等差数列公式和等比数列公式

等差数列公式和等比数列公式
一、等差数列公式。

1. 定义。

- 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示。

即a_n-a_n - 1=d(n≥slant2)。

2. 通项公式。

- a_n=a_1+(n - 1)d，其中a_1为首项，n为项数，d为公差。

- 推导：a_2=a_1+d，a_3=a_2+d=a_1+2d，a_4=a_3+d=a_1+3d，以此类推可得a_n=a_1+(n - 1)d。

3. 前n项和公式。

- S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}。

- 推导：S_n=a_1+a_2+·s+a_n，S_n=a_n+a_n - 1+·s+a_1。

将这两个式子相加得2S_n=n(a_1+a_n)，所以S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}。

- 另一个形式：S_n=na_1+(n(n - 1))/(2)d。

这是将a_n=a_1+(n - 1)d代入
S_n=frac{n(a_1+a_n)}{2}得到的，即S_n=frac{n<=ft[a_1+a_1+(n - 1)d]}{2}=na_1+(n(n - 1))/(2)d。

二、等比数列公式。

1. 定义。

- 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示（q≠0）。

即frac{a_n}{a_n - 1} = q(n≥slant2)。

2. 通项公式。

- a_n=a_1q^n - 1，其中a_1为首项，n为项数，q为公比。

- 推导：a_2=a_1q，a_3=a_2q=a_1q^2，a_4=a_3q=a_1q^3，以此类推可得a_n=a_1q^n - 1。

3. 前n项和公式。

- 当q = 1时，S_n=na_1。

- 当q≠1时，S_n=frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}。

- 推导：S_n=a_1+a_1q+a_1q^2+·s+a_1q^n - 1，
qS_n=a_1q+a_1q^2+·s+a_1q^n。

用S_n-qS_n得：S_n(1 - q)=a_1-a_1q^n，所以
S_n=frac{a_1(1 - q^n)}{1 - q}。