(完整版)惠州市2018届高三第二次调研考试理科数学(word精排附答案)
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惠州市 2018 届高三第二次调研考试
理科数学
一、选择题:共 12 小题,每题 5 分,共 60 分.每题给出的四个选项中,只有一项切合题目要求
1.若
z 2 i ( i 为虚数单位 ),则复数 z 在复平面内对应的点在(
)
1
i
A .第一象限
B .第二象限
C .第三象限
D .第四象限
2.已知会合 A
x x a , B
x x 2 3x 2
0 ,若AI B
B ,则实数 a 的取值范围是 (
)
A . a 1
B . a 1
C . a 2
D . a 2
3.设 l ,m, n 为三条不一样的直线,
为一个平面,以下命题中正确的个数是( ) ①若 l
,则 l 与
订交; ②若 m
, n
, l
m ,l n ,则 l
;
③若 l // m , m// n , l ,则 n
; ④若 l // m , m
, n ,则 l // n .
A . 1
B . 2
C . 3
D . 4
4.“不等式 x 2
x m
0 在 R 上恒成立”的一个必需不充足条件是(
)
A . m
1 B . 0 m 1
C . m 0
D . m 1
4
5.设随机变量
听从正态散布 N
4,3 ,若 P
a 5
P
a
1 ,则实数 a 等于(
)
A
. 7
B
. 6
C
D
. 4
. 5
6.《周易》向来被人们视作儒家群经之首,它表现了古代中华民族对万事万物的深刻而又朴实的认识, 是中华人文文化的基础, 它反应出中国古代的二进制计数的思想方法. 我们用近代术语解说为:
把阳爻
“”看作数字“
1 ”,把阴爻“
”看作数字“
0 ”,则八卦所代表的数表示以下:
卦名 符号
表示的二进制数
表示的十进制数
坤 000 0
震 001 1
坎 010 2 兑
011
3
挨次类推,则六十四卦中的“屯”卦,符号“ ”表示的十进制数是(
)
A . 18
B .17
C . 16
D . 15 1
.已知等差数列
a n 的前 n 项和为
S n ,且
a 9
1
,
4,则数列
的前 10 项和为( )
7
2
a
12
6 a 2
S n
A .
11
B .
10
C .
9
D .
8
12
11
10
9
8.旅行体验师小明受某网站邀请,决定对甲、乙、丙、丁这四个景区进行体验式旅行,若甲景区不可以 最初旅行,乙景区和丁景区不可以最后旅行,则小李旅行的方法数为(
)
A . 24
B .
18
C . 16
D . 10
9.已知 A , B 为双曲线 E 的左右极点, 点 M 在双曲线 E 上, ABM 为等腰三角形, 且顶角为 120o ,
则双曲线 E 的离心率为(
)
A . 5
B . 2
C . 3
D . 2
10 .某三棱锥的三视图以下图,且三个三角形均为直角三角形,则
xy 最大值为(
)
A . 32
B .32 7
C . 64
D .64 7
11 .函数 f ( x)
Asin(2 x
)
, A 0 部分图像以下图,且 f (a) f (b)
0 ,
2
对不一样的 x 1,
x 2 a, b ,若 f (x 1 ) f ( x 2 ) ,有 f ( x 1 x 2 )
3 ,则(
)
A . f ( x) 在 ( 5
, ) 上是减函数 B . f (x) 在 (
5 , ) 上是增函数
12 12
12 12 C . f (x) 在 (
5
) 上是减函数 D . f (x) 在 ( 5 ) 上是增函数
,
6
3 ,
3
6 12.函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,当
x 0 时, f ( x)
2|x 1|
1
0 x 2
1
f (x
2)
x 2
g( x)
xf ( x)
1在 [ 6, ) 上的全部零点之和为(
2
)
A . 8
B . 32
C .
