2020年湖南省高考数学(理科)模拟试卷(8)

良好以上
A 生产线的产品
B 生产线的产品
合计
合格
合计
附： K2=
??(????-??2??) (??+??)(??+??)(??+??)(??+??)
P（ K2）≥ k0）
0.10
0.05
0.01
0.005
k0
2.706
3.841
6.635
??2 ??2 20．（ 12 分）已知椭圆 C：??2 + ??2 = 1（ a＞ b＞ 0）的左、右焦点分别为
1
，点 P 是椭圆 C 上的一个动点，且△ 2
PF1F 2 面积的最大值为 √3．
（ 1）求椭圆 C 的方程；
7.879 F1、F2，离心率为
（ 2）过点 M （ 0， 1）作直线 l1 交椭圆 C 于 A、B 两点，过点 M 作直线 l1 的垂线 l 2交圆
O ： x2+y2=
??2 于另一点 4
该产品的质量评价标准规定：鉴定成绩达到
[90， 100）的产品，质量等级为优秀；鉴定
成绩达到 [80 ，90）的产品，质量等级为良好；鉴定成绩达到 [60，80）的产品，质量等级
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为合格．将这组数据的频率视为整批产品的概率． （ 1）从等级为优秀的样本中随机抽取两件，记 X 为来自 B 机器生产的产品数量，写出 X 的分布列，并求 X 的数学期望； （ 2）请完成下面质量等级与生产线产品列联表， 并判断能不能在误差不超过 0.05 的情况 下，认为产品等级是否达到良好以上与生产产品的生产线有关．
）
3 A．
5
4 B．
5
3 C． - 5
→
→
【解答】 解：∵ ??= （ 2， 1）， ??= （ 2， 4），
4 D．- 5
∴ ???＜???→?，
→
??＞
=
→→
?? ?? → →= |??||??|
8= √5 ×√20
4． 5
故选： B．
5．（ 5 分）已知
sin（ α+π） =
1 3
，则
??????2?? =（
根据以上数据估计该运动员射击 4 次恰好击中 3 次的概率为
．
15．（ 5 分）已知直线 l ：x﹣ my﹣1＝ 0，若直线 l 与直线 m+2x+
2
y
﹣15＝
0
被直线
mx﹣ y＝ 1 截得的最短弦长为
．
16．（ 5 分）定义在实数集 R 上的偶函数 （f x）满足 ??(?+? 2) = 2 + √ 4??(??-) ??2 (??)，则 （f 2021 ）
共线同向时，才正确；所以 ① 不正确．
→→
→ →→
② 若 ??与 ??0平行，则 ??= |??|???0 ；反向时，不正确；
→→
→
→→
③ 若 ??与 ??0平行且 |??|＝ 1，则 ??= ??0．同向时正确，反向时不正确；
所以正确命题的个数为 0．
故选： A．
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→
→
→→
4．（ 5 分）已知平面向量 ??= （2， 1），??= （ 2，4），则向量 ??，??夹角的余弦值为（
C． 2
D． √5
11．（ 5 分）函数 f（ x）的图象如图所示， f′（ x）是 f（x）的导函数，则下列式子正确的是
（）
A ．0＜ f′（ 1）＜ f′（ 2）＜ f（ 2）﹣ f（ 1）
B ． 0＜ f′（ 2）＜ f（ 2）﹣ f（ 1）＜ f′（ 1）
C． 0＜ f′（ 2）＜ f′（ 1）＜ f（ 2）﹣ f（ 1）
D ．0＜ f（ 2）﹣ f（ 1）＜ f′（ 1）＜ f′（ 2）
12．（ 5 分）在三棱锥 S﹣ABC 中， AB⊥ BC， AB＝ BC＝ 2， ???=? ???=? 2 √2，二面角 S﹣ AC
﹣ B 的余弦值是 - √3，若 S，A， B， C 都在同一球面上，则该球的表面积是（
）
3
A ．6π
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2020 年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（ 8）
参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
3 1．（ 5 分）已知集合 ??= {??|??≥ 1} ， B＝{ x|x≥ 0} ，则 A∩ B＝（
A ．{ x|0＜ x≤3}
B ．{ x|0≤ x≤ 3}
3 A．
5
4 B．
5
C． -
3 5
5．（ 5 分）已知
sin（ α+π） =
1 3
，则
??????2?? =（
????????
