上海中学2016-2017学年高一下学期期中数学试卷Word版含解析

2016-2017学年上海中学高一（下）期中数学试卷
一.填空题
1．已知角θ的终边在射线y=2x（x≤0）上，则sinθ+cosθ= ．
2．若，则= ．
3．函数的最小正周期为．
4．在△ABC中，若，则△ABC为三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”）
5．若，，则tanαtanβ= ．
6．已知，则x= （用反正弦表示）
7．函数y=2sin2x﹣3sinx+1，的值域为．
8．将函数y=cos2x﹣sin2x的图象向左平移m个单位后，所得图象关于原点对称，则实数m 的最小值为．
9．若函数y=sin3x+acos3x的图象关于对称，则a= ．
10．若函数f（x）=sinx和定义域均是，则它们的图象上存在个点关于y轴对称．
11．已知k是正整数，且1≤k≤2017，则满足方程sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的k有个．
12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，其中A、B、ω、φ均为实数，且A＞0，ω＞0，|φ|
＜，写出满足f（1）=2，，f（3）=﹣1，f（4）=2的一个函数f（x）= （写出一个即可）
二.选择题
13．若﹣＜α＜0，则点（cotα，cosα）必在（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
14．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（）
A．y=tan|x| B．y=cos（﹣x） C．D．y=|cot|
15．将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）
A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为
C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为
16．若α、β∈，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）
A．α＞βB．α+β＞0 C．α＜βD．α2＞β2
三.简答题
17．求证：﹣2cos（α+β）=．
18．已知，．
（1）求tanθ的值；
（2）求的值．
19．写出函数
的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图象．
20．已知集合A={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1）}，．（1）求证：g（x）∈A；
（2）g（x）是周期函数，据此猜想A中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；
（3）g（x）是奇函数，据此猜想A中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论．
21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，其图象的一
个对称中心为，将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2
倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2017个零点．
2016-2017学年上海中学高一（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一.填空题
1．已知角θ的终边在射线y=2x（x≤0）上，则sinθ+cosθ= ﹣．
【考点】G9：任意角的三角函数的定义．
【分析】根据三角函数的定义，直接求出sinθ和cosθ
【解答】解：在射线y=2x（x≤0）上任取一点（﹣1，﹣2），
∴r==，
∴sinθ==，cosθ==，
∴sinθ+cosθ=﹣，
故答案为：．
2．若，则=
sin．
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】利用二倍角的余弦公式的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，化简所给的式子，可得结果．
【解答】解：若，则
==
=|sin|=，
故答案为：sin．
3．函数
的最小正周期为 ．
【考点】H1：三角函数的周期性及其求法．
【分析】利用y=Asin （ωx+φ）的周期等于 T=，得出结论．
【解答】解：函数的最小正周期为
，
故答案为：．
4
．
在
△
ABC
中，若
，则△ABC
为 直角 三角形（填“锐角”、“直角”或“钝角”） 【考点】GI ：三角函数的化简求值．