1
D . 0
8
二.填空题:此题共 4小题,每题 5分,共 20分
13.已知 tan
1
,且
3
,则 cos
________
2
,
2
2
14.某班共有 56 人,学号挨次为 1,2,3, ,56 ,现用系统抽样的方法抽取一个容量为
号为 2,30,44 的同学在样本中,则还有一位同学的学号应为 ________
15.已知数列
a n 知足 a 1
1, a n 1 2a n 2n (n N ) ,则数列 a n 的通项公式为
uuur uuur uuur uuur uuur uuur
16.在四边形 ABCD 中, AB DC ,已知 AB 8, AD 5 ,AB 与 AD 的夹角为 uuur uuur uuur uuur
CP 3PD ,则 AP BP ________
,则函数
4 的样本,已知学
a n ________
11
,
,且
cos =
20
三.解答题:共 70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤
17.(本小题满分 12 分)
已知 ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , 2cos C a cosC c cos A b 0
( 1)求角 C 的大小;( 2)若 b
2 , c 2
3 ,求 ABC 的面积
18 .(本小题满分 12 分)
60o , PA
如图,四棱锥 P ABCD 中,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,
ABC
PB , PC 2
( 1)求证:平面
PAB 平面 ABCD ;( 2)若 PA PB ,求二面角 A PC D 的余弦值
19.(本小题满分 12 分)
某学校为了丰富学生的业余生活,以班级为单位组织学生展开古诗词背诵竞赛,随机抽取题目,背 诵正确加 10 分,背诵错误减 10 分,背诵结果只有“正确”和“错误”两种。
此中某班级背诵正确的概
2
q
1 n 首背诵后总得分为 S n ”
率为 p
,背诵错误的概率为
,现记“该班级达成 3
20 且 S i 0 i
1,2,3 3
S 5 ,求 的散布列及数学希望
( 1)求 S 6 的概率;(2)记
20.(本小题满分 12 分)
已知点 C 为圆 ( x 1)2 y 2 8 的圆心, P 是圆上的动点,点
Q 在圆的半径 CP 上,且有点 A (1,0)
uuuur uuur 0 uuur uuuur
和 AP 上的点 M ,知足 MQ AP , AP 2AM
( 1)当点 P 在圆上运动时,求点 Q 的轨迹方程;
( 2)若斜率为
k 的直线 l 与圆
2
2
x
y
相切,与( 1)中所求点
Q 的轨迹交于不一样的两点 F , H ,
uuur O 是坐标原点,且 3
uuur 4
时,求 k 的取值范围
OF OH
4
5
21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f
x
2e x
x a
2
3, a R
1
y
f x
的图象在 x
处的切线与 x 轴平行,求 a 的值;
( )若函数 2 x 0 , f x 0 恒成立,求 a 的取值范围 ( )若
选考题:共 10分。
请考生在第22、 23题中任选一题作答。
假如多做,则按所做的第一题计分
22.(本小题满分10 分) [选修 4-4:坐标系与参数方程]
x2cos
A(0, 3) , F1、 F2是此曲线的左、右焦点,以原已知曲线 C :(为参数)和定点
y 3 sin
点 O 为极点,以x轴的正半轴为极轴成立极坐标
系.( 1)求直线AF2的极坐标方程;
( 2)经过点F1且与直线AF2垂直的直线交此圆锥曲线于M 、N两点,求| MF1 || NF1 | 的值
23.(本小题满分10 分) [选修已知函数 f ( x) m | x 1|4-5:不等式选讲| x 1|
]
( 1)当m 5 时,求不等式 f ( x) 2 的解集;
( 2)若二次函数y x22x 3 与函数y f x 的图象恒有公共点,务实数m 的取值范围
惠州市 2018 届高三第二次调研考试
理科数学参照答案
一、选择题: (每题
5 分,共 60 分)
题号
1 2
3
4
5 6 7
8 9 10 11
12
答案ADCCBBBDDCBA
1.【分析】由题意知 z 1 i 2 i
3 i ,其对应点的坐标为
3,1 ,在第一象限.
2.【分析】会合 B
x x 2 3x 2 0
x 1 x 2 ,由 AI B
B 可得 B
A ,
a 2 .
3.【分析】②错,①③④正确 .
4.【分析】 “不等式 x 2
x m 0在 R 上恒成立 ”
0 即 1 4m 0 ,
m 1 ,
同时要知足 “必需不充足 ”,在选项中只有 “m
0”切合 .
4
5.【分析】由随机变量
听从正态散布
N 4,3 可得对称轴为 x 4,又 P
a 5
P
a 1 , x a 5 与 x a 1 对于 x 4 对称, a 5
a 1 8 ,
即 a
6.
