学案5：3.2.1 倍角公式

3.2.1倍角公式
学习目标
1.了解二倍角公式的推导过程．
2.理解两角和的正弦、余弦、正切公式与二倍角的正弦、余弦、正切公式的关系．
3．掌握公式的正用、逆用与变形的应用．
新知提炼
二倍角公式
自我尝试
1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)6α是3α的倍角，3α是3α2的倍角．( )
(2)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角．(
) (3)存在角α，使得sin 2α＝2sin α成立．( )
(4)对于任意角α，总有tan 2α＝2tan α
1－tan 2α.( )
2．已知sin α＝35，cos α＝45，则sin 2α等于( )
A ．75
B ．125
C ．1225
D ．2425
3．计算sin 2 π8－cos 2 π8的值是( )
A ．12
B ．－12
C ．2
2 D ．－2
2
4．已知tan α＝4
3，则tan 2α＝________．
题型探究
题型一 给角求值[学生用书P67]
例1 求下列各式的值；
(1)sin
π12cos π12；(2)1－2sin 2750°；(3)2tan 150°1－tan 2150°
.
求解策略
应用二倍角公式求值的策略
(1)求值关注四个方向：分别从“角”“函数名”“幂”“形”着手分析，消除差异．
(2)公式逆用：主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α
，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2 α
＝tan 2α. 跟踪训练 求下列各式的值．
(1)cos π5cos 2π5；(2)1sin 10°－3cos 10°
.
题型二 给值(式)求值[学生用书P67]
例2 已知sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，0＜x ＜π4，求cos 2x cos ⎝⎛⎭
⎫π4＋x 的值．
方法归纳
三角函数求值问题的一般思路
(1)一是对题设条件变形，将题设条件中的角、函数名向结论中的角、函数名靠拢；另一种是对结论变形，将结论中的角、函数名向题设条件中的角、函数名靠拢，以便将题设条件代入结论．
(2)注意几种公式的灵活应用，如：
①sin 2x ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝cos ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2cos 2⎝⎛⎭⎫π4－x －1＝1－2sin 2⎝⎛⎭⎫π4－x ；
②cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝sin ⎣⎡⎦⎤2⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭
⎫π4－x . 跟踪训练 1.已知x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，cos x ＝45
，则tan 2x ＝( ) A ．724 B ．－724
C ．247
D ．－247
2．已知cos α＝－34，sin β＝23
，α是第三象限角，β∈⎝⎛⎭⎫π2，π. (1)求sin 2α的值；
(2)求cos(2α＋β)的值．
题型三 倍角公式与三角函数性质的综合应用[学生用书P68]
例3 已知函数f (x )＝(1＋cot x )sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭
⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；
(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围．
方法归纳
有关三角函数性质的探索是高考的热点，一般的思想方法是借助和差角公式、倍角公式等将其化成以正弦型或余弦型函数为主体，在本题中要注意角范围的约束对值域的影响．
跟踪训练 已知函数f (x )＝1－2sin 2(x ＋π8)＋2sin(x ＋π8)cos(x ＋π8
)． 求：(1)函数f (x )的最小正周期；(2)函数f (x )的单调区间．
素养提升
1．公式正用
从题设条件出发，顺着问题的线索，正用三角公式，通过对信息的感知、加工、转换，运用已知条件和推算手段逐步达到目的.
2．公式逆用
意向转换，逆用公式，这种在原有基础上的变通是创新意识的体现，应用时要求对公式特点
有一个整体感知．主要形式有2sin αcos α＝sin 2α，sin αcos α＝12sin 2α，cos α＝sin 2α2sin α
，cos 2α－sin 2α＝cos 2α，2tan α1－tan 2α
＝tan 2α. 3．公式的变形应用
公式之间有着密切的联系，这要求我们思考时因势利导，融会贯通，有目的地活用公式．主要形式有1±sin 2α＝sin 2α＋cos 2α±2sin αcos α＝(sin α±cos α)2，1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α
＝2sin 2α，cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2
. 失误防范
公式的逆用、变形应用十分重要，特别是1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α，形式相似，容易出错，应用时要加强“目标意识”．
当堂检测
1．函数y ＝sin 2x cos 2x 的最小正周期是( )
A ．2π
B ．4π
C ．π4
D ．π2
2．cos 4π8－sin 4π8
等于( ) A ．0 B ．22 C ．1 D ．－22
3．若tan α＝12
，则tan 2α＝________． 4．若α为锐角，且sin 2α＝65
sin α，则cos 2α＝________， tan α＝________．
【参考答案】
自我尝试
1．(1)√ (2)× (3)√ (4)×
2．D
3．D
4．－247
题型探究
例1 解 (1)原式＝2sin π12cos π122＝sin π62＝14
. (2)原式＝cos(2×750°)＝cos 1 500°＝cos(4×360°＋60°)＝cos 60°＝12
. (3)原式＝tan(2×150°)＝tan 300°＝tan(360°－60°)＝－tan 60°＝－ 3.
