函数的图像

(1)确定方程根的个数； (2)求参数的取值范围； (3)求不等式的解集.
结束
角度一 确定方程根的个数
角度二 求参数的取值范围
角度三 求不等式的解集
结束
角度一 确定方程根的个数
1．(2014· 日照一模)已知
|lg x|，x>0， f(x)＝ |x| 2 ，x≤0，
则函数 y＝2f (x)
第四节
1．利用描点法作函数图像
函数的图像
结束
其基本步骤是列表、描点、连线，具体为：
①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数 的性质(奇偶性、单调性、周期性)；④列表(尤其注意特 殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点)； ⑤描点，连线．
结束
2．利用图像变换法作函数的图像
(1)平移变换：
4.已知函数 f(x)的图像如图所示，则函数 g(x)＝ log 2 f(x)的定义域是________．
5．设函数 f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的 x∈R， 不等式 f(x)≥g(x)恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
结束
3．函数 f(x)＝2ln x 的图像与函数 g(x)＝x －4x＋5 的图像的交点个数为 A．3 B．2 C．1 D．0 ( )
结束
关于y轴对称 y＝f(x)――――――→y＝f(－x) ；
－ f(－ 关于原点对称 y＝f(x)――――――→y＝ ．
(4)翻折变换：
x)
去掉y轴左边图，保留y轴右边图 y＝f(x)――――――――――――――――→y＝f(|x|)； 将y轴右边的图像翻折到左边去
留下x轴上方图 y＝f(x)――――――――――――→y＝|f(x)|. 将x轴下方图翻折上去
设函
数fx＝(x2－2)⊗(x－1)，x∈R.若函数 y＝f(x)－c 的图像与 x 轴恰有两个公共点，则实数 c 的取值范围是 A．(－1,1]∪(2，＋∞) C．(－∞，－2)∪(1,2] ( )
B．(－2，－1]∪(1,2] D．[－2，－1]
a，a－b≤1， 解析：∵a⊗b＝ b，a－b>1，
因为f(x)为偶函数，y＝cos x也是偶函数， fx 所以y＝ 为偶函数， cos x
π π fx 所以 <0的解集为－ 2，－1∪1， 2 . cos x
π π 答案：－2，－1∪1，2
结束
[类题通法]
1．研究函数性质时一般要借助于函数图像，体现了数形结合思 想；
2
－3f(x)＋1 的零点个数是________．
解析：方程 2f (x)－3f(x)＋1＝0 的解为 1 f(x)＝ 或 1.作出 y＝f(x)的图像，由图像 2 知零点的个数为 5.
答案：5
2
结束
角度二 求参数的取值范围
2．对实数 a 和
a，a－b≤1， b，定义运算“⊗”：a⊗b＝ b，a－b>1.
2 x －2x－1，x≥0， (3)y＝ 2 x ＋2x－1，x<0.
图像如图 3.
[类题通法]
结束
画函数图像的一般方法
(1)直接法． (2)图像变换法．
结束
[典例] (1)函数 f(x)＝ln(x2＋1)的图像大致是
该函数奇偶性如何？单调性如何？
结束
结束
(2)已知定义在区间[0,2]上的函数 y＝f(x) 的图像如图所示，则 y＝－f(2－x)的图像为
结束
1．在解决函数图像的变换问题时，要遵循“只能对函数 关系式中的 x，y 变换”的原则，写出每一次的变换所得图像 对应的解析式，这样才能避免出错．
2．明确一个函数的图像关于 y 轴对称与两个函数的图像 关于 y 轴对称的不同，前者也是自身对称，且为偶函数，后者 也是两个不同函数的对称关系．
结束
2 x － 2 ，－ 1 ≤ x ≤ 2 ， 2 ∴函数 f(x)＝(x －2)⊗(x－1)＝ x－1，x<－1或x>2.
