固体物理电子教案6.8金属的电阻率

3
2π
2v
3 p
ωD ω2dω 0 eω kBT 1
声子浓度
1
n Vc
D
0
n( )( )d
3
2π2v
3 p
D 2d
0 e kBT 1
声子的平均波矢
1
q n Vc
D 0
qL
e
1
kBT
1
Vc 2
2π2v
3 L
2qT
e
1
kBT
1
Vc 2
2π2vT3
d
1 n Vc
D
0
v
L
e
1
kBT
了晶格振动，这样在导电问题上忽略了声子与布洛赫电子的作
用；
第二步周期场近似中，认为晶格势能函数
V
(r)
处处符合晶
格的严格周期性，忽略了晶体中的杂质和缺陷，这样在导电问
题上忽略了布洛赫电子与这些杂质和缺陷的作用。
6.8.2 纯金属的电阻率
1.实验规律： 高温 T
低温 T 5
2.理论解释 对于纯金属，杂质和缺陷可以忽略不计，电阻率主要来 自晶格振动对电子的散射作用。
实际材料中存在的杂质与缺陷，也将破坏周期性势场，引 起电子的散射。在金属中杂质与缺陷的影响一般来说是不依赖 于温度T的，而与杂质、缺陷的浓度成正比。
在杂质浓度较小时，可以认为晶格振动与杂质、缺陷的散 射相互独立，总的散射概率之和用弛豫时间表示可以写成：
11 1
L r
第一项：表示晶格振动散射的贡献，
Vc 2
1
2π2v
3 L
2
vT
e
1
kBT
1
Vc 2
2π2vT3
d
v
3 p
v
4 s
D 3d
0 e kBT 1
D 2d
0 e kBT 1
其中利用了 3 1 2 。 vs4 vL4 vT4
1 n(q )2
n
F
3
2π2v
3 p
令 x
D 0
2d
e kBT 1
v
3 p
q
D
0
v4 D s0
对称分布不再变化，从而维持原来的电流不变，也就是说，在
外电场为零的情况下，电流仍不等于零。
由
j
1
可知，电导率应为无穷大，电阻率应为零。 2.电阻来源于杂质、声子等对电子的散射
电阻是由在能带理论所作的几步近似中被忽略的因素引起
的。即绝热近似和周期场近似。
第一步绝热近似中，认为离子实在格点上固定不动，忽略
， 可得纯金属的电阻率为：
3d
e kBT 1
2d
e kBT 1
kBT
ΘD T
x 3dx 2
ρ
AT 5
0 e x 1
ΘD T
x 2dx
0 e x 1
高温时： ex 1 x
其中D是金属的德拜温度，A 是常数。
2 9
A4DT
T
低温时： D T
T5
6.8.3 杂质和缺陷对金属电阻率的影响
§6.8 金属的电阻率
6.8.1 电阻的起因
1. 理想晶体无电阻 一个理想的晶体是无限大的，既没有杂质和缺陷也没有晶 格振动。
当能带只是部分填充时，在外电场作用下，这些电子的状
态以匀速变化
dk
dt
F
e
，使电子在布里渊区的分
布不再对称，从而产生电流。
当外电场除去后，由于 dk dt 0 ，电子在布里渊区的非
假设声子系统由所谓的平均声子所构成，在这个系统中每 个声子的动量等于原声子系统中声子的平均动量。虽然金属中 存在大量的电子，但参与导电的仅仅是费米面附近的电子。
电子与晶格 的相互作用
电子与声子 相互作用
费米面附近电子与 声子相互作用
1
Z(k' ,k , )(1 cos )
F
其中Z是一常数，是除k态外，费米面上其他电子态的总
和。 是电子遭受到一个平均声子散射作用所产生的散射角。
(k' ,k , ) 是波矢为k的电子在单位时间内与一个平均声
子的碰撞概率，也即波矢为k的电子在单位时间内与平均声子 的碰撞次数。
按照经典统计理论，单位时间内某A气体分子与B气体分子
的碰撞次数，正比 于A和B分子的平均相对速度以及B分子的浓
度。因此 (k' ,k , ) v ,n
(k' ,k , ) v ,n
n ---声子浓度，
v ---费米面附近电子与声子的平均相对速度(kF/m*)。
如果采用德拜模型，声子的速度近似为金属中的声速， 也是常数。所以电子与声子的平均相对速度是一常数。
假设可以不计倒逆过程，只讨论电子的正常散射过程，由
下图可知
sin
2
q 2k
q 2kF
q 2kF
k
q
k
1 cos
2sin2
2
( q )2 2( kF )2
电子---声子的正常散射
上式中 q 为声子的平均动量。
上式代入
1
Z(k' ,k , )(1 cos )
F
得到 1 n(q )2
F
根据德拜模型知， qv，
1
声子浓度
n 1
Vc
ωD 0
n(ω) ρ(ω)dω
第二项：表示杂质、缺陷散射的贡献。
L r
L----代表纯金属的电阻率； r---表示杂质与缺陷的散射的影响，与温度无关。
当T=0K时，没有声子，L=0， = r
称r为金属的剩余电阻率。
因此杂质与缺陷的存在可以改变金属电阻率的数值，但
不改变电阻率的温度系数d/dT。