【分析】诱导公式、两角和的正弦公式求得sin （A+B ）=sinC=1，C 为直角，从而得出结论． 【
解
答
】
解
：
△
ABC
中
，
∵
，
即
sinAcosB=1﹣sinBcosA ，
∴sin （A+B ）=sinC=1，∴C=，
故△ABC 为直角三角形， 故答案为：直角．
5．若
，
，则tan αtan β=
．
【考点】GP ：两角和与差的余弦函数．
【分析】由已知利用两角和与差的余弦函数公式可得cos αcos β﹣sin αsin β=，
cos αcos β+sin αsin β=，联立解得cos αcos β，sin αsin β，利用同角三角函数基本
关系式即可计算得解．
【解答】解：∵
，
，
∴cos αcos β﹣sin αsin β=，cos αcos β+sin αsin β=，
∴联立，解得：cos αcos β=，sin αsin β=
，
∴tan αtan β==
．
故答案为：．
6
．
已
知，
则x=
（用反正弦表示）
【考点】H2：正弦函数的图象．
【分析】本题是一个知道三角函数值及角的取值范围，求角的问题，由于本题中所涉及的角不是一个特殊角，故需要用反三角函数表示出答案
【解答】解：由于arcsin 表示上正弦值等于的一个锐角，
由，则x=
，
故答案为：．
7．函数y=2sin 2
x ﹣3sinx+1，的值域为 ．
【考点】HW ：三角函数的最值．
【分析】令sinx=t ，求出t 的范围，得出关于t 的二次函数，利用二次函数的性质求出最值即可．
【解答】解：令sinx=t ，则y=2t 2﹣3t+1=2（t ﹣）2﹣
，
∵x ∈[，
]，∴t ∈[
，1]，
∴当t=时，y 取得最小值﹣
，
当t=
或1时，y 取得最大值0．
故答案为：．
8．将函数y=cos2x ﹣sin2x 的图象向左平移m 个单位后，所得图象关于原点对称，则实数m
的最小值为．
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的图象的对称性，求得m的最小值．
【解答】解：把函数f（x）=cos2x﹣sin2x=cos（2x+）象向左平移m（m＞0）个单位，
可得y=cos（2x+2m+）的图象，
根据所得函数图象关于原点对称，可得2m+=kπ+，k∈Z，
即m=+，则m的最小值为，
故答案为：
9．若函数y=sin3x+acos3x的图象关于对称，则a= ﹣．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．
【分析】利用三角恒等变换得出y=sin（3x+φ），根据对称轴得出φ的值，再
利用sinφ=﹣得出a的值．
【解答】解：y=sin（3x+φ），其中，sinφ=，
cosφ=，
∵函数图象关于x=﹣对称，
∴﹣+φ=+kπ，即φ=+kπ，k∈Z．
∵cosφ=＞0，
∴φ=﹣+2kπ，∴sinφ=﹣，
∴=﹣，解得a=﹣．
故答案为：．
10．若函数f（x）=sinx和定义域均是，则它们的图象上存在 2 个点关于y轴对称．
【考点】H2：正弦函数的图象．
【分析】根据题意，在同一坐标系中画出函数f（x）=sinx和
的图象，
其中x∈，根据函数图象即可得出结论．
【解答】解：在同一坐标系中画出函数f（x）=sinx和
的图象，
其中x∈，如图所示；
则f（x）的图象上存在2个点关于y轴对称，分别是（﹣π，0）和（π，0）与（0，0）；
g（x）的图象上存在2个点关于y轴对称，分别是（﹣π，﹣）和（π，﹣）
与（，0）．
故答案为：2．
11．已知k是正整数，且1≤k≤2017，则满足方程sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的k有11 个．
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】由三角函数的值域可知，除k=1外当等式sin1°+sin2°+…+sink°=s in1°•sin2°…sink°的左右两边均为0时等式成立，由此可得正整数k的个数．
【解答】解：由三角函数的单调性及值域，可知sin1°•sin2°…sink°＜1．
∴除k=1外只有当等式sin1°+sin2°+…+sink°=sin1°•sin2°…sink°的左右两边均为0时等式成立，
则k=1、359、360、719、720、1079、1080、1439、1440、1799、1800时等式成立，
满足条件的正整数k有11个．
故答案为：11．
12．已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B，其中A、B、ω、φ均为实数，且A＞0，ω＞0，|φ|
＜，写出满足f（1）=2，，f（3）=﹣1，f（4）=2的一个函数f（x）
= sin（x﹣）+（写出一个即可）
【考点】H2：正弦函数的图象．
【分析】根据题意得出f（x）满足的条件，求出A、ω、φ对应的值即可写出f（x）的解析式．