）
3 A ．- 7
7 B．- 3
3 C．
7
6．（ 5 分）函数 ??(??=) -??( 1??) ??????(??+（??x) ∈[﹣ π， π]）的图象大致是（
D．-
4 5
?? 3) = 2．
（ 1）求 C 的普通方程和 l 的直角坐标方程；
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（ 2）直线 l 与 x 轴的交点为 P，经过点 P 的直线 m 与曲线 C 交于 A，B 两点，若|????+| |????|= 4√3 ，求直线 m 的倾斜角． 五．解答题（共 1 小题） 23．已知函数 f（ x）＝ 2|x+1|+|x﹣ m|（m＞﹣ 1）． （Ⅰ）若 m＝3，求不等式 f（ x）＞ 7 的解集； （Ⅱ）若 ? x0∈R ，使得 f（ x0）＜ 2 成立，求实数 m 的取值范围．
A ．2
B ．2i
C．± 2
【解答】 解：设 z＝ a+bi，（ a， b∈R），
由 ??- ??= 0 ，?????= 4 ， 得 { ??2 + ??2 = 4，
??= 0 即 a＝± 2， b＝ 0．
D．± 2i
∴ z＝± 2．
故选： C．
→
→
→ →→
3．（ 5 分）设 ??0 为单位向量，下列命题中， ① 若 ??为平面内的某个向量，则 ??= |??|???0；② 若
N．若△ ABN 的面积为
3，求直线
l 1 的斜率．
21．（ 12 分）已知函数 f（x）＝ alnx﹣ x+1．
（ 1）若函数 f（ x）在 x＝ 1 处取得极大值，求实数 a 的值；
（ 2）若函数 f（ x）有唯一零点，求实数 a 的值；
（ 3）若不等式 |??(??)- 1| ＞ 2??对任意实数 x＞0 恒成立，求实数 a 的取值范围．
击中目标，以 4 个随机数为一组，代表射击 4 次的结果，经随机模拟产生了 20 组如下的
随机数：
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7327 0293 7140 9857 0347 4373 8636 6947 1417 4698
0371 6133 2616 8045 6011 3661 9597 7424 7610 4281
四．解答题（共 1 小题，满分 10 分，每小题 10 分）
22．（ 10 分）在直角坐标系
xOy 中，曲线
C
的参数方程为
??= {
√6?????（??α? 为参数），以坐
??= √6????????
标原点 O 为极点， 以 x 轴正半轴为极轴， 建立极坐标系， 直线 l 的极坐标方程为 ???????+?(??
2020 年湖南省高考数学（理科）模拟试卷（ 8）
一．选择题（共 12 小题，满分 60 分，每小题 5 分）
1．（ 5 分）已知集合 ??= {??|3??≥ 1} ， B＝{ x|x≥ 0} ，则 A∩ B＝（
A ．{ x|0＜ x≤3}
B ．{ x|0≤ x≤ 3}
C． { x|1＜ x≤ 3}
→ →→
→→
→
→→
??与??0 平行，则??= |??|???0 ；③ 若 ??与??0 平行且 |??|＝ 1，则 ??= ??0．不正确命题的个数是 （ ）
A ．0
B．1
C． 2
D．3
4．（ 5 分）已知平面向量
→
??=
→
（2， 1），??= （ 2，4），则向量
?→?，
→
??夹角的余弦值为（
）
→→
→ →→
→→
→
→→
??与??0 平行，则??= |??|???0 ；③ 若 ??与??0 平行且 |??|＝ 1，则 ??= ??0．不正确命题的个数是 （ ）
A ．0
B．1
C． 2
D．3
→
→
→ →→
【解答】 解： ??0 为单位向量， ① 若??为平面内的某个向量，则 ??= |??|???0 ；只有两个向量
折起，使得平面 BAE 及平面 DEC 都与平面 ADE 垂直．
（ 1）求证： BC∥平面 ADE ； （ 2）求二面角 A﹣ BE﹣ C 的余弦值． 19．（ 12 分） 3 月底，我国新冠肺炎疫情得到有效防控，但海外确诊病例却持续暴增，防疫 物资供不应求，某医疗器械厂开足马力，日夜生产防疫所需物品．已知该厂有两条不同 生产线 A 和 B 生产同一种产品各 10 万件，为保证质量， 现从各自生产的产品中分别随机 抽取 20 件，进行品质鉴定，鉴定成绩的茎叶图如图所示：
