浙江省平阳县万全综合高级中学2021-2022学年高一下学期期中考试(普高)数学试题

万全综合高中2021学年第二学期期中考测试卷
高一（普高）数学
一、单选题：（每小题3分，共24分）
1．已知角α终边上一点M
的坐标为，则sinα等于（）A ．1
2
-
B ．
12
C
．D
2．已知(3,2)a = ，(,1)b m =- ，若a b ⊥
，则m =（
）
A ．
32
B ．32
-
C ．
23
D ．23
-
3．已知ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若60A =
，a =ABC 外接圆半径等于（）
A ．2
B
C
D ．1
4．已知复数z 满足()1i 2i z -=+，则z 的共轭复数为（
）
A ．33i
22
+B ．13i
22
-C ．33i
22
-D ．13i
22
+5已知正三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1，O 为△ABC 的外心，则异面直线AC 1与OB 所成角的大小为（
）
A ．30°
B ．60°
C ．45°
D ．90°
6.空间中有三条线段AB ，BC ，CD ，且∠ABC ＝∠BCD ，那么直线AB 与CD 位置关系是(
)
A ．平行
B ．异面
C ．相交或平行
D ．平行或异面或相交均有可能
7．正方体的表面积与其外接球的表面积的比为(
)
A ．3∶π
B ．2∶π
C ．1∶2π
D ．1∶3π
8．在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，则二面角A ­CD ­B 的余弦为(
)
A ．
12
B ．
13
C ．
33
D ．
2
3二．多选题（每小题4分，共16分）9.以下关于正弦定理或其变形正确的有（
）
A ．在△ABC 中，a ：b ：c ＝sin A ：sin
B ：sin
C B ．在△ABC 中，若sin 2A ＝sin 2B ，则a ＝b
C ．在△ABC 中，若sin A ＞sin B ，则A ＞B ，若A ＞B ，则sin A ＞sin
B 都成立D ．在△AB
C 中，
10.已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1的棱长为1，E 是DD 1的中点，则下列选项中正确的是（
）
A
B
C
D
A ．AC ⊥
B 1E
B ．B 1
C ∥平面A 1BD
C ．三棱锥C 1﹣B 1CE 的体积为
D ．异面直线B 1C 与BD 所成的角为45°
11.如图，圆柱的轴截面是四边形ABCD ，E 是底面圆周上异于A ，B 的一点，则下列结论中正确的是(
)
A ．AE ⊥CE
B ．BE ⊥DE
C ．DE ⊥平面CEB
D ．平面AD
E ⊥平面BCE
12.如图，在四棱锥P­ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠DAB ＝60°，侧面PAD 为正三角形，且平面PAD ⊥平面ABCD ，则下列说法正确的是(
)
A ．在棱AD 上存在点M ，使AD ⊥平面PM
B B ．异面直线AD 与PB 所成的角为90°
C ．二面角P­BC­A 的大小为45°
D ．BD ⊥平面PAC
三、填空题：（每题5分，共30分）
13.已知(1,2),(1,),(3,4)A B x C -三点共线，则x =____.
14．在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若===B c a ,2,336
5π
，则b ＝．
15.圆锥的底面周长为4π，高为3，则圆锥的体积为．
16.若大圆的面积为16π，则球的体积为_________．
17.在正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中，AA 1与BD 所成的角为______.
18.在正四面体中，设PA=a，则如意两个面所成二面角的余弦值为__________.四、解答题：（共50分）
19.（本题满分6分）已知()2,2m =-a ，()1,1m =+b ．（1）若2m =，求a 与b 的夹角的余弦值；（2）若()()+⊥-a b a b ，求实数m 的值．
20.（本题满分6分）已知复数z 满足()()1314z i i =-+--.求复数z 的共轭复数；
21.（本题满分7分）在ABC
中，已知∠A=450,b=22，c=6,求a的值及ABC 的面积。

22（本题满分7分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1,E、F分别是AD1,AA1的中点，求直线AB1与EF所成角的大小
所成角的正切值。

与平面
求
的中点
是
若
底面
中
在三棱锥
如图
PBC
AM
PB
M
P A
BC
AC
ABC
P A
ACB
ABC
P,
,
.
,
90
,
­
,
分）
7
（本题本题
23.=
=
⊥
=
∠
24（本题8分）如图已知在正三棱锥P-ABC中，AP=2,AB=1,求三棱锥P-ABC的体积。

