北京市2017届高三数学(文)综合练习28 含答案

北京市2017届高三综合练习
文科数学
第一部分 （选择题 共40分)
选择题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． 1. 复数i(1i)-对应的点在
（A ） 第一象限
(B) 第二象限
（C) 第三象限
（D) 第四象限
2. 已知0a >且1a ≠,命题“∃x >1，log
0a
x >"的否定是
（A ） ∃x ≤1，log 0a
x >
(B ） ∃x 〉1,log
0a
x ≤
（C ） ∀x ≤1,log 0a
x >
（D ） ∀x 〉1,log 0a
x ≤
3．已知函数()sin f x x =，[2,2]x ππ∈-，则方程1()2
f x =的所有根的和等于
（A) 0
（B ） π
(C ） —π
（D) — 2π
4. 如图所示，某三棱锥的正视图、俯视图均为边长为2的正三角形，则其左视图面积为 (A) 2
（B)
3
(C ）
2
3
（D ）
2
3
俯视图
正视图
5．执行如图所示的程序框图，如果输入的
x R ∈，则输出的h (x )的最小值是
（A ）
34
（B ） 3 (C ） 4
(D ） 7
6．设O 是坐标原点，F 是抛物线2
y x =的焦点，A 是抛物线上的一点，
FA 与x 轴正向的夹角为6
π，则
||AF =
（A)
12
(B)
34
(C) 1
（D)
27．某工厂生产甲、乙两种产品，已知生产每吨甲种产品要用A 原料3吨，B 原料2吨；生产每吨乙种产品要用A 原料1吨，B 原料3吨．该工厂每天生产甲、乙两种产品的总量不少于2吨，且每天消耗的A 原料不能超过10吨，B 原料不能超过9吨．如果设每天甲种产品的产量为x 吨,乙种产品的产量为y 吨，则在坐标系
xOy 中，满足上述条件的x ，y 的可行域用阴影部分表示正确的是
（A)
(B) (C ）
（D) 8．对于集合A ，B ,定义{,}A B x y x A y B +=+∈∈,下列命题:
①
A B B A
+=+;②()()A B C A B C ++=++；③若
A A
B B +=+,则
A B
=；④若
A C
B
C +=+,则A B =．其中正确的命题是
(A ） ① （B) ①②
（C) ②③
（D ） ①④
第二部分 (非选择题 共110分）
一、填空题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知正实数x ,y 满足xy =3，则2x +y 的最小值是 ． 10．曲线3
21y x
x x =--+在点(0，1）处的切线方程是 ．
11．在锐角△ABC 中，AB =25AC =2，△ABC 的面积是4，则sin A = ，
BC = ．
12．如图所示，分别以A ，B ，C 为圆心,
在
△ABC 内作半径为2的扇形（图中的阴影部分），在△ABC 内任取一点P ，如果点P 落在阴影内的概率为13,那么△ABC 的面积是 ．
13．已知两点(,0)A m -，(,0)B m （0m >)，如果在直线34250x y ++=上存在点P ,使得90APB ︒
∠=，则m 的取值范围是_____．
14．已知梯形ABCD 中，1
2
AD DC CB AB ===,P 是BC 边上一点，且AP xAB yAD =+.
当P 是BC 中点时，x y += ;当P 在BC 边上运动时,x y +的最大值是______．
二、解答题共6小题，共80分．解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程．
15.（本小题共13分)
已知函数2
()2cos ()12
f x x ωπ
=+（其中0>ω,∈x R)的最小正周期为2π． （Ⅰ）求ω的值；
(Ⅱ）如果[0,]2
απ∈,且5
8
)(=αf ，求αcos 的值．
16.（本小题共13分）
已知等差数列{}n
a 的前n 项和为n S ，等比数列{}n
b 满足1
11a
b ==，
332S b =+，551S b =-．
（Ⅰ）求数列{}n
a ，{}n
b 的通项公式；
（Ⅱ）如果数列{}n
b 为递增数列，求数列{}n n
a b 的前n 项和n
T ．
17。