结束
结合图像可知，当 c∈(－2，－1]∪(1,2]时，函数 f(x)与 y＝c 的 图像有两个公共点，∴c 的取值范围是(－2，－1]∪(1,2]．
答案：B
角度三 求不等式的解集
y＝e 关于 y 轴对称，则 f(x)＝ A．e
x＋1
x
(
) D．e
－x－1
B．e
x－1
C．e
－x＋1
解析：与曲线y＝e 关于y轴对称的曲线为y＝e ，函数y＝e
x
x
－x
－
的图像向左平移一个单位长度即可得到函数f(x)的图像，即
－(x＋1)
f(x)＝e
＝e
－x－1
.
答案：D
结束
3．函数 f(x)＝2ln x 的图像与函数 g(x)＝x2－4x＋5 的图像的 交点个数为 A．3 B．2 C．1 D．0
2
解析：由已知g(x)＝(x－2)2＋1，所以 其顶点为(2,1)，又f(2)＝2ln 2∈(1,2)， 可知点(2,1)位于函数f(x)＝2ln x图像的 下方，故函数f(x)＝2ln x的图像与函数 g(x)＝x2－4x＋5的图像有2个交点．
答案：B
结束
4.已知函数 f(x)的图像如图所示，则函数 g(x)＝ log 2 f(x)的定义域是________．
结束
分别画出下列函数的图像：
F(x) (1)y＝|lg x|； F(x+a)
(2)y＝2
x ＋2
；
F( x )
(3)y＝x －2|x|－1.
F(x)
2
lg x，x≥1， 解：(1)y＝ －lg x，0<x<1.
结束
图像如图 1.
(2)将 y＝2x 的图像向左平移 2 个单位．图像如图 2.
fx 所示，那么不等式 <0 的解集为________． cos x
结束
3．函数 f(x)是定义在[－4,4]上的偶函数，其在[0,4]上的图像如图
π 解析：在0，2 上y＝cos π 在2 ，4上y＝cos
x>0，
结束
x<0.
π fx 由f(x)的图像知在 1，2 上 <0， cos x
若关于 x 的方程|x|＝a－x 只有一个解，则实数 a 的取值范围是．
结束
解析：由题意 a＝|x|＋x 令
2x，x≥0， y＝ |x|＋ x＝ 0，x＜0，
图像如图所
示，故要使 a＝|x|＋x 只有一解则 a>0.
若关于 x 的方程|2x|＝a－x 无解， 则实数 a 的取值范围是．
1 0≤x≤1， 2－x 1<x≤2，
故 y ＝ － f(2 － x) ＝
法二：当 x＝0 时，－f(2－x)＝－f(2)＝－1； 当 x＝1 时，－f(2－x)＝－f(1)＝－1.观察可知应选 B.
[答案] (1)A (2)B
结束
[类题通法]
识图常用的方法
(1)定性分析法：通过对问题进行定性的分析，从而得出图像 的上升(或下降)的趋势，利用这一特征分析解决问题；
结束
结束
1．数形结合思想
2．分类讨论思想
结束
1．数形结合思想
借助函数图像，可以研究函数的定义域、 值域、单调性、奇偶性、对称性等性质；利用 函数的图像，还可以判断方程 f(x)＝g(x)的解的 个数、求不等式的解集等．
结束
2．分类讨论思想
画函数图像时，如果解析式中含参数， 还要对参数进行讨论，分别画出其图像．
[针对训练]
x
结束
结束
3 ， x ≤ 1 ， 解析：作出f(x)＝log 1 x，x>1 的图像，如图． 3 再把f(x)的图像向左平移一个单位， 可得到y＝f(x＋1)的图像．故选 .
