邯郸市一中第二学期研六考试

高中数学学习材料
金戈铁骑整理制作
邯郸市一中2015-2016学年第二学期研六考试
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的.
1.已知集合{}|11,|
01x M x x N x x ⎧⎫
=-<<=≤⎨⎬-⎩⎭
，则M N ⋂=（ ） A ．{}|01x x ≤< B ．{}|01x x << C ．{}|0x x ≥ D ．{}|10x x -<≤ 2.复数()1z i i =+在复平面内所对应点的坐标为（ ） A ．()1,1 B ．()1,1-- C ．()1,1- D ．()1,1- 3.如图所示程序框图中，输出S =（ ） A ．45 B ．-55 C ．-66 D ．66
4.“0x <”是“()ln 10x +<”的（ ）条件.
A ．必要而不充分
B ．充分不必要
C ．充分必要
D ．既不充分也不必要
5.命题：①为了了解800名学生对学习某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k 为40；
②线性回归方程y b x a ∧
∧
∧
=+恒过样本中心()
,x y ，且至少过一个样本点； ③在某项测量中，测量结果ξ服从正太分布(
)()2
2,0N σσ>，若ξ在(),1-∞内取值的概率为0.1，则ξ在
()2,3内取值的概率为0.4；
其中真命题的个数为（ ）
A ． 0
B ．1
C ． 2
D ．3
6.同时具有性质“⑴最小正周期是π；⑵图象关于直线6
x π
=对称；⑶在,63ππ⎡⎤
⎢
⎥⎣⎦
上是减函数”的一个函数可以是（ ） A ．5sin 212x y π⎛⎫=+
⎪⎝⎭ B ．sin 23y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭ C ．2cos 23y x π⎛
⎫=+
⎪⎝⎭ D ．sin 26y x π⎛
⎫=+ ⎪⎝
⎭
7.某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的侧面积是（ ） A ．27 B ．30 C ．32 D ．36
8.在ABC 中，,33,3,6
A A
B A
C
D π
=
==在边BC 上，且2CD DB =，则AD （ ）
A ．19
B ．21
C ．5
D ．27
9.学校计划利用周五下午第一、二、三节课举办语文、数学、英语、理综4科的专题讲座，每科一节课，没接至少有一科，且数学、理综不安排在同一节，则不同的安排方法共有（ ） A ．36种 B ．30种 C ．24种 D ．6种
10.过双曲线()222210,0x y a b a b -=>>的右焦点F 作直线b
y x a
=-的垂线，垂足为A 交双曲线左支于B
点，若2FB FA =，则该双曲线的离心率为（ ）
A ．3
B ．2
C ． 5
D ．7
11.在菱形ABCD 中，60,3A AB =︒=，将ABD 折起到PBD 的位置，若二面角P BD C --的大小为
23
π
，则三棱锥P BCD -的外接球的体积为（ ） A ．
43
π
B ．32π
C ．776π
D ．772π
12.已知函数()y f x =是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时()()()5sin ,01421,1
4x
x x f x x π⎧⎛⎫
-≤≤ ⎪⎪⎝⎭⎪
=⎨⎛⎫⎪> ⎪⎪⎝⎭
⎩，若关于x 的方程()()2
0f x af x b ++=⎡⎤⎣⎦有6个根，则实数a 的取值范围是（ ） A ．59,24⎛⎫-
- ⎪⎝⎭ B ．9,14⎛⎫-- ⎪⎝⎭ C ．59,24⎛⎫-- ⎪⎝⎭ 9,14⎛⎫⋃-- ⎪⎝⎭ D ．5,12⎛⎫
-- ⎪⎝⎭
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.已知()7
2
70127x m a a x a x a x -=+++
的展开式中4x 的系数是-35，则
127a a a ++= .
14.设不等式组00x y x y y π
+≤⎧⎪
-≥⎨⎪≥⎩
所表示的区域为M ，函数[]sin ,0,y x x π=∈的图像与x 轴所围成的区域为N ，
向M 内随机投一个点，则该点落在N 内概率为 .
15.已知12,F F 为22
2116
x y a +
=的左、右焦点，M 为椭圆上一点，则12MF F 内切圆的周长等于3π，若满足条件的点M 恰好有2个，则2
a = .
16.关于x 的方程2
ln x x x a
-=有唯一的解，则实数a 的取值范围是 . 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.（本小题满分12分）若数列{}n a 的前n 项和n S 满足(
)231n n S a n N
+
=-∈，等差数列{}n
b 满足
11323,3b a b S ==+.
