2024届河北省石家庄部分校中考二模数学试题含解析

2024学年河北省石家庄部分校中考二模数学试题
注意事项
1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．
2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．
3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．
4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1．下列运算正确的是（）
A．a3•a2=a6B．（2a）3=6a3
C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．3a2﹣a2=2a2
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=23，以点C为圆心，CB的长为半径画弧，与AB边交于点D，将BD 绕点D旋转180°后点B与点A恰好重合，则图中阴影部分的面积为（）
A．2
23
3
π
-B．
2
23
3
π
-C．
2
3
3
π
-D．
2
3
3
π
-
3．已知点A(1，y1)、B(2，y2)、C(﹣3，y3)都在反比例函数y＝6
x
的图象上，则y1、y2、y3的大小关系是( )
A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2
4．某校数学兴趣小组在一次数学课外活动中，随机抽查该校10名同学参加今年初中学业水平考试的体育成绩，得到结果如下表所示：
下列说法正确的是（）
A．这10名同学体育成绩的中位数为38分
B．这10名同学体育成绩的平均数为38分
C ．这10名同学体育成绩的众数为39分
D ．这10名同学体育成绩的方差为2
5．如图，在△ABC 中，∠ABC=90°，AB=8，BC=1．若DE 是△ABC 的中位线，延长DE 交△ABC 的外角∠ACM 的平分线于点F ，则线段DF 的长为（ ）
A ．7
B ．8
C ．9
D ．10
6．如果1∠与2∠互补，2∠与3∠互余，则1∠与3∠的关系是（ ）
A ．13∠=∠
B ．11803∠=-∠
C ．1903∠=+∠
D ．以上都不对
7．如图，在平面直角坐标系中，以O 为圆心，适当长为半径画弧，交x 轴于点M ，交y 轴于点N ，再分别以点M 、N 为圆心，大于12
MN 的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P ．若点P 的坐标为（2a ，b+1），则a 与b 的数量关系为
A ．a=b
B ．2a+b=﹣1
C ．2a ﹣b=1
D ．2a+b=1
8．《语文课程标准》规定：7﹣9年级学生，要求学会制订自己的阅读计划，广泛阅读各种类型的读物，课外阅读总量不少于260万字，每学年阅读两三部名著．那么260万用科学记数法可表示为（ ）
A ．26×105
B ．2.6×102
C ．2.6×106
D ．260×104
9．下列命题是真命题的个数有（ ）
①菱形的对角线互相垂直；
②平分弦的直径垂直于弦；
③若点（5，﹣5）是反比例函数y=k x
图象上的一点，则k=﹣25；
④方程2x ﹣1=3x ﹣2的解，可看作直线y=2x ﹣1与直线y=3x ﹣2交点的横坐标．
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个 10．14-的绝对值是（ ） A ．﹣4 B ．14 C ．4 D ．0.4
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11．工人师傅常用角尺平分一个任意角．做法如下：如图，∠AOB 是一个任意角，在边OA ，OB 上分别取OM=ON ，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M ，N 重合．过角尺顶点C 的射线OC 即是∠AOB 的平分线．做法中用到全等三角形判定的依据是______．
12．如图，在平面直角坐标系中，点A 是抛物线()2
y=a x 3+k -与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一点，且AB ∥x 轴，则以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为 .
13．如图，在△ABC 中，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点，若S 四边形ABFE =9，则S 三角形EFC =________．
14．已知a ＋b ＝1，那么a 2－b 2＋2b ＝________．
15．已知直线y=kx （k≠0）经过点（12，﹣5），将直线向上平移m （m ＞0）个单位，若平移后得到的直线与半径为6的⊙O 相交（点O 为坐标原点），则m 的取值范围为_____．
16．如图，菱形ABCD 的边长为15，sin ∠BAC=，则对角线AC 的长为____.