＝
．
三．解答题（共 5 小题，满分 60 分，每小题 12 分）
17．（ 12 分）已知数列 { an} 满足 2a1+7a2+12 a3+… +（ 5n﹣ 3） an＝ 4n．
（ 1）求数列 { an} 的通项公式；
（ 2）求数列
{
3?? ????}
的前
n 项和
Sn．
18．（ 12 分）如图，矩形 ABCD 中， AD＝ 2AB＝ 4，E 为 BC 的中点，现将△ BAE 与△ DCE
7 D．
3
）
A．
B．
C．
D．
7．（ 5 分）如果将函数 y= √5?????+??√?5 cosx 的图象向右平移 ??(0＜ ?＜? ?2?) 个单位得到函数 y
＝ 3sinx+acosx（ a＜0）的图象，则 tanθ的值为（
）
A ．2
1 B．
2
1 C．
3
D．3
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8．（ 5 分）甲、乙、丙、丁四名同学和一名老师站成一排合影留念．若老师站在正中间，甲
）
A．
B．
C．
D．
【解答】 解：函数 ??(??)= -??( 1??) ??????(??+（??x) ∈[﹣ π， π]）是奇函数，排除选项 当 0＜x≤ π时， f（ x）＝﹣ xecosx， f′（ x）＝﹣ ecosx（ 1+xsinx），
A、 C，
存在 x0∈（ 0， π）， 1+ x0sinx0＝ 0 时，当 x∈（0， x0）时， f′（ x）＜ 0，函数是减函数，
10．（ 5 分）已知双曲线
??：
??2 ??2
-
??2 ??2 =
1(??＞0 ，?＞? 0) 的左、右焦点分别为
F1， F2 直线 1 过
左焦点 F1 且与双曲线的左支交于 A，B 两点，若 |AF 1|＝ 3|BF 1|， |AB|＝ |BF 2|，则双曲线 C
的离心率为（
）
A ．√2
B ．√3
????????
）
3 A ．- 7
7 B．- 3
3 C．
7
【解答】 解：∵ sin（α+π） = 13，
∴ sinα＝-
1 3
，
cos2α＝
1﹣
2sin2α＝
1-
2 9
=
7， 9
7
∴
??????2?? =
????????
-
9 1
=
-
7 ．
3
3
故选： B．
7 D．
3
6．（ 5 分）函数 ??(??=) -??( 1??) ??????(??+（??x) ∈[﹣ π， π]）的图象大致是（
） D． { x|1＜ x＜ 3}
2．（ 5 分）已知复数 z 满足 z-?? = 0，且 z???= 4，则 z＝（ ）
A ．2
B ．2i
C．± 2
D．± 2i
→
→
→ →→
3．（ 5 分）设 ??0 为单位向量，下列命题中， ① 若 ??为平面内的某个向量，则 ??= |??|???0；② 若
→→
同学不与老师相邻，乙同学与老师相邻，则不同站法种数为（
）
A ．24
B ．12
C． 8
D．6
9．（ 5 分）已知△ ABC 外接圆的半径 R＝2，且 2√3????2??2??= ?????，?则??△ ABC 周长的取值范
围为（
）
A ．(2 √3，4]
B ．(4 ，4 √3]
C． (4 √3，4 + 2 √3] D． (4 + 2√3 ，6√3]
B ．8π
C． 12π
D． 18π
二．填空题（共 4 小题，满分 20 分，每小题 5 分）
13．（5 分）设随机变量 ξ～ N（3，δ 2），若 P（ ξ≥ 7）＝0.16，则 P（﹣ 1≤ ξ≤ 7）＝
．
14．（ 5 分）若采用随机模拟的方法估计某运动员射击击中目标的概率．先由计算器给出
0
到 9 之间取整数的随机数，指定 0，1，2，3 表示没有击中目标， 4，5， 6，7，8， 9 表示
C． { x|1＜ x≤ 3}
【解答】 解：∵集合 ??= {??|3??≥ 1} = { x|0＜ x≤ 3} ，
B＝ { x|x≥ 0} ，
∴ A∩ B＝ { x|0＜ x≤ 3} ．
故选： A．
） D． { x|1＜ x＜ 3}
2．（ 5 分）已知复数 z 满足 z-?? = 0，且 z???= 4，则 z＝（ ）