2013年江苏高考数学模拟试卷(七)

2013年江苏高考数学模拟试卷（七）
第1卷（必做题，共160分）
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分． 1. 设集合U ＝N ，集合M ＝{x|x 2－3x ≥0}，则∁U M ＝ ．
2. 某单位有职工500人，其中青年职工150人，中年职工250人，老年职工100人，为了了解该单位职工的健康情况，用分层抽样的方法从中抽取样本.若样本中的青年职工为6人，则样本容量为 .
3. 已知i 为虚数单位，422a i
i
i
+=+，则实数a ＝ ．
4. 在平面直角坐标系xoy 中，角α的始边与x
轴正半轴重合，终边在直线y =上，且
0x >，则
cos α ＝ ．
5.
已知函数
()f x =，则函数(1)y f x =+的定义域为 .
6. 从集合{1,2,3,4,5}中随机选取一个数记为a ，则使命题：“存在(3,3)x ∈-使关于x 的不等式220x ax ++<有解”为真命题的概率是 ．
7. 已知向量(,1),(2,)a x b y z ==+，且a b ⊥．若x y 、满足不等式组220,220,2,x y x y x -+≥⎧⎪
+-≥⎨⎪≤⎩则z 的
取值范围是 ． 8.已知双曲线2
2
22
1(0,0)x y a b a b -=>>
的一条渐近线方程y =,它的一个焦点在抛物线224y x =的准线上，则双曲线的方程为 .
9. 设函数()4sin()f x x x π=-，函数()f x 在区间11
[,]()
22
k k k Z -+∈上存在零点，则k 最小值是 .
10. 数列{}n a 的各项都是整数，满足31a =-，7
4a =，前6项依次成等差数列，从第5项起
依次成等比数列，则数列{}
n a 前10项的和是 ．
11. 若函数
4()tan 3f x x π=+
在点4(,
3)3
3
P π
π+
处的切线为，直线分别交x 轴、
y 轴于点A B 、，O 为坐标原点，则AOB ∆的面积为 .
12. 如果圆22(2)(3)4x a y a -+--=上总存在两个点到原点的距离为1，则实数
a
的取值范围是 ．
13. 如右图放置的腰长为2的等腰三角形ABC 薄片，
2
ACB π∠=
，沿x 轴滚动，设
顶点(,)A x y 的轨迹方程为()y f x =，则()f x 其相邻两个零点间的图像与x 轴 围成的封闭图形的面积为 .
14. 定义区间(,],[,),(,),[,]c d c d c d c d 的长度均为d c -，其中d c >.则满足不等式
121211
1,(0,0)11a a a x a x +≥>>--的x 构成的区间长度之和为 .
二、解答题：本大题共6小题，共90分.
15.（本小题满分14分）如图，四边形ABCD 为正方形，平面ABCD ⊥平面ABE ，
BE BC =，F 为CE 的中点，且AE BE ⊥．
（1）求证：//AE 平面BFD ； （2）求证：BF AC ⊥．
16.（本小题满分14分）已知锐角ABC ∆中的三个内角分别为A B C 、、． （1）设BC CA CA AB ⋅=⋅，A ∠=512
π,求ABC ∆中B ∠的大小；
F
E
D
C
B
A
（2）设向量
(
)2sin ,3
s C =-,2
(cos 2,2cos
1)2C t C =- ,且s ∥t ,若2sin 3
A =，求sin(
)
3
B π
-的值．
17.（本小题满分14分）如图，现有一个以AOB
∠为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB .现欲在弧AB 上取不同于A B 、的
点C ，用渔网沿着弧AC (弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上)、半径OC 和线段CD (其 中//CD OA )，在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ. 若
1,,3
OA km AOB AOC π
θ
=∠=
∠=.
（1） 用θ表示CD 的长度；
（2） 求所需渔网长度(即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和)的取值范围．
18. (本小题满分16分)已知,a b 为实数，2a >，函数()|ln |a f x x b x
=-
+,若(1)1,(2)ln 21
2
e
f e f =+=-+. （1）求实数,a b ；
（2）求函数()f x 在2[1,]e 上的取值范围；
（3）若实数c d 、满足,1c d cd ≥=，求()()f c f d +的最小值．
、
19.（本小题满分16分）已知圆221:1C x y +=，椭圆
22
22:1
33
x y C +=，四边形PQRS 为椭圆2
C 的内接菱形．
(1)
若点
(P ，试探求点S （在第一象限的内）的坐标；
(2) 若点P 为椭圆上任意一点，试探讨菱形PQRS 与 圆1
C 的位置关系．
20.（本小题满分16分）已知数列{}n a 的前n 项和n S 恒为正值，其中121,1(1)a a a a ==-≠，
且
11()n n n n n a a S a a ++-=．
（1）求证：数列{}n
S 是等比数列；
（2）若n a 与2n a +的等差中项为A ，试比较A 与1
n a +的大小；
（3）若2a =，m 是给定的正整数．先按如下方法构造项数为2m 的数列{}n
b ：当
1,2,
,n m =时，21n m n b b -+=；当1,2,
,2n m m m =++时，1n n n b a a +=，求数列的前
n 项的和n
T .
第Ⅱ卷（附加题，共40分）
21．[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，每小题10分；请选定其中两题，并在相应的答
．．．．．．．．．．．．．．
题区域内作答
．．．．．．．
A．（选修４－１：几何证明选讲）从⊙O外一点P向圆引两条切线PA PB
、和割线PCD.从点A作弦AE平行于CD，连结BE交CD于F.求证：BE平分CD.
B ．（选修４－２：矩阵与变换）设M 是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍，纵坐标伸长到3 倍的伸压变换． 求逆矩阵1M -以及椭圆22
149
x y +=在1M -的作用下的新曲线的方程．
C ．（选修４－４：坐标系与参数方程）已知曲线C 的极坐标方程是
4cos()
3
πρθ=+．以极点
为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方
程是：
3,()x t y ⎧
+⎪⎪⎨⎪⎪⎩
为参数，求直线与曲线C 相交弦的弦长．
D ．（选修４－５：不等式选讲）设x y 、均为正实数，且111223x y +=++，求xy 的最小值.
【必做题】第22题、第23题，每题10分，共计20分.
22.如图，一个小球从M 处投入，通过管道自上而下落A 或B 或C ．已知小球从每个叉口落入左右两个管道的可能性是相等的．某商家按上述投球方式进行促销活动，若投入的小球落到A B C 、、，则分别设为123、、等奖．
(1)已知获得1,2,3等奖的折扣率分别为50%,70%,90%．记随机变量ξ为获得
k (k =1,2,3)等奖的折扣率，求随机变量ξ的分布列及期望()E ξ；
(2)若有3人次(投入l 球为l 人次)参加促销活动，记随机变量η为获得1等奖或2等奖的人次，求(2)P η=．
23．已知集合2{||1|,}A x x a a x a R =+≤+∈.
（1）求A ;
（2）若以a 为首项，a 为公比的等比数列前n 项和记为n S ，对于任意的n N +
∈，均有
n S A ∈，求a 的取值范围．。