(本小题共13分）
长时间用手机上网严重影响着学生的身体健康,某校为了解A,B 两班学生手机上网的时长，分别从这两个班中随机抽取5名同学进
行调查，将他们平均每周手机上网的时长作为样本，绘制成茎叶图如图所示(图中的茎表示十位数字,叶表示个位数字）．
(Ⅰ）分别求出图中所给两组样本数据的平均值，并据此估计，哪个班的学生平均上网时间较长;
（Ⅱ）从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b ，求a >b 的概
率．
18.（本小题共14分）
如图所示，四棱锥P ABCD -的底面ABCD 是直角梯形，
AD BC //，AB AD ⊥，的
AD BC AB 2
1
=
=，PA ⊥底面ABCD ，过BC 平面交PD 于M ，交PA 于N (M 与D 不重
合)．
（Ⅰ)求证：BC MN //； （Ⅱ）求证:CD PC ⊥；
值．
（Ⅲ)如果BM AC ⊥,求此时PM PD
的
C
N
M
P
D
B
A
A 班
B 班
0 1 2 3
9 1 0 1
4
1 1
2 5
6
19。

（本小题共13分）
已知函数2()e x
f x x =．
（Ⅰ)求()f x 的单调区间； （Ⅱ）证明:1
x ∀，2(,0]x
∈-∞,122
4
()()e f x f x -≤
；
(Ⅲ）写出集合{()0}x f x b ∈-=R （b 为常数且b ∈R )中元素的个数（只需写出结论)．
20.（本小题共14分）
已知椭圆
C ：22
221x y a b
+=(0)a b >>的右焦点为F ,上下两个顶点与点F
恰好是正三角形的三个顶点．
（Ⅰ)求椭圆C 的标准方程；
(Ⅱ)过原点O 的直线l 与椭圆交于A ，B 两点,如果△FAB 为直角三角形，求直线l 的方程．
数 学(文科）参考答案
选择题:本大题共8小题，每小题5分，共40分．
一、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．
10．10x y +-= 11．5
;4
12．6π 13．[5,)+∞ 14．54
；32
注：第11， 14题第一个空填对得3分，第二个空填对得2分． 二、解答题：本大题共6小题,共80分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 15.(本小题共13分） 解：(Ⅰ）因为
)12
(cos 2)(2π
ω+
=x x f 1)6
2cos(++
=π
ωx ．
所以πω
π
222==T ， 因
为
>ω，所以
2
1=
ω． (5)
分
(Ⅱ)由（1）可知5
81)6
cos()(=++=πααf ，
所以5
3)6
cos(=+πα，
因为[0,]2
πα∈， 所以2[,]663
πππ
α+∈， 所以5
4)6
sin(=+πα．
因为cos cos[()]66
ππ
αα=+- cos()cos
sin()sin
6
6
6
6
π
π
π
π
αα=+
++
341552=⨯= …………
…………13分
所以cos α=
16。

（本小题共13分）
解：（Ⅰ）设等差数列{}n
a 的公差为d ，等比数列{}n
b 的公比为q ，则由
题意得
24
332
5101
d q d q ⎧+=+⎨+=-⎩．
代入得2
9450d d --=，解得1d =或5
9
d =-
(舍)． 所以2q =±． 所
以
n a n
= ；
1
2n n b -=或
1
(2)n n b -=-． ……………………7分
（Ⅱ)因为数列{}n
b 为递增数列，
所以12n n
b
-=． 所以0
1
2
1
122232...2n n
T
n -=⨯+⨯+⨯++⨯,
12321222322n n T n =
⨯+⨯+⨯+
+⨯,
相减得012122222n n n
T n --=+++
+-⨯，
所
以
1(1)2n n T n =+-．
……………
………13分
17。

(本小题共13分）
解：(Ⅰ)A 班样本数据的平均值为1(911142031)175
++++=， B 班样本数据的平均值为1(1112212526)195
++++=， 据此估计B 班学生平均每周上网时间较
长． ……………………5分
（Ⅱ）依题意,从A 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据
记为a ，从B 班的样本数据中随机抽取一个不超过21的数据记为b 的取法共有12种,分别为：
（9,11），（9，12）,（9，21)，(11,11），（11，12),（11，21），（14，11）,（14,12），（14，21），(20,11)，（20，12），（20,21)．
其中满足条件“a >b "的共有4种，分别为:
（14，11）,（14，12)，(20,11），(20，12)．
设“a >b "为事件D ， 则
3
1
124)(==
D P ． …………
…………13分
答：a >b 的概率为3
1．
18。