三、解答题（共8题，共72分）
17．（8分）先化简，再求值：22211·1441
x x x x x x -++--+-，其中x 是从-1、0、1、2中选取一个合适的数． 18．（8分）如图1，是一个材质均匀可自由转动的转盘，转盘的四个扇形面积相等，分别有数字1，2，3，1．如图2，正方形ABCD 顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，指针所落扇形中的数字是几（当指针落在四个扇形的交线上时，重新转动转盘），就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．
如：若从图A 起跳，第一次指针所落扇形中的数字是3，就顺时针连线跳3个边长，落到圈D ；若第二次指针所落扇形中的数字是2，就从D 开始顺时针续跳2个边长，落到圈B ；……设游戏者从圈A 起跳．
（1）嘉嘉随机转一次转盘，求落回到圈A 的概率P 1；
（2）琪琪随机转两次转盘，用列表法求最后落回到圈A 的概率P 2，并指出她与嘉嘉落回到圈A 的可能性一样吗？
19．（8分）如图，在三角形ABC 中，AB=6，AC=BC=5，以BC 为直径作⊙O 交AB 于点D ，交AC 于点G ，直线DF 是⊙O 的切线，D 为切点，交CB 的延长线于点E ．
（1）求证：DF ⊥AC ；
（2）求tan ∠E 的值．
20．（8分）如图1，2分别是某款篮球架的实物图与示意图，已知底座BC 的长为0.60m ，底座BC 与支架AC 所成的角∠ACB=75°，点A 、H 、F 在同一条直线上，支架AH 段的长为1m ，HF 段的长为1.50m ，篮板底部支架HE 的长为0.75m ．求篮板底部支架HE 与支架AF 所成的角∠FHE 的度数．求篮板顶端F 到地面的距离．(结果精确到0.1 m ；参考数据：cos75°≈0.2588，sin75°≈0.9659，tan75°≈3.73232≈1.414)
21．（8分）如图，在△ABC 中，∠ABC=90°．
（1）作∠ACB 的平分线交AB 边于点O ，再以点O 为圆心，OB 的长为半径作⊙O ；（要求：不写做法，保留作图痕迹）
（2）判断（1）中AC 与⊙O 的位置关系，直接写出结果．
22．（10分）由甲、乙两个工程队承包某校校园的绿化工程，甲、乙两队单独完成这项工作所需的时间比是3∶2，两队共同施工6天可以完成．
(1)求两队单独完成此项工程各需多少天？
(2)此项工程由甲、乙两队共同施工6天完成任务后，学校付给他们4000元报酬，若按各自完成的工程量分配这笔钱，问甲、乙两队各应得到多少元？
23．（12分）如图，分别以Rt △ABC 的直角边AC 及斜边AB 向外作等边△ACD ，等边△ABE ，已知∠BAC=30°，EF ⊥AB ，垂足为F ，连接DF 试说明AC=EF ；求证：四边形ADFE 是平行四边形．
24．如图，安徽江淮集团某部门研制了绘图智能机器人，该机器人由机座、手臂和末端操作器三部分组成，底座AE ⊥直线L 且25AE cm =，手臂60AB BC cm ==，末端操作器35CD cm =，AF 直线L .当机器人运作时，
45,75,60BAF ABC BCD ∠=︒∠=︒∠=︒，求末端操作器节点D 到地面直线L 的距离.（结果保留根号）
参考答案
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）
1、D
【解题分析】
试题分析：根据同底数幂相乘，底数不变指数相加求解求解；
根据积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘求解；
根据完全平方公式求解；
根据合并同类项法则求解．
解：A、a3•a2=a3+2=a5，故A错误；
B、（2a）3=8a3，故B错误；
C、（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2，故C错误；
D、3a2﹣a2=2a2，故D正确．
故选D．
点评：本题考查了完全平方公式，合并同类项法则，同底数幂的乘法，积的乘方的性质，熟记性质与公式并理清指数的变化是解题的关键．
2、B
【解题分析】
阴影部分的面积=三角形的面积-扇形的面积，根据面积公式计算即可．
【题目详解】
解：由旋转可知AD=BD，
∵∠ACB=90°3
∴CD=BD，
∵CB=CD，
∴△BCD是等边三角形，∴∠BCD=∠CBD=60°，
∴BC=
3
3
AC=2，
∴阴影部分的面积=23×2÷2−
2
602
360
π⨯
=23−
2
3
π
.
