导数的定义公式的变形

导数的定义公式的变形
一、导数的定义。

1. 函数在某点的导数定义。

- 设函数y = f(x)在点x_0的某个邻域内有定义，当自变量x在x_0处取得增量Δ x（点x_0+Δ x仍在该邻域内）时，相应地函数y取得增量Δ y=f(x_0 + Δ x)-
f(x_0)。

- 如果Δ y与Δ x之比当Δ xto0时的极限存在，则称函数y = f(x)在点x_0处可导，并称这个极限为函数y = f(x)在点x_0处的导数，记作f^′(x_0)，即
f^′(x_0)=limlimits_Δ xto0(Δ y)/(Δ x)=limlimits_Δ xto0(f(x_0+Δ x)-f(x_0))/(Δ x)。

2. 函数在区间上的导数。

- 如果函数y = f(x)在开区间(a,b)内每一点都可导，则称函数y = f(x)在开区间(a,b)内可导。

- 对于区间(a,b)内的每一个x值，都对应着一个确定的导数f^′(x)，于是在区间(a,b)内就定义了一个新的函数，这个函数称为原函数y = f(x)的导函数，记作
y^′,f^′(x),(dy)/(dx)或(d)/(dx)f(x)，即f^′(x)=limlimits_Δ xto0(f(x+Δ x)-f(x))/(Δ x)。

二、导数定义公式的变形。

1. 用h表示增量。

- 令Δ x = h，则函数y = f(x)在点x_0处的导数f^′(x_0)=limlimits_hto0(f(x_0 + h)-f(x_0))/(h)。

- 函数y = f(x)的导函数f^′(x)=limlimits_hto0(f(x + h)-f(x))/(h)。

2. 从x到x_0的变形。

- 我们也可以写成f^′(x_0)=limlimits_xto x_0(f(x)-f(x_0))/(x - x_0)。

这种变形在一些证明和计算中非常有用，例如证明函数在某点的导数存在性等。

3. 负增量形式。

- 令Δ x=-h，当hto0时，Δ xto0。

- 对于函数y = f(x)在点x_0处的导数f^′(x_0)=limlimits_hto0(f(x_0 - h)-
f(x_0))/(-h)，这与f^′(x_0)=limlimits_hto0(f(x_0+h)-f(x_0))/(h)是等价的。

4. 在导函数定义中的变形应用。

- 对于导函数f^′(x)，我们可以写成f^′(x)=limlimits_tto x(f(t)-f(x))/(t - x)，这里用t代替x+Δ x，表示另一个变量趋近于x。

三、导数定义公式变形的应用举例。

1. 利用变形求导数。

- 例：求f(x)=x^2在x = 1处的导数。

- 方法一：根据f^′(x_0)=limlimits_Δ xto0(f(x_0+Δ x)-f(x_0))/(Δ x)，这里x_0 = 1，f(1)=1，f(1+Δ x)=(1+Δ x)^2 = 1 + 2Δ x+Δ x^2。

- 则f^′(1)=limlimits_Δ xto0((1 + 2Δ x+Δ x^2)-1)/(Δ x)=limlimits_Δ xto0(2+Δ
x)=2。

- 方法二：利用f^′(x_0)=limlimits_xto x_0(f(x)-f(x_0))/(x - x_0)，f(x)=x^2，x_0 = 1。

- 则f^′(1)=limlimits_xto1(x^2 - 1)/(x - 1)=limlimits_xto1((x + 1)(x - 1))/(x -
1)=limlimits_xto1(x + 1)=2。

2. 证明导数的性质。

- 例如证明函数y = f(x)在点x_0处可导，则函数在该点连续。

- 因为f(x)在x_0处可导，f^′(x_0)=limlimits_Δ xto0(f(x_0+Δ x)-f(x_0))/(Δ x)存在。

- 令Δ y=f(x_0+Δ x)-f(x_0)，则Δ y=(f(x_0+Δ x)-f(x_0))/(Δ x)·Δ x。

- 当Δ xto0时，limlimits_Δ xto0Δ y=limlimits_Δ xto0(f(x_0+Δ x)-f(x_0))/(Δ x)·limlimits_Δ xto0Δ x=f^′(x_0)·0 = 0，即limlimits_xto x_0f(x)=f(x_0)，所以函数在x_0处连续。

这里用到了导数定义公式的变形进行推导。