P
A
B C
P
A
C B
M
25.（本题9分）如图，已知三棱锥P­ABC，PA⊥平面ABC，∠ACB＝90°，∠BAC＝60°，PA＝AC，M 为PB的中点．
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求二面角M­AC­B的大小
P
A
M
B C
万全综合高中2021学年第二学期第一次月考测试卷
高一（普高）数学答案
一、选择题：（每小题3分，共24分）二．多选题：（每小题5分，共16分）
三．填空题（每小题5分，共30分）13.0,14.7,
1
15.4π,16.
253
617.450,
18.
3
四．解答题：（共50分）
19.（本题满分6分）已知a =(m -2,2)，b =(1,m +1)．1）若m =2，求a 与b 的夹角的余弦值（；（2）若(a +b )⊥(a -b )，求实数m 的值．
1）m =2时，a =(0,2)，b =(1,3)，a 与b 的夹角的余弦解：（
值310
10
⋅==a b a ．...................3b 分（2）a +b =(m -1,m +3)，a -b =(m -3,1-m )，
又(a +b )⊥(a -b )，所以(m -1)(m -3)+(m +3)(1-m )=0，即-6m +6=0，解得m =1．.......6分20.（本题满分6分）已知复数z 满足z =(-1+3i )(1-i )-4.求复数z 的共轭复数；解:z =-1+i +3i +3-4=-2+4i ，所以复数z 的共轭复数为-2-4i
21.（本题满分7分）在 ABC 中，已知∠A =450,b =22，c=6,求a 的值及 ABC 的面积。

解：由余弦定理得，a 2=b 2+c 2-2bccosA=（22）2+62-2×22×6cos450=20.........................3分
∴a=25...........................4分2
2
∴
S ∆ABC =
21⨯6⨯2=6.⨯2题............................6分
号12345678选项
D
C
D
B
D
D
B
C
题号9101112选项
ACD
AB
ABD
ABC
23.（本题本题7分）如图,在三棱锥P -ABC 中,∠ACB =90 ,P A ⊥底面ABC .若AC =BC =P A ,M 是PB 的中点求AM 与平面PBC 所成角的正切值。

,2 2..2322
，,∴DM =2
1∴tan ∠AMD =
D AD
∴AM 与平面PBC 所成的角的正切值是=M
,解：取PC 中点D ，连接AD 、DM , AC =P A ,∴AD ⊥PC , P A ⊥平面ABC ,P A ⊥BC ∠ACB =900∴BC ⊥平面P AC ,∴BC ⊥AD ,,∴AD ⊥平面PBC ,∴∠AMD 就是AM 平面PBC 所成的角，设AC =BC =P A =1,则AD ,AM ==与24（本题8分）如图已知在正三棱锥P-ABC 中，AP=2,AB=1,求三棱锥P-ABC 的体积。

解:作PO ⊥底面ABC 与O 点，连接AO 交BC 于D 点，AO=2
3A =23×则KA =131
A ∙P =3×
×
M 为PB 的中点．
(1)求证：PC ⊥BC ；(2)求二面角M -AC -B 的大小
(1)证明：由PA ⊥平面ABC ，所以P A ⊥BC ，又因为∠ACB ＝90°，即BC ⊥AC ，PA ∩AC ＝A ，所以BC ⊥平面PAC ，所以PC ⊥BC ．(2)取AB 中点O ，连接MO ，过O 作HO ⊥AC 于H ，连接MH
因为M 是BP 的中点，所以MO ∥PA ，又因为PA ⊥平面ABC ，所以MO ⊥平面ABC ，
所以∠MHO 为二面角M -AC -B 的平面角，设AC ＝2，则BC ＝23，MO ＝1，OH ＝3，在Rt △MHO 中，tan ∠MHO ＝MO HO ＝3
3
，所以二面角M -AC -B 的大小为30°.
P
A
C
B
M D
P
A
M
B
C H O
P
A
M
B
C A
B
25.（本题9分）如图，已知三棱锥P -ABC ，PA ⊥平面ABC ，∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，P A ＝AC ，
C
P
O。