故选：B.
【题目点拨】
本题考查了旋转的性质与扇形面积的计算，解题的关键是熟练的掌握旋转的性质与扇形面积的计算.
3、B
【解题分析】
分别把各点代入反比例函数的解析式，求出y1，y2，y3的值，再比较出其大小即可．
【题目详解】
∵点A（1，y1），B（2，y2），C（﹣3，y3）都在反比例函数y=6
x
的图象上，
∴y1=6
1
=6，y2=
6
2
=3，y3=
6
3-
=-2，
∵﹣2＜3＜6，
∴y3＜y2＜y1，
故选B．
【题目点拨】
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数值的大小比较，熟练掌握反比例函数图象上的点的坐标满足函数的解析式是解题的关键.
4、C
【解题分析】
试题分析：10名学生的体育成绩中39分出现的次数最多，众数为39；
第5和第6名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为：=39；
平均数==38.4
方差=[（36﹣38.4）2+2×（37﹣38.4）2+（38﹣38.4）2+4×（39﹣38.4）2+2×（40﹣38.4）2]=1.64；
∴选项A ，B 、D 错误；
故选C ．
考点：方差；加权平均数；中位数；众数．
5、B
【解题分析】
根据三角形中位线定理求出DE ，得到DF ∥BM ，再证明EC=EF=12AC ，由此即可解决问题． 【题目详解】
在RT △ABC 中，∵∠ABC=90°，AB=2，BC=1，
∴AC=22AB BC +=2286+=10，
∵DE 是△ABC 的中位线，
∴DF ∥BM ，DE=12
BC=3， ∴∠EFC=∠FCM ，
∵∠FCE=∠FCM ，
∴∠EFC=∠ECF ，
∴EC=EF=12
AC=5， ∴DF=DE+EF=3+5=2．
故选B ．
6、C
【解题分析】
根据∠1与∠2互补，∠2与∠1互余，先把∠1、∠1都用∠2来表示，再进行运算．
【题目详解】
∵∠1+∠2=180°
∴∠1=180°-∠2
又∵∠2+∠1=90°
∴∠1=90°-∠2
∴∠1-∠1=90°，即∠1=90°
+∠1． 故选C ．
【题目点拨】
此题主要记住互为余角的两个角的和为90°，互为补角的两个角的和为180度．
7、B
【解题分析】
试题分析：根据作图方法可得点P 在第二象限角平分线上，
则P 点横纵坐标的和为0，即2a+b+1=0，
∴2a+b=﹣1．故选B ．
8、C
【解题分析】
科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤<，n 为整数.确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移
动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值1>时，n 是正数；当原数的绝对值1<时，n 是负数．
【题目详解】
260万=2600000=62.610⨯．
故选C ．
【题目点拨】
此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为n a 10⨯的形式，其中1a 10≤<，n 为整数，表示时关键要正确确定a 的值以及n 的值．
9、C
【解题分析】
根据菱形的性质、垂径定理、反比例函数和一次函数进行判断即可．
【题目详解】
解：①菱形的对角线互相垂直是真命题；
②平分弦（非直径）的直径垂直于弦，是假命题；
③若点（5，-5）是反比例函数y=k x
图象上的一点，则k=-25，是真命题； ④方程2x-1=3x-2的解，可看作直线y=2x-1与直线y=3x-2交点的横坐标，是真命题；
故选C ．
【题目点拨】
本题考查了命题与定理：判断一件事情的语句，叫做命题．许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成“如果…那么…”形式．一些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理．
10、B
【解题分析】
分析：根据绝对值的性质，一个负数的绝对值等于其相反数，可有相反数的意义求解.