x
B
2.如图，函数f(x)的图像是曲线OAB，其中 点O，A，B的坐标分别为(0,0)，(1,2)，
(2)伸缩变换：
0 1 ，伸长为原来的 1 1
结束
y＝f(x)

倍
y＝f(ωx ) ；
．
1，缩短为原来的
y＝ A>1，伸为原来的A倍 y＝f(x)――――――――――――→ Af(x) 0<A<1，缩为原来的A倍

(3)对称变换：
关于x轴对称 y＝f(x)――――――→y＝ －f(x) ；
答案：[－1，＋∞)
(2)定量计算法：通过定量的计算来分析解决问题；
(3)函数模型法：由所提供的图像特征，联想相关函数模型，利 用这一函数模型来分析解决问题．
[针对训练]
1．
3 ， x ≤ 1 ， 函数 f(x)＝log 1 x，x>1， 3
x
结束
则 y＝f(x＋1)的图像大致是
3 ， x ≤ 1 ， 1．函数 f(x)＝log 1 x，x>1， 则 y＝f(x＋1)的图 3 像大致是
2
2
∴f(x)是偶函数，其图像关于 y 轴对称，故选 A. (2)法一：由 y＝f(x)的图像知
x0≤x≤1， f(x)＝ 11<x≤2.
当 x∈[0,2]时，2－x∈[0,2]，
结束
所 以 f(2 － x) ＝
－1 0≤x≤1， x－2 1<x≤2 .
x＋1 x
B．e
x－1
C．e
－x＋1．函数y＝x|x|的图像经描点确定后的形状大致是(
)
x2，x>0 解析：y＝x|x|＝ 0，x＝0 －x2，x<0 点对称．
为奇函数，奇函数图像关于原
答案：A
2．函数 f(x)的图像向右平移 1 个单位长度，所得图像与曲线
结束
结束
思路二： 特值法， 取x=0, x=1代 入验证.
思路一：根 据函数图象 求出函数解 析式，确定 函数图象.
[解析] (1)f(x)＝ln(x ＋1)，x∈R，当 x＝0 时，f(0)＝ln 1
结束
2
＝0，即 f(x)过点(0,0)，排除 B，D. ∵f(－x)＝ln[(－x) ＋1]＝ln(x ＋1)＝f(x)，
1 (3,1)，则f 的值等于________． f3
结束
1 1 解析：∵由图像知 f(3)＝1，∴ ＝1.∴f ＝f(1)＝2. f3 f3
答案：2
结束
函数图像是函数的一种表达形式， 它形象地揭示了函数的性 质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性 .归纳起来图 像的应用常见的命题角度有：
2．有些不等式问题常转化为两函数图像的上、下关系来解决；
3． 方程解的问题常转化为两熟悉的函数图像的交点个数问题来 解决．
结束
[课堂练通考点]
1．函数y＝x|x|的图像经描点确定后的形状大致是( )
2．函数 f(x)的图像向右平移 1 个单位长度， 所得图像与曲线 y＝e 关于 y 轴对称，则 f(x)＝ A．e
(2)伸缩变换：
(3)对称变换：
(4)翻折变换：
结束
2．利用图像变换法作函数的图像
(1)平移变换：
a>0，右移a个单位 y＝f(x)―――――――――→ a<0，左移|a|个单位
y＝f(x－； a)
b>0，上移b个单位 y＝f(x)＋b y＝f(x)―――――――――→ . b<0，下移|b|个单位
解析：当f(x)>0时，函数g(x)＝log
2
f(x)有意
义，由函数f(x)的图像知满足f(x)>0的x∈(2,8]．
答案：(2,8]
结束
5．设函数f(x)＝|x＋a|，g(x)＝x－1，对于任意的x∈R，不等式f (x)≥g(x)恒成立，则实数a的取值范围是________．
解析： 如图作出函数 f(x)＝|x＋a|与 g(x)＝x －1 的图像，观察图像可知：当且仅当－ a≤1，即 a≥－1 时，不等式 f(x)≥g(x)恒 成立，因此 a 的取值范围是[－1，＋∞)．
1．利用描点法作函数图像
2．利用图像变换法作函数的图像
函数 y＝log2(|x|＋1)的图像大致是
结束
解析：首先判断定义域为R.又f(－x)＝f(x)．所以函数y＝ log2(|x|＋1)为偶函数，当x>0时，y＝log2(x＋1)．故选B .
函数 y＝log2(|x-1|)-1 的图像大致是
结束