?.8?.8?A k B k C k D k =≤<>
f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为3，
且x ∈（-23
，0）时，f (x )=log 2(-3x +1)，则f (2011）=（ ）
2
7
ABC ∆中，sin cos 90A B A B =+=︒是的 ( )
A.充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
6. F 1、F 2分别是双曲线122
22=-b
y a x 的左、右焦点，A 是其右顶点，过F 2作x 轴的垂线与双曲线的一个交点
为P ，G 是0,2121=⋅∆F F GA F PF 若的重心，则双曲线的离心率是( ) A ．2
B ．2
C ．3
D ．3
7．已知O 为ABC ∆内一点，若对任意k R ∈，
恒有|,|||AC BC k OB OA ≥--则ABC ∆一定是 （ ） A ．直角三角形 B ．钝角三角形 C ．锐角三角形 D ．不能确定
8. 函数cos()y x ωϕ=+(0,0)ωϕπ><<为奇函数，该函数的部分图像如右图所表示，A 、B 分别为最高点与最低点，并且两点间的距离为22，则该函数的一条对称轴为( )
开 始
k =10, S =1
S=S ⅹk k=k -1 输 出S
是
否
结 束
A ．2
x π
=
B ．2
x π
=
C ． 1x =
D ．2x =
9．称横坐标、纵坐标都为整数的点为“整点”
，过曲线y =小于30的直线条数为 （ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 10．数列{}n a 满足11a =
1
1n a +=，记数列{}2
n a 前n 项的和为S n ，若2130n n t S S +-≤对任意的*n N ∈ 恒成立，则正整数t 的最小值为 ( )
A ．10
B ．9
C ．8
D ．7 二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，把答案填在答题纸上.
11．复数2
42(1)
i
i ++= ___________________. 12.如图是一个几何体的三视图，正视图和侧视图均为矩形，
俯视图为正三角形，尺寸如图，若它的体积是a =____
13．若关于,x y 的不等式组1
212x y x y ax y -≤⎧⎪
+≥⎨⎪+≤⎩
表示的平面区域是
一个三角形，则a 的取值范围是__________________.
14.如图，在正方形ABCD 中，已知AB ＝2，M 为BC 的中点，若N 为正方形内（含边界）任意一点，则AM AN ⋅的最大值为
22
143
x y +=上运动，Q 、R 分别在两圆
22
(1)1x y ++=和
22(1)1x y -+=上运动，则PQ PR
+的取值范围为 ______ 。

16．等比数列{}n a 中，120101,4a a ==，函数122010()()()()f x x x a x a x a =---，则函数f (x ) 在点(0,0)
处的切线方程为 __________ 。

17．将一个三位数的三个数字顺序颠倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数为“奇和数”。

那么，所有的三位数中，奇和数有__________个。

三、解答题：本大题共5小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 18. (本小题满分14分)
B
C
M
_ 俯视图
_ 侧视图
_ 正视图
设ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,,a b c
2sin cos cos .222
A A B
a a += （1）求角B 的大小；
（2）设sin sin y C A =-，求y 的取值范围．
19．(本小题满分14分)
小明参加一次智力问答比赛，比赛共设三关。