⑴求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； ⑵设3n
n n
b c a =
，求数列{}n c 的前n 项和n T . 18（本小题满分12分）2015年4月21日上午10时，省会首次启动重污染天气II 级应急响应，正式实施机动车车尾号限行，当天某报社为了解公众对“车辆限行”的态度，随机抽查了50人，将调查情况进行整理后制成下表： 年龄（岁）
[
)15,25
[)25,35
[)35,45
[)45,55
[)55,65
[)65,75
频数 5 10 15 10 5
5 赞成人数
4
6
9
6
3
4
⑴完成被调查人员的频率分布直方图；
19.（本小题满分12分）在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为正方形，PA ⊥底面ABCD ，,AB AP E =为棱PD 的中点. ⑴证明：AE CD ⊥；
⑵求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；
⑶若F 为AB 中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得FM AC ⊥，若存在，求出PM
MC
的值，若不存在，说明理由.
20.（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的左右焦点21F F ，其离心率为2
1
=e ，点P 为椭
圆上的一个动点，21F PF ∆内切圆面积的最大值为3
4π. （1）求b a ,的值；
（2）若D C B A 、、、是椭圆上不重合的四个点，且满足
1111//,//,0F A FC F B F D AC BD ⋅=,求AC BD +的取值范围.
21.（本小题满分12分）已知()ln 1
m
f x n x x =++（,m n 为实数）
，在1x =处的切线方程为20x y +-=. ⑴求()y f x =的单调区间；
⑵若任意实数1,1x e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得对任意1,22
t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
的上恒有()32
22f x t t at ≥--+成立，求实数a 的取值
范围.
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
如图所示，PA 为圆O 的切线，A 为切点，PO 交圆O 于,B C 两点，20,10,PA PB BAC ==∠的角平分线与BC 和圆O 分别交于点D 和E . ⑴求证：AB PC PA AC ⋅=⋅； ⑵求AD AE ⋅的值.
23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为cos sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩（ϕ为参数），曲线2C 的参数方程为
cos sin x a y b ϕ
ϕ
=⎧⎨
=⎩（0,a b ϕ>>为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线:l θα=，与1C ，2C 各有一个交点，当0α=时，这两个交点间的距离为2，当2
π
α=，这两个交点重合.
⑴分别说明1C ，2C 是什么曲线，并求出a 与b 的值；
⑵设当4
π
α=
时，l 与1C ，2C 的交点分别为11,A B ，当4
π
α=-
，l 与1C ，2C 的交点分别为22,A B ，求四
边形1221A A B B 的面积.
24.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()22,f x x x a a R =---∈. ⑴当3a =时，解不等式()0f x >；
⑵当(),2x ∈-∞时，()0f x <恒成立，求a 的取值范围.
邯郸市一中2015-2016学年第二学期研六考试
高三理科数学答案
1-12 ADBAB DDABC CC 13.1 14.
2
8
π 15.25 16.0a <或1a =
17、⑴当1n =时，111231,1S a a =-∴=
设{}n b 的公差为1132,33,3723,2d b a b S d d ===+==+=
()31321n b n n ∴=+-⨯=+
⑵1232135721
,33333n n
n n
n n c T ++=
=++++① 2341135721
33333
n n n T ++=++++②，由①-②得， 2
23
n n n T +=-.
18、⑴各组的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.2,0.1,0.1，所以图中各组的纵坐标分别是0.01,0.02,0.03,0.02,0.01,0.01，画图
⑵ξ的所有可能取值为：0,1,2,3
()22
642251061515
0104575
C C P C C ξ==⋅=⋅=
()21112646442222
51051041562434
11045104575C C C C C P C C C C ξ⋅==⋅+⋅=⋅+⋅= ()2122
644422225105104156622
21045104575C C C C P C C C C ξ==⋅+⋅=⋅+⋅=
()124422510664
3104575
C C P C C ξ==⋅=⋅=
所以ξ的分布列是：
ξ 0 1 2 3
P
1575 3475 22
75 475
所以ξ的数学期望是15342246
0123757575755
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.