6.【分析】 由题意类推,可知六十四卦中的
“屯 ”卦切合 “ ”表示二进制数的
010001
,
转变为十进制数的计算为
1 20 0 21 0 2
2 0 2
3 1 2
4 0
25 17
7 .【分析】由
1
及等差数列通项公式得
,又
,
, d
2 ,
a 9
2
a
12
6 a 1 5d 12 a 2
4a 1 2
S n n 2
n ,
1 n 1 1 1
1 ,
S n n n n 1
1 1
1 = 1 1 1 1
1
1 1
1 10
S 1 S 2
S
10
2
2
3
10
11
11
11
8.【分析】第 1 种:甲在最后一个体验,则有
A 33 种方法;第 2 种:甲不在最后体验,则有
C 21 A 22 种
方法,所以小明共有
A 33 C 21 A 22
10 .
9【. 分析】设双曲线方程为 x 2
y 2
1 a 0, b 0 ,不如设点 M 在第一象限,所以 AB
BM
2a ,
a 2
b 2
MBA
120o ,作 MH
x 轴于点 H ,则
MBH
60o ,故 BH
a , MH
3a ,所以
M 2a, 3a ,将点
M
代入双曲线方程
x 2 y 2
1 ,得 a b ,所以 e
2 .
a
2
b
2
10.【分析】依题意,题中的几何体是三棱锥P-ABC(以下图 ),
此中底面 ABC 是直角三角形,
AB
BC , PA 面 ABC ,
BC 2 7 , PA
2
y 2
102
, 2 7 2
PA 2
x 2
,所以
xy x 10
2
x 2 2 7 2 x 128 x 2
x 2 128 x 2
64 ,
2
当且仅当 x 2 128
x 2 ,即 x 8时取等号,所以 xy 的最大值是 64.
11.【分析】由题意 T
2 , A 2 , b a ,又 f (x 1) f (x 2 ) ,有 f (x 1
x 2 ) 3 ,
2
2
sin 2 x 1 x 2
3 , 即 2 x 1 x 2
2 , 且
sin 2
x 1 x 2
1 , 即
2
3
2
2 x 1 x 2
,解得 ,
2
2
3
f x
2sin 2x
3 ,
2k 2x
2k , k Z , y f x 单一递加 .解得
2
3
2
5 kx
k ,k
Z .所以选项 B 切合 .
12
12
1
的交点横坐
12.【分析】令 g( x) xf ( x)
1 0 ,所以求 y
g x 的零点之和
y
f x 和 y
1 x
标之和,分别作出
x 0时, y f x 和 y
图象,如图
x
因为 y
f x 和 y
1
都对于原点对称,所以
x
6,6 的零点之和为
0,而当 x
8 时,
1 x
1
f x
1 个交点,而当 x
8,
时 y 的图象都在
y
f x 的上方,
,即两函数恰好有
x
8
所以零点之和为 8.
二.填空题:此题共 4小题,每题 5分。
13.
5 14. 16
15. n 2n
1
16. 2
5
13.【分析】
5 ; cos
sin
,由 ,
3
且 tan
1 可得 sin 5
2
.
5
2
2
5
14.【分析】由题意得, 需要从 56 人中分红 4 组,每组的第 2 位学号为抽出的同学, 所以有 1 14
2 16.
15 .【分析】由 a n 1
2a n
2n
两边同除
n 1
可得
a
n 1
a n 1 ,又
a
1
1 , a n 成以 1
为首,
2
2n 1
2n 2 2 2
2n 2
公差为
1
的等差数列,
a n
1
n 1
1 n ,
a n n 2n
1
.
2
2
n
2
2
2
3 uuur
uuur uuur
uuur uuur 1 uuur uuur uuur uuur uuur 5
16.【分析】 QCP 3PD ,
AP AD 4AB , BP AD AB ,又 AB 8,AD
1 uuur 1 uuur 4
uuur uuur uuur uuur 3 uuur uuur 2 uuur 3 uuur 2 AP BP
AD AB AD AB AD 2 AD AB 16AB ,代入式子可得
uuur uuur
4 4
2
AP BP
三.解答题:共 70分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.解:( 1) Q 2cos C a cosC c cos A
b 0 ,
由正弦定理可得 Q 2cos C sin AcosC sin C cos A
sin B 0
2 分
2cos C sin A C
sin B 0 ,即 2cos C sin B sin B
又 0o
B
180o , sin B 0 ,
cosC
1 ,即 C 120o .