详解：因为-
14的相反数为14
所以-14的绝对值为14. 故选：B
点睛：此题主要考查了求一个数的绝对值，关键是明确绝对值的性质，一个正数的绝对值等于本身，0的绝对值是0，一个负数的绝对值为其相反数.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）
11、SSS ．
【解题分析】
由三边相等得△COM ≌△CON ，即由SSS 判定三角全等．做题时要根据已知条件结合判定方法逐个验证．
【题目详解】
由图可知，CM=CN ，又OM=ON ，
∵在△MCO 和△NCO 中
MO NO CO CO NC MC ⎧⎪⎨⎪⎩
＝＝＝，
∴△COM ≌△CON （SSS ），
∴∠AOC=∠BOC ，
即OC 是∠AOB 的平分线．
故答案为：SSS ．
【题目点拨】
本题考查了全等三角形的判定及性质．要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养．
12、18。

【解题分析】
根据二次函数的性质，抛物线()2
y=a x 3+k -的对称轴为x=3。

∵A 是抛物线()2
y=a x 3+k -与y 轴的交点，点B 是这条抛物线上的另一 点，且AB ∥x 轴。

∴A ，B 关于x=3对称。

∴AB=6。

又∵△ABC 是等边三角形，∴以AB 为边的等边三角形ABC 的周长为6×3=18。

13、3 【解题分析】 分析：
由已知条件易得：EF ∥AB ，且EF ：AB=1：2，从而可得△CEF ∽△CAB ，且相似比为1：2，设S △CEF =x ，根据相似三角形的性质可得方程：1
94
x x =+，解此方程即可求得△EFC 的面积. 详解：
∵在△ABC 中，点E ，F 分别是AC ，BC 的中点， ∴EF 是△ABC 的中位线， ∴EF ∥AB ，EF ：AB=1：2， ∴△CEF ∽△CAB ， ∴S △CEF ：S △CAB =1：4， 设S △CEF =x ，
∵S △CAB =S △CEF +S 四边形ABFE ，S 四边形ABFE =9， ∴
194
x x =+， 解得：3x =，
经检验：3x =是所列方程的解. 故答案为：3.
点睛：熟悉三角形的中位线定理和相似三角形的面积比等于相似比的平方是正确解答本题的关键. 14、1 【解题分析】 解：∵a+b=1，
∴原式=()()()2122 1.a b a b b a b b a b b a b +-+=⨯-+=-+=+= 故答案为1. 【题目点拨】
本题考查的是平方差公式的灵活运用.
15、0<m＜13 2
【解题分析】
【分析】利用待定系数法得出直线解析式，再得出平移后得到的直线，求与坐标轴交点的坐标，转化为直角三角形中的问题，再由直线与圆的位置关系的判定解答．
【题目详解】把点（12，﹣5）代入直线y=kx得，
﹣5=12k，
∴k=﹣
5 12
；
由y=﹣
5
12
x平移m（m＞0）个单位后得到的直线l所对应的函数关系式为y=﹣
5
12
x+m（m＞0），
设直线l与x轴、y轴分别交于点A、B，（如图所示）
当x=0时，y=m；当y=0时，x=12
5
m，
∴A（12
5
m，0），B（0，m），
即OA=12
5
m，OB=m，
在Rt△OAB中，
13
5
m ==，
过点O作OD⊥AB于D，
∵S△ABO=1
2
OD•AB=
1
2
OA•OB，
∴1
2
OD•
13
5
m=
1
2
×
12
5
m×m，
∵m＞0，解得OD=12
13
m，
由直线与圆的位置关系可知12
13
m ＜6，解得m＜
13
2
，
故答案为0<m＜13 2
.