【解答】解：根据题意，函数f（x）=Asin（ωx+φ）+B是周期函数，
且满足，其中A＞0，ω＞0，|φ|＜，
∴sin（4ω+φ）=sin（ω+φ），
∴4ω+φ=ω+φ+2kπ，k∈Z，
∴ω=，k∈Z，取ω=；
∴Asin（+φ）+B=2①且Asin（2π+φ）+B=﹣1②；
∴①﹣②得A=3
∴A（cosφ﹣sinφ）=3
∴A（cos cosφ﹣sin sinφ）=
∴Acos（φ+）=
令A=，则φ=﹣；
∴写出满足条件的一个函数为
f （x ）=sin （x ﹣）+；
故答案为：．
二.选择题
13．若﹣
＜α＜0，则点（cot α，cos α）必在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 【考点】GC ：三角函数值的符号． 【分析】根据三角函数值的符号判断即可．
【解答】解：∵﹣＜α＜0，
∴cos α＞0 tan α＜0 tan α•cot α=1 ∴cot α＜0
∴点（cot α，cos α）在第一象限． 故选：D ．
14．下列函数中，既为偶函数又在（0，π）上单调递增的是（ ）
A ．y=tan|x|
B ．y=cos （﹣x ）
C ．
D ．y=|cot
|
【考点】3J ：偶函数；3E ：函数单调性的判断与证明． 【分析】化简各选项，画出草图，根据图象选出答案．
【解答】解：y=sin （x ﹣
）=﹣sin （
﹣x ）=﹣cosx 故选C ．
15．将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P（，t）向左平移s（s＞0）个单位长度得到点P′，若P′位于函数y=sin2x的图象上，则（）
A．t=，s的最小值为B．t=，s的最小值为
C．t=，s的最小值为D．t=，s的最小值为
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】将x=代入得：t=，进而求出平移后P′的坐标，进而得到s的最小值．
【解答】解：将x=代入得：t=sin=，
将函数y=sin（2x﹣）图象上的点P向左平移s个单位，
得到P′（+s，）点，
若P′位于函数y=sin2x的图象上，
则sin（+2s）=cos2s=，
则2s=+2kπ，k∈Z，
则s=+kπ，k∈Z，
由s＞0得：当k=0时，s的最小值为，
故选：A．
16．若α、β∈，且αsinα﹣βsinβ＞0，则下面结论正确的是（）
A．α＞βB．α+β＞0 C．α＜βD．α2＞β2
【考点】3L：函数奇偶性的性质；H5：正弦函数的单调性．
【分析】观察本题的形式，当角的取值范围是时，角与其正弦值符号是相同的，故αsinα与βsinβ皆为正，αsinα﹣βsinβ＞0可以得出|α|＞|β|，故可以确定结论．
【解答】解：y=sinx是单调递增的偶函数．
∵，
∴αsinα，βsinβ皆为非负数
∵αsinα﹣βsinβ＞0，
∴αsinα＞βsinβ
∴|α|＞|β|，
∴α2＞β2
故选：D
三.简答题
17．求证：﹣2cos（α+β）=．
【考点】GJ：三角函数恒等式的证明．
【分析】先转换命题，只需证sin（2α+β）﹣2cos（α+β）•sinα=sinβ，再利用角的关系：2α+β=（α+β）+α，（α+β）﹣α=β可证得结论．
【解答】证明：∵sin（2α+β）﹣2cos（α+β）sinα
=sin﹣2cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα+cos（α+β）sinα﹣2cos（α+β）sinα
=sin（α+β）cosα﹣cos（α+β）sinα=sin=sinβ．
两边同除以sinα得﹣2cos（α+β）=．
∴原式得证
18．已知，．
（1）求tanθ的值；
（2）求的值．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．
【分析】（1）由，．利用二倍角公式即可出tanθ的值；
（2）根据tanθ的值求出sinθ和cosθ，利用二倍角和和与差的公式化简可求出
的值．
【解答】解：（1）由tan2θ=，
．
可得： tan2θ﹣tanθ﹣=0，
∵．
∴tanθ=．
（2）由（1）可知tanθ=，即，sin2θ+cos2θ=1，
可得：sinθ=，cosθ=．
那么
==
=2．
19．写出函数
的值域、单调递增区间、对称轴方程、对称中心坐标（只需写出答案即可），并用五点法作出该函数在一个周期内的图象．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；HI：五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象．【分析】先化简f（x）的解析式，根据正弦函数的图象与性质列出不等式或等式得出各结论．
【解答】解：y=﹣（cos2x﹣sin2x）+2sinxcosx=﹣cos2x+sin2x=2sin（2x﹣），∴函数的值域：；