6 分
2
2
22 2 2a cos120o a 2
( 2)由余弦定理可得
2 3
a 2 2a 4 , 9 分
又 a 0, a 2 , S VABC
1
ab sin C
3 , VABC 的面积为
3.12分
2
z
18.解:( 1)取 AB 中点 O ,连结 AC 、 CO 、 PO ,
∵四边形 ABCD 是边长为 2 的菱形,∴ AB
BC 2 .
P
∵ ABC 60o ,∴ ABC 是等边三角形.
∴ CO
AB ,OC
3 .
2分
A
1
AB 1.
∵ PA
PB ,∴ PO
D
OB y
2 C
∵ PC
2,∴ OP 2 OC 2
PC 2 .∴ CO PO . 4 分
x
∵ ABI PO O ,∴ CO 平面 PAB .
∵ CO 平面 ABCD ,∴平面 PAB 平面 ABCD . 5 分
( 2)∵ OP 2
OA 2 12 12 ( 2)2 PA 2 ,∴ PO AO .
由( 1)知,平面 PAB
平面 ABCD ,∴ PO 平面 ABCD ,
∴直线 OC ,OB, OP 两两垂直.以 O 为原点成立空间直角坐标系 O
xyz ,如图,
则 O (0,0,0), A(0, 1,0), B(0,1,0), C ( 3,0,0), D ( 3, 2,0), P(0,0,1) .
uuur uuur ( 3,0, uuur (0, 2,0) .
∴ AP (0,1,1), PC 1), DC
6 分
设平面 APC 的法向量为 m ( x, y, z) ,
m uuur 0 y z 0
AP ,取 x
1 ,得 m (1,
3, 3) ,
由 m uuur 0 ,得
3x z 0
8 分
PC
uuur
设平面 PCD 的法向量为 n
(x, y, z) ,由
n PC
3x z 0 ,
uuur 0,得
n DC 2 y 0
取 x 1 ,得 n
(1,0, 3) ,
10 分
∴ cos
m, n
m n 2
7
,由图可知二面角
A PC D 为锐二面角,∴二面角 A PC
D 的
m n
7
的余弦值为
2
7 .
12 分
7
19.解:(Ⅰ)当 S 6 20 时,即背诵 6 首后,正确个数为 4 首,错误 2 首;
由 S i
0 i 1,2,3
可得:若第一首和第二首背诵正确,则其他
4 首可随意背诵对 2 首; 若第一首正确,第二首背诵错误,第三首背诵正确,则其他
3 首可随意背诵对 2 首,
2
2
2
2
此时的概率为:
p
2 C 42
2
1 2 1 2 C 32
2 1 16
;
4分
3
3
3 3 3
3 3
3
81
S 5 2
1 (Ⅱ)∵ 的取值为 10, 30,50,又 p
, q
,
3
3
3 2
2
3
∴ p
10
C 53 2
1
C 52 2 1
40 , 6分
3 3 3
3
81
4
1
1
4
p
30
C 54 2
1 C 51 2
1
30 , 8分
3 3 3
3 81
50 C
52
5 0
5
p
1 C
0 2
1 11
10 分
5
3
3
5
3
3
81
ξ
10
30
50
∴ 的散布列为:
p
40 30 11
∴
81
81
81
E
10 40 30 30 50 11 1850 .