【题目点拨】本题考查了直线的平移、直线与圆的位置关系等，能用含m 的式子表示出原点到平移后的直线的距离是解题的关键.本题有一定的难度，利用数形结合思想进行解答比较直观明了. 16、24 【解题分析】
试题分析：因为四边形ABCD 是菱形，根据菱形的性质可知，BD 与AC 互相垂直且平分，因为，AB=10,
所以BD=6，根据勾股定理可求的AC=8，即AC=16； 考点：三角函数、菱形的性质及勾股定理；
三、解答题（共8题，共72分） 17、12
-
. 【解题分析】
先把分子分母因式分解，约分后进行通分化为同分母，再进行同分母的加法运算，然后再约分得到原式=1
2
x -，由于x 不能取±1，2，所以把x=0代入计算即可． 【题目详解】
22211
·1441
x x x x x x -++--+-, =
()()2211
•11(2)1x x x x x x -++
+---
=12
(1)(2)(1)(2)
x x x x x -+----
=
()()1
12x x x ---
=
1
2
x -， 当x=0时，原式=
11
022
=--. 18、（1）落回到圈A 的概率P 1=
1
4
；（2）她与嘉嘉落回到圈A 的可能性一样．
【解题分析】
（1）由共有1种等可能的结果，落回到圈A的只有1种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案；
（2）首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与最后落回到圈A的情况，再利用概率公式求解即可求得答案；
【题目详解】
（1）∵共有1种等可能的结果，落回到圈A的只有1种情况，
∴落回到圈A的概率P1=1
4
；
（2）列表得：
∵共有16种等可能的结果，最后落回到圈A的有（1，3），（2，2）（3，1），（1，1），
∴最后落回到圈A的概率P2=
4
16
=
1
4
，
∴她与嘉嘉落回到圈A的可能性一样．
【题目点拨】
此题考查了列表法或树状图法求概率．注意随机掷两次骰子，最后落回到圈A，需要两次和是1的倍数．
19、（1）证明见解析；（2）tan∠CBG=7 24
．
【解题分析】
（1）连接OD，CD，根据圆周角定理得∠BDC=90°，由等腰三角形三线合一的性质得D为AB的中点，所以OD是中位线，由三角形中位线性质得：OD∥AC，根据切线的性质可得结论；
（2）如图，连接BG，先证明EF∥BG，则∠CBG=∠E，求∠CBG的正切即可．
【题目详解】
解：（1）证明：连接OD，CD，
∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=90°，
∴CD⊥AB，
∵AC=BC ， ∴AD=BD ， ∵OB=OC ，
∴OD 是△ABC 的中位线 ∴OD ∥AC ， ∵DF 为⊙O 的切线， ∴OD ⊥DF ， ∴DF ⊥AC ；
（2）解：如图，连接BG ， ∵BC 是⊙O 的直径， ∴∠BGC=90°， ∵∠EFC=90°=∠BGC ， ∴EF ∥BG ， ∴∠CBG=∠E ，
Rt △BDC 中，∵BD=3，BC=5， ∴CD=4， ∵S △ABC =11
··22
AB CD AC BG =，即6×4=5BG ， ∴BG=
245
， 由勾股定理得：CG=222475(
)55
-=， ∴tan ∠CBG=tan ∠E=77
524245
CG BG ==.
【题目点拨】
本题考查了切线的性质、等腰三角形的性质、平行线的判定和性质及勾股定理的应用；把所求角的正切进行转移是基
本思路，利用面积法求BG的长是解决本题的难点．
20、（1）∠FHE＝60°；（2）篮板顶端 F 到地面的距离是4.4 米．【解题分析】
（1）直接利用锐角三角函数关系得出cos∠FHE=
1
2
HE
HF
=，进而得出答案；
（2）延长FE交CB的延长线于M，过A作AG⊥FM于G，解直角三角形即可得到结论．【题目详解】
（1 ）由题意可得：cos∠FHE＝
1
2
HE
HF
=，则∠FHE＝60°；
（2）延长FE 交CB 的延长线于M，过 A 作AG⊥FM 于G，
在Rt△ABC 中，tan∠ACB＝AB BC
，
∴AB＝BC•tan75°＝0.60×3.732＝2.2392，∴GM＝AB＝2.2392，
在Rt△AGF 中，∵∠FAG＝∠FHE＝60°，sin∠FAG＝FG AF
，
∴sin60°＝
2.5
FG3
∴FG≈2.17（m），
∴FM＝FG+GM≈4.4（米），
答：篮板顶端 F 到地面的距离是4.4 米．
【题目点拨】
本题考查解直角三角形、锐角三角函数、解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形，记住锐角三角函数的定义.