（本小题共14分）
证明：(Ⅰ）因为梯形ABCD ，且AD BC //，
又因为⊄BC 平面PAD ，⊂AD 平面PAD ,
所以//BC 平面PAD ． 因为平面 BCNM 平面PAD =MN ， 所
以
BC MN //．
………
……………4分
(Ⅱ)取AD 的中点Q ,连结CQ ．
因为AD BC //,AD BC 2
1=，
所以AQ BC //，且AQ BC =．
Q
A
D
P
M
因为AB BC =，且AB AD ⊥， 所以ABCQ 是正方形． 所以BQ AC ⊥。

又因为BCDQ 为平行四边形，所以且//CD BQ 所以⊥CD AC ． 又因为PA ⊥底面ABCD ，
所以PA ⊥CD ． 因为A AC PA = ，
所以⊥CD 平面PAC ， 因为PC ⊂平面PAC , 所
以
⊥CD PC ．
……………
………10分
（Ⅲ)过M 作//MK PA 交AD 于K ，连结BK ．
因为PA ⊥底面ABCD ， 所以MK ⊥底面ABCD ． 所以MK AC ⊥． 又因为BM AC ⊥,BM
MK M
=，
所以⊥AC 平面BM K ， 所以AC BK ⊥． 由(Ⅱ）知AC CD ⊥，
所以在平面ABCD 中可得BCDK 是平行四边形． 所以BC DK AK ==,
K
A
B
D
P M
C
因为K 是AD 中点，
所以M 为PD 中点． 所
以
1
2
PM PD =． ……………
………14分
19.（本小题共13分）
解：（Ⅰ）()(2)x
f x x x e '=+．
令()(2)0x
f x x x e
'=+=,则12x =-,20x =．
所以函数
()
f x 的单调递减区间为(2,0)-,单调递增区间为
(,2)-∞-,(0,)+∞．
……………………4分
（Ⅱ）证明：由(Ⅰ）知()f x 的单调递增区间为(,2)-∞-，单调递减区
间为(2,0)-，
所以当(,0]x ∈-∞时，()=
f x 最大值2
4
(2)f e -=．
因为当(,2]x ∈-∞-时，()0f x >，(0)0f =,
所以当(,0]x ∈-∞时,()=f x 最小值
(0)0f =．
所以()
f x 最大值
—()
=
f x 最小值2
4e ．
所以对1x ∀，2(,0]x
∈-∞，都有12()()f x f x -≤()f x 最大值-()=
f x 最小值2
4e ．
(10)
分
（Ⅲ）当0b <时，集合{()0}x f x b ∈-=R 的元素个数为0；
当0b =或2
4b e >时,集合{()0}x f x b ∈-=R 的元素个数为1;
当2
4b e =时，集合{()0}x f x b ∈-=R 的元素个数为2;
当
2
40b e <<
时,集合
{()0}
x f x b ∈-=R 的元素个数为
3． ……………………13分
20。

(本小题共14分）
解：(Ⅰ)因为椭圆C
的右焦点为F ,
则c =
因为上下两个顶点与F 恰好是正三角形的三个顶点,
所以1b =
，2a ．
所
以椭圆C 的标准方程为
2
214
x y +=． ……………………4分
（Ⅱ）依题意，当△FAB 为直角三角形时，显然直线l 斜率存在，
可设直线l 方程为y kx =，设1
1
(,)A x y ，2
2
(,)B x y ．
（ⅰ）当FA FB ⊥
时，1
1()FA x y =
，22()FB x y =．
22
44
y kx x y =⎧⎨+=⎩，消y 得22
(41)40k x +-=． 所以120x x +=，12
2441
x x
k =-
+．
212121212((1))3FA FB x x y y k x x x x ⋅=+=+++
22
4
(1)3041
k k -=+⋅
+=+． 解
得
k =． ………
……………9分
此时直线l
的方程为4
y x =±
． (ⅱ）当FA 与FB 不垂直时，根据椭圆的对称性,不妨设2
FAB π∠=． 也就是点A 既在椭圆上，又在以OF 为直径的圆上．
所以22
11222
1114
(x y x y ⎧+=⎪⎪⎨
⎪-+=⎪⎩
，解得13x
=
，13
y =±．
所以1
1
y
k x ==
此时直线l
的方程为2
y x =±
． 综上所述，直线
l
的方程
为
4
y x =±
或
2
y x =±
． ……………………14分
（若用其他方法解题,请酌情给分）。