12 分
81 81 81 81
20.解:( 1)由题意知 MQ 中线段 AP 的垂直均分线,所以
CP QC QP QC
QA 2 2 CA 2
所以点 Q 的轨迹是以点 C , A 为焦点,焦距为 2,长轴为 2
2 的椭圆, 2分
a
2 , c
1 , b
a 2 c 2
1
3分 故点 Q 的轨迹方程是 x 2 y 2 1 4分
2 ( 2)设直线 l : y kx b , F x 1 , y 1 , H x 2, y 2
直线 l 与圆 x 2
y 2 1相切
b 1
1 b
2 k 2
1
k 2
x 2 y 2 1
2
2
2
2
x
2b
联立
1 2k
4kbx 2 0
6 分
y kx b
16k 2b 2 4 1 2k 2 2 b 2
1
8(2k 2 b 2 1)
8k 2 0
k
7分
x 1 x 2 4kb , x 1 x 2 2b 2 2
8分
uuur uuur
1 2k
2 1 2k 2
k 2
x 2 ) b 2
OF OH x 1x 2 y 1 y 2 1 x 1x 2 kb(x 1
9 分
(1 k 2 )(2b 2
2) kb (
4kb) b 2
(1 k 2 )2 k 2
4k 2 (k 2 1) k 2 1
1 2k
2 1 2k 2 1 2k 2
1 2k 2
1
k 2
10分
1 2k
2
所以
3
1 k 2
4 1 k 2 1 4 1 2k 2 5
3 2
3
k
2 2 k
3 或 3 k
2 为所求 . 12 分
3
2
2
3 3
2
21.解:( 1) f ' x
2 e x x a , Q y
f x 的图象在 x
0 处的切线与 x 轴平行,
即在 x
0 处的切线的斜率为 0,即 f ' 0 2 a
1 0 , a 1
4 分
( 2) f ′(x)= 2(e x -x + a),又令 h(x)= 2(e x - x + a),则 h ′(x)= 2(e x - 1) ≥0,
∴ h(x)在 [0,+ ∞)上单一递加,且 h(0) = 2(a + 1).
①当 a ≥- 1 时, f ′(x)≥0恒成立,即函数 f(x)在 [0,+ ∞)上单一递加,
5分
进而一定知足
f(0) = 5- a 2≥0,解得-
5≤a ≤
5,又
a ≥- 1,∴-
1≤a ≤
5.
8分
②当 a<- 1 时,则存在 x 0>0,使 h(x 0)= 0 且 x ∈ (0,x 0 )时, h(x)<0,即 f ′(x)<0 ,
即 f(x)单一递减, x ∈ (x 0,+ ∞)时, h(x)>0,即 f ′(x)>0 ,即 f(x)单一递
加. ∴ f(x) min = f(x 0)= 2e x 0- (x 0- a)2 + 3≥0,
又 h(x 0)= 2(e x 0- x 0+ a)= 0,进而 2 e x 0- (e x 0) 2+ 3≥0, 解得 0< x 0≤ ln 3.
由 e x 0= x 0- a? a = x 0- e x 0,令 M (x)= x - e x , 0<x ≤ln 3,则 M ′(x)= 1- e x <0,∴ M(x)在 (0, ln 3] 上单一递减,
则 M(x) ≥M(ln 3) =ln 3- 3,又 M(x)<M(0)=- 1,
故 ln 3 -3≤a<- 1.
11
分
综上,
ln 3 - 3≤a ≤
5.
12
分
(二)选考题:共 10分。
请考生在第 22、 23题中任选一题作答。
假如多做,则按所做的第一题计分。
答题时请写清题号并将相应信息点涂黑。
( 22)解:( 1)曲线 C :
x 2cos
可化为 x
2
y 2 1 ,其轨迹为椭圆,
y 3sin
4
3
焦点为 F 1 1,0 和 F 2 1,0 .
2 分
经过A0,
3 和 F 2 1,0 的直线方程为 x
y 1,即
3x y 3
0 , 4分
3
极坐标方程为
3 cos sin 3 .
5 分
( 2)由( 1)知,直线 AF 2 的斜率为
3 ,因为 l ⊥ AF 2,所以 l 的斜率为
3
,倾斜角为 30°,所以 l
3
x
1
3 t
的参数方程为
2 ( t 为参数),
6 分
1 t
y
2
代入椭圆 C 的方程中,得 13t 2
12 3t 36 0 .
8 分 因为 M ,N 在点 F 1
的双侧,所以 |MF 1| |NF 1|
t 1
t 2
12 3 10分
13
23.解:( 1)当 m
5 时, f ( x)
5 2x x 1
3 1 x 1 , 3 分
5 2x x 1
由 f ( x) 2 得不等式的解集为
x
3 3 5 分
x
.
2
2
( 2)由二次函数 y
x 2
2x 3 ( x
1)2 2 ,该函数在 x
1 获得最小值 2,
m 2x x 1 1 ,在 x 1 处获得最大值
m 2 ,
因为 f ( x)
m 2 1 x 8 分
m 2x x 1
所以要使二次函数
y
x 2
2x 3 与函数 y
f (x) 的图象恒有公共点,
只要 m 2 2 ,即 m 4 .
10 分。