21、（1）见解析（2）相切
【解题分析】
（1）首先利用角平分线的作法得出CO，进而以点O为圆心，OB为半径作⊙O即
可；
（2）利用角平分线的性质以及直线与圆的位置关系进而求出即可．
【题目详解】
（1）如图所示：
；
（2）相切；过O点作OD⊥AC于D点，
∵CO平分∠ACB，
∴OB=OD，即d=r，
∴⊙O与直线AC相切，
【题目点拨】
此题主要考查了复杂作图以及角平分线的性质与作法和直线与圆的位置关系，
正确利用角平分线的性质求出d=r是解题关键．
22、（1）甲队单独完成此项工程需要15天，乙队单独完成此项工程需要1天；（2）甲队应得的报酬为1600元，乙队应得的报酬为2400元．
【解题分析】
（1）设甲队单独完成此项工程需要3x天，则乙队单独完成此项工程需要2x天，根据两队共同施工6天可以完成该工程，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；
（2）根据甲、乙两队单独完成这项工作所需的时间比可得出两队每日完成的工作量之比，再结合总报酬为4000元即可求出结论．
【题目详解】
（1）设甲队单独完成此项工程需要3x天，则乙队单独完成此项工程需要2x天，
根据题意得：66
1, 32
x x
+=
解得：x=5，
经检验，x=5是所列分式方程的解且符合题意．
∴3x=15，2x=1．
答：甲队单独完成此项工程需要15天，乙队单独完成此项工程需要1天．（2）∵甲、乙两队单独完成这项工作所需的时间比是3：2，
∴甲、乙两队每日完成的工作量之比是2：3，
∴甲队应得的报酬为
2
40001600
23
⨯=
+
（元），
乙队应得的报酬为4000﹣1600=2400（元）．
答：甲队应得的报酬为1600元，乙队应得的报酬为2400元． 【题目点拨】
本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 23、证明见解析． 【解题分析】
（1）一方面Rt △ABC 中，由∠BAC=30°可以得到AB=2BC ，另一方面△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，由此得到AE=2AF ，并且AB=2AF ，从而可证明△AFE ≌△BCA ，再根据全等三角形的性质即可证明AC=EF ．
（2）根据（1）知道EF=AC ，而△ACD 是等边三角形，所以EF=AC=AD ，并且AD ⊥AB ，而EF ⊥AB ，由此得到EF ∥AD ，再根据平行四边形的判定定理即可证明四边形ADFE 是平行四边形． 【题目详解】
证明：（1）∵Rt △ABC 中，∠BAC=30°，∴AB=2BC ． 又∵△ABE 是等边三角形，EF ⊥AB ，∴AB=2AF ．∴AF=BC ． ∵在Rt △AFE 和Rt △BCA 中，AF=BC ，AE=BA ， ∴△AFE ≌△BCA （HL ）．∴AC=EF ．
（2）∵△ACD 是等边三角形，∴∠DAC=60°，AC=AD ． ∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=90°．∴EF ∥AD ． ∵AC=EF ，AC=AD ，∴EF=AD ． ∴四边形ADFE 是平行四边形．
考点：1．全等三角形的判定与性质；2．等边三角形的性质；3．平行四边形的判定．
24、（20）cm. 【解题分析】
作BG ⊥CD ，垂足为G ，BH ⊥AF ，垂足为H ，解Rt CBG ∆和Rt ABH ∆，分别求出CG 和BH 的长，根据D 到L 的距离()BH AE CD CG =+--求解即可. 【题目详解】
如图，作BG ⊥CD ，垂足为G ，BH ⊥AF ，垂足为H ，
∆中，∠BCD=60°，BC=60cm，
在Rt CBG
∴cos6030
=⋅︒=，
CG BC
∆中，∠BAF=45°，AB=60cm，
在Rt ABH
∴sin45302
BH AB
=⋅︒=，
∴D到L的距离()302255(30220)
=+--=-=.
BH AE CD CG cm
【题目点拨】
本题考查解直角三角形，解题的关键是构造出适当辅助线，从而利用锐角三角函数的定义求出相关线段.。