反比例函数经典例题(含详细解答)

反比例函数难题
1、如图，已知△P1OA1，△P2A1A2，△P3A2A3…△P n A n-1A n都是等腰直角三角形，点P1、P
2、P3…P n都在函数
2、如图1，矩形ABCD的边BC在x轴的正半轴上，点E（m，1）是对角线BD的中点，点A、E在反比例函
数y=
（1）求AB的长；
（2）当矩形ABCD是正方形时，将反比例函数y=k
x
的图象沿y轴翻折，得到反比例函数y=1
k
x
的图象（如
图2），求k1的值；
（3）在条件（2）下，直线y=-x上有一长为2动线段MN，作MH、NP都平行y轴交第一象限内的双曲线
y=k
x
于点H、P，问四边形MHPN能否为平行四边形（如图3）？若能，请求出点M的坐标；若不能，请说明
理由．
1.已知反比例函数y=
2k
x
和一次函数y=2x-1，其中一次函数的图象经过（a ，b ），（a+k ，b+k+2）两点．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）求反比例函数与一次函数两个交点A 、B 的坐标： （3）根据函数图象，求不等式
2k
x
＞2x-1的解集； （4）在（2）的条件下，x 轴上是否存在点P ，使△AOP 为等腰三角形？若存在，把符合条件的P 点坐标都求出来；若不存在，请说明理由．
1.如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)的图象与反比例函数y ＝
(m ≠0)的图象交于二、四象限内的A 、B 两点，与x 轴交于C 点，点B 的坐标为(6，n )，线段OA ＝5，E 为x 轴负半轴上一点，且s i n ∠AOE ＝4
5
．
(1)求该反比例函数和一次函数； (2)求△AOC 的面积．
(1)过A 点作AD⊥x 轴于点D ，∵sin ∠AOE ＝ 4
5，OA ＝5，
∴在Rt△ADO 中，∵sin∠AOE＝
AD AO ＝AD 5＝ 45
，
x
m
∴AD＝4，DO ＝OA2-DA2=3，又点A 在第二象限∴点A 的坐标为(－3，4)，
将A 的坐标为(－3，4)代入y ＝ m x ，得4=m -3∴m＝－12，∴该反比例函数的解析式为y ＝－12
x ，
∵点B 在反比例函数y ＝－
12x 的图象上，∴n＝－12
6
＝－2，点B 的坐标为(6，－2)， ∵一次函数y ＝kx ＋b(k≠0)的图象过A 、B 两点，∴⎩⎨⎧－3k ＋b=4，
6k ＋b ＝－2
，∴⎩⎨
⎧k ＝－23， b ＝2
∴ 该一次函数解析式为y ＝－2
3
x ＋2．
(2)在y ＝－23x ＋2中，令y ＝0，即－2
3
x ＋2=0，∴x=3，
∴点C 的坐标是（3，0），∴OC ＝3， 又DA=4， ∴S△AOC＝12×OC×AD＝1
2
×3×4＝6，所以△AOC 的面积为6．
练习1.已知Rt△ABC 的斜边AB 在平面直角坐标系的x 轴上，点C （1，3）在反比例函数y = k x
的图象上，且sin∠BAC = 3
5
．
（1）求k 的值和边AC 的长； （2）求点B 的坐标．
（1）把C （1，3）代入y = k
x
得k =3
设斜边AB 上的高为CD ，则sin∠BAC =CD AC =3
5
∵C （1，3） ∴CD=3，∴AC=5
（2）分两种情况，当点B 在点A 右侧时，如图1有：AD=52
－32
=4，AO=4－1=3 ∵△ACD ∽ABC ∴AC 2
=AD ·AB ∴AB=AC 2
AD =254
∴OB=AB －AO=254－3=13
4 图1
此时B 点坐标为（13
4
，0）
图2 当点B 在点A 左侧时，如图2 此时AO=4＋1=5 OB= AB －AO=254－5=54
此时B 点坐标为（－5
4
，0）
所以点B 的坐标为（134，0）或（－5
4，0）．
1.如图，矩形ABOD 的顶点A 是函数与函数在第二象限的交点，轴于B ，
轴于D ，且矩形ABOD 的面积为3．
（1）求两函数的解析式．
（2）求两函数的交点A 、C 的坐标． （3）若点P 是y 轴上一动点，且，
求点P 的坐标．
解：（1）由图象知k<0，由结论及已知条件得
-k=3 ∴
∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为
（2）由，解得，
∴点A 、C 的坐标分别为（
，3），（3，
）
（3）设点P 的坐标为（0，m ） 直线
与y 轴的交点坐标为M （0，2）
∵
O x
y
B A C
D
∴∣PM∣＝，即∣m－2∣＝，∴或，
∴点P的坐标为（0，）或（0，）
1.如图，已知，是一次函数的图像和反比例函数的图像的两个交点．（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线与轴的交点的坐标及三角形的面积．
解：（1）在上．
反比例函数的解析式为：．
点在上
经过，，
解之得一次函数的解析式为：
（2）是直线与轴的交点当时，点
1.(1)探究新知
如图1，已知△ABC与△ABD的面积相等，
试判断AB与CD的位置关系，并说明理由．
（2）结论应用：
①如图2，点M，N在反比例函数（k＞0）的图象上，
过点M作ME⊥y轴，过点N作NF⊥x轴，垂足分别为E，F．
试证明：MN∥EF．
②若①中的其他条件不变，只改变点M，N的位置如图3所示，请判断MN
与EF是否平行。

解：（1）证明：分别过点C，D，作CG⊥AB，DH⊥AB，
垂足为G，H，则∠CGA＝∠DHB＝90°．
∴CG∥DH．
∵△ABC与△ABD的面积相等，
∴CG＝DH．
∴四边形CGHD为平行四边形
∴AB∥CD
（2）①证明：连结MF，NE．
利用同底等高的三角形面积相等，可知
∴S△EFM＝S△EF N
由（1）中的结论可知：MN∥EF．
②如图所示，MN∥EF．
已知：如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于点
（1）试确定上述正比例函数和反比例函数的表达式；
（2）根据图象回答，在第一象限内，当取何值时，反比例函数的值大于正比例函数的值？
（3）是反比例函数图象上的一动点，其中过点作直线轴，交轴于点；过点作直线轴交轴于点，交直线于点．当四边形的面积为6时，请判断线段与的大小关系，并说明理由．
（1）由点A（3，2）在两函数图象上，可求得
k=6,a=，正比例函数为,反比例函数为
(2)0<x<3
(3)设D点坐标为（3，t），则M点坐标为（
由四边形OADM的面积为6得 3+6+3=3t 解得t=4
故点M为（ D点为（3，4）
从而M点为BD中点，BM=DM。