令﹣+2kπ≤2x﹣≤+2kπ，解得﹣+kπ≤x≤+kπ，
∴函数的递增区间：，k∈Z；
令2x﹣=，解得x=+，
∴函数的对称轴：x=+，k∈Z；
令2x﹣=kπ得x=+，
∴函数的对称中心：（+，0），k∈Z；
作图如下：
（1）列表：
作出图象如下：
20．已知集合A={f（x）|f（x）+f（x+2）=f（x+1）}，．（1）求证：g（x）∈A；
（2）g（x）是周期函数，据此猜想A中的元素一定是周期函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论；
（3）g（x）是奇函数，据此猜想A中的元素一定是奇函数，判断该猜想是否正确，并证明你的结论．
【考点】3P：抽象函数及其应用．
【分析】（1）利用三角恒等变换化简g（x）+g（x+2），判断与g（x+1）的关系即可；
（2）由f（x）+f（x+2）=f（x+1）可得f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），两式相减即可得出f （x+3）=﹣f（x），从而有f（x+6）=f（x），得出f（x）周期为6；
（3）以f（x）=cos（）为例即可得出结论．
【解答】解：（1）证明：g（x）+g（x+2）=sin（）+sin（+）
=sin（）﹣sin（）+cos（）
=sin（）+cos（）=sin（+）=sin
（）=g（x+1），
∴g（x）+g（x+2）=g（x+1），
∴g（x）∈A．
（2）A中的函数一定是周期函数，证明如下：
∵f（x）+f（x+2）=f（x+1），
∴f（x+1）+f（x+3）=f（x+2），f（x+1）﹣f（x）=f（x+2），
∴f（x+3）=﹣f（x），∴f（x﹣3+3）=﹣f（x﹣3），即f（x）=﹣f（x﹣3），
∴f（x+3）=f（x﹣3），即f（x+6）=f（x），
∴f（x）是以6为周期的函数．
（3）A中的元素不一定是奇函数，
令，则f（x）+f（x+2）=cos（）+cos
（+）
=cos（）﹣cos（）﹣sin（）
=cos（）﹣sin（）=cos（+）=f（x+1）．
∴f（x）=cos（x）∈A，
而f（x）=cos（x）是偶函数，
故A中的元素不一定是奇函数．
21．已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的最小正周期为π，其图象的一
个对称中心为，将函数f（x）图象上的所有点的横坐标伸长为原来的2
倍（纵坐标不变），再将所得图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．（1）求函数f（x）与g（x）的解析式；
（2）求实数a与正整数n，使得F（x）=f（x）+ag（x）在（0，nπ）内恰有2017个零点．【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；H2：正弦函数的图象．
【分析】（1）依题意，可求得ω=2，φ=，利用三角函数的图象变换可求得g（x）=sinx；（2）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，方程F（x）=0等价于关于
x的方程a=﹣，x≠kπ（k∈Z）．问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x ∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．通过其导数，分析即可求得答案．
【解答】解：（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，
∴ω==2，
又曲线y=f（x）的一个对称中心为（，0），φ∈（0，π），
故f（）=sin（2×+φ）=0，得φ=，
∴f（x）=cos2x．
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，
再将y=cosx的图象向右平移π个单位长度后得到函数g（x）=cos（x﹣）的图象，
∴g（x）=sinx．
（2）∵F（x）=f（x）+ag（x）=cos2x+asinx=0，
∵sinx≠0，
∴a=﹣，
令h（x）=﹣=2sinx﹣，
h′（x）=2cosx+=，
令h′（x）=0得x=或，
∴h（x）在（0，）上单调递增，（，π）与（π，）上单调递减，（，2π）上单调递增，
当a＜﹣1时，h（x）=a在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内无交点；
当﹣1＜a＜1时，h（x）=a在（0，π）内有2个交点，在（π，2π）内有2个交点；
当a＞1时，h（x）=a在（0，2π）有2解；
则a=1时，h（x）=a在（0，π）∪（π，2π）有3解，
而2017÷3=672…1，所以n=672×2+1=1345，
∴存在a=1，n=1345时，F（x）有2017个零点．
2017年6月6日。