第一、二关各有两个问题，两个问题全答对，可进入下一关。

第三关有三个问题，只要答对其中两个问题，则闯关成功。

每过一关可一次性获得价值分别为100、300、500元的奖励。

小明对三关中每个问题回答正确的概率依次为45、34、2
3
，且每个问题回答正确与否相互独立。

（1）求小明过第一关但未过第二关的概率；
（2）用ξ表示小明所获得奖品的价值，求ξ的分布列和期望。

20.(本小题满分14分)如图，在直角梯形ABCD 中AD//BC,,45BC CD ABC ⊥∠=︒, 直角梯形ABCD 与矩形ADQP 所在平面垂直，将矩形ADQP 沿PD 对折，使得翻折后点Q 落在BC 上，设1DC =. (1) 求证：DQ AQ ⊥；
(2) 求线段AD 的最小值，并指出此时点Q 的位置；
(3) 当AD 长度最小时，求直线BD 与平面PDQ 所成的角的正弦值； 21．(本小题满分15分)
A
B
C
D P
Q
A
B
C
D
P
Q
已知抛物线C 的顶点在原点，焦点坐标为(2,0)F ，点P 的坐标为(,0)(0)m m ≠,设过点P 的直线l 交抛物线C 于,A B 两点，点P 关于原点的对称点为点Q .
（1）当直线l 的斜率为1时，求QAB ∆的面积关于m 的函数表达式.
（2）试问在x 轴上是否存在一定点T ，使得TA,TB 与x 轴所成的锐角相等？若存在，求出定点T 的坐标，
若不存在，请说明理由.
22．(本小题满分15分)
()sin ,(),()()().x f x e x g x ax F x f x g x =+==-设函数
[)[)()0,x F x a a x x f x g x x x x F x F x a ∈+∞∈∞≥121221（1）若=0是的极值点，求的值；1
(2)当=时，若存在、使得()=()，求-的最小值；
3
(3)若0,+时，()(-)恒成立，求的取值范围。

a
三、解答题：本大题共5小题，共72分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

18、解：（131cos sin sin sin 2
B
B A A A ++= 化简可知 3
sin()3
B π
+=
所以 3
B π
=…………………………………7分
（2）2sin(
)sin 3y A A π=-- sin()3A π
=- 因为20,
3
A π⎛⎫
∈ ⎪⎝
⎭，所以33y ⎛∈ ⎝⎭
………………14分 19．解：（1）25
7
1672516])43(1[)54
(22=
⨯=-⋅=P ……………………5分 （2）900
,400,100,0=ξ
,25
9
)54(1)0(2=-==ξP
2231
237(100)25
431217(400)()()[()()]5433375P P C ξξ==
==⋅⋅+⋅⋅=
222233432124
(900)()()[()()]5433315
P C ξ==⋅⋅⋅⋅+=，
(3) 由PAQ DQ 平面⊥，知平面PAQ PDQ 平面⊥，PQ 是其交线，
连接BD 交AQ 于E,过点E 作EF PQ ⊥于F, EF PDQ ⊥平面。

∴EDF ∠就是BD 与平面PDQ 所成的角. ……………………………11分 由已知得2=
AQ ，2PQ =PAQ ∴∆为等腰直角三角形。

∴1
2
EF =
，102ED = 10sin 10EF EDF ED ∴∠=
=…………………………14分 （注：用向量方法或体积法解答正确给相应的分数）
22.解：
[)0()sin ,()cos .
0()cos 00, 2.0,()cos 11200,()cos ()sin 110()()(0)11220.0(x x x x
x
F x e x ax F x e x a x F x F e a a x F x e x a x x e x a x e x F x F x F a x F ϕϕ'=+-=+-'=+-=='<=+-<+-='≥=+-=-≥-='''∞≥=+-=-==（1）因为是的极值点，所以(0)=所以当时；
当时则，则；所以在0，+单调递增。

从而于是是)2x a =的极小值点，所以符合题意。

4分。

[)[)[)[)[)[)00001)2()0,()0,()(0)02()()00,22()0,()0,(0,)0()0()0,(0)0(0,)()0()()00,a h x h x h x h a F x F x x a h x h x x x h x h x x h x x h x F x F x x '≤≥∴+∞≥=∴≤--≥∈+∞''><+∞'∴∈+∞<=∴∈<--≥∈+∞当时，在单调递增，即，当时，对恒成立。

）当时，又
在单调递增，
总存在使得在区间，上。

导致在递减，而，当时，，这与对(]2.
15a a ∴>∞恒成立不符，不合题意。

综上取值范围是-,2分。