19、⑴证明：因为PA ⊥底面ABCD ，所以PA CD ⊥，
因为AD CD ⊥，所以CD ⊥面PAD ，由于AE ⊂面PAD ，所以有CD AE ⊥； ⑵依题意，以点A 为原点建立空间直角坐标系
不妨设2AB AP ==，()()()()2,0,0,2,2,0,0,2,0,0,0,2B C D P
点E 为棱PD 的中点，得()()()()0,1,1,0,1,1,2,2,0,2,0,2E AE BD PB ==-=-
设(),,n x y z =为平面PBD 的法向量，则0
n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩
不妨令1y =，可得()1,1,1n =为平面PBD 的一个法向量，所以6
cos ,3
AE EF 〈〉=
所以，直线EF 与平面PBD 所成角的正弦值为
63
； ⑶向量()()()2,2,2,2,2,0,2,0,0CP AC AB =--== 由点M 在棱PC 上，设(),01CM CP λλ=≤≤
故()12,22,2FM FC CM λλλ=+=--，由FM AC ⊥，得0FM AC ⋅=
因此，()()312222204
λλλ-⨯+-⨯=∴=
，所以13PM MC =
20、（1）当P 为椭圆上下顶点时，21F PF ∆内切圆面积取得最大值，设21F PF ∆内切圆半径为r,3
3
2,342=∴=r r ππ
. r PF PF F F bc b F F S F PF )(2
1
2121212121++==⋅=
∆3322a c 221⨯+=）
（,化为)(332c a bc +=，又222
,2
1c b a a c +==，联立解得32,2,4===b c a ..........4分 （2）∵满足0,//,//1111=⋅BD AC D F B F C F FA
∴直线AC ，BD 垂直相交于点1F ,由（1）椭圆方程
112
162
2=+y x ，)0,2(1-F . ①直线AC ，BD 有一条斜率不存在时，1486=+=+BD AC .
②当AC 斜率存在且不为0时，设方程为),(),,(),2(2211y x C y x A x k y +=，
联立⎪⎩⎪⎨⎧=+
+=112
16)2(22y x x k y ，化为0481616)43(2
222=-+++k x k x k .
2
22122214348
16,4316k k x x k k x x +-=+-=+∴
.
41
10,1,11216822≤-<∴>-+=
+∴t t t t
t BD AC ，)14796[，
∈+∴BD AC . 综上可得：BD AC +∴的取值范围是[14,7
96
) .......12分 21、⑴()()'
2
1m
n f
x x
x =-
++，由条件可得：()()'
111,112,2f f m n ==∴==- ()()
()()''2
2
1
0021f x x f x f x x
x ∴=-
+
>∴<∴+的减区间为()0,+∞，没有递增区间；
⑵由⑴可知，()f x 在1,1e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的最小值为()11f =
∴只需3221212t t at a t t t --≤∴≥-+对任意1,22t ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
恒成立
令()()()()2
2'
22
12111,21t t t g t t t g t t t t t
-++=-+=--= ∴当
1
12
t ≤<时，()()'0,g t g x <单调递减，当12t <≤时，()()'0,g t g x >单调递增 而()()1202g g g t ⎛⎫
-<∴
⎪
⎝⎭
的最大值为()522g =∴只需55224a a ≥∴≥； ⑶由⑴可知，()f x 在(]0,1上单调递减，∴对任意的正整数n ，都有()111f f n ⎛⎫
≥=
⎪⎝⎭
即：
2
11
ln 1121n n -≥+成立，整理可得：
4+ln 2+1n n n ≥ 则有：48124ln12;ln 22;ln 32,,ln 22341
n n n +≥+≥+≥+≥+
以上各式相加可得：()12
4ln1ln 2ln 2231n n n n ⎛⎫
+++
+++≥ ⎪+⎝
⎭
22、⑴
PA 为圆O 的切线，PAB ACP ∴∠=，又P ∠为公共角，
,PAB
PCA AB PC PA AC ∴⋅=⋅
⑵PA 为圆O 的切线，BC 是过点O 的割线，240,30PA PB PC BC ∴=⋅==
又
22290,900CAB AC AB BC ∠=︒∴+==
又由⑴知
125,65AB PA
AC AB AC PC
=∴==，连接EC ，则CAE EAB ∠=∠ ,,65125360AB AD ACE
ADB AD AE AB AC AE AC
=⋅=⋅=⨯=
23、⑴1C 是圆，2C 是椭圆.
当0α=时，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别是()()1,0,,0a 因为这两点间的距离为2，所以3a = 当2
π
α=
，射线l 与1C ，2C 交点的直角坐标分别是()()0,1,0,b 因为这两点重合，所以1b =；
⑵1C ，2C 的普通方程为2
22
21,19x x y y +=+= 当4π
α=时，射线l 与1C 交点1A 的横纵表是22x =，与2C 交点1B 的横坐标是'31010x = 当4π
α=-时，射线l 与1C ，2C 的两个交点22,A B 分别与交点11,A B 关于x 轴对称，因此四边形1221
A A
B B 为梯形，故四边形1221A A B B 的面积为()()''22225
x x x x +-=. 24、⑴()1,2353,2231,2
x x f x x x x x ⎧⎪->⎪⎪=-≤≤⎨⎪⎪-<⎪⎩ 当2x >时，10x ->，即1x <，解得∅ 当
322x ≤≤时，530x ->，即535323
x x <∴≤< 当32x <时，10x ->即3112x x >∴<< 不等式解集为5|13x x ⎧
⎫<<⎨⎬⎩⎭
； ⑵220222x x a x x a x a ---<⇒-<-⇒<-或23a x +>恒成立，即4a ≥.。