跟踪训练 解 (1)原式＝2sin π5cos π5cos 2π52sin π5＝sin 2π5cos 2π52sin π5＝12sin 4π52sin π5
＝14. (2)原式＝cos 10°－3sin 10°sin 10°cos 10°＝2⎝⎛⎭⎫12cos 10°－32sin 10°sin 10°cos 10°
＝4（sin 30°cos 10°－cos 30°sin 10°）2sin 10°cos 10°＝4sin 20°sin 20°
＝4. 例2 解 因为x ∈(0，π4)，所以π4－x ∈(0，π4
)， 又因为sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，所以cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝1213
， 又cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π2－2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫π4－x cos ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝2×513×1213＝120169. cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎣⎡⎦⎤π2－⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝sin ⎝⎛⎭⎫π4－x ＝513，所以原式＝120169513
＝2413
. 跟踪训练 1. D
【解析】由cos x ＝45，x ∈⎝⎛⎭⎫－π2，0，得sin x ＝－35，所以tan x ＝－34
， 所以tan 2x ＝2tan x 1－tan 2x ＝2×⎝⎛⎭
⎫－341－⎝⎛⎭⎫－342＝－247，故选D.
2．解 (1)因为α是第三象限角，cos α＝－34
， 所以sin α＝－1－cos 2α＝－74
， 所以sin 2α＝2sin αcos α＝2×⎝
⎛⎭⎫－74×⎝⎛⎭⎫－34＝378. (2)因为β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，sin β＝23， 所以cos β＝－1－sin 2β＝－53
， cos 2α＝2cos 2α－1＝2×916－1＝18
， 所以cos(2α＋β)＝cos 2αcos β－sin 2αsin β
＝18×⎝⎛⎭⎫－53－378×23＝－5＋6724
. 例3 解 (1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x
＝1－cos 2x 2＋12
sin 2x ＋cos 2x ＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12
. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α＝45
， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α
＝－35. 所以f (α)＝12×⎝⎛⎭⎫45－35＋12＝35
. (2)由(1)，得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12
＝22
sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12. 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎡⎦
⎤5π12，5π4， 所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦
⎤－22，1， 从而f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，1＋22. 即f (x )的取值范围是⎣
⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 跟踪训练 解 (1)因为f (x )＝cos(2x ＋π4)＋sin(2x ＋π4
) ＝2sin(2x ＋π4＋π4)＝2sin(2x ＋π2
)＝2cos 2x ，
所以函数f (x )的最小正周期T ＝2π2
＝π. (2)由(1)得，当2k π－π≤2x ≤2k π(k ∈Z )，
即k π－π2
≤x ≤k π(k ∈Z )时， 函数f (x )＝2cos 2x 是增函数．
所以f (x )的单调递增区间是[k π－π2
，k π](k ∈Z )． 当2k π≤2x ≤2k π＋π(k ∈Z )，
即k π≤x ≤k π＋π2
(k ∈Z )时， 函数f (x )＝2cos 2x 是减函数．
所以f (x )的单调递减区间是[k π，k π＋π2
](k ∈Z )． 当堂检测
1．D
【解析】 y ＝sin 2x cos 2x ＝12
sin 4x ， 所以T ＝2π4＝π2
. 2．B
【解析】 cos 4π4－sin 4π8＝⎝⎛⎭⎫cos 2π8＋sin 2π8⎝⎛⎭⎫cos 2π8－sin 2π8＝cos π4＝22
. 3．43
【解析】tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×121－⎝⎛⎭⎫122＝43. 4．－725 43
【解析】由sin 2α＝65sin α可得，2sin αcos α＝65
sin α， 又因为α为锐角，所以cos α＝35，sin α＝45，则cos 2α＝2cos 2α－1＝－725，tan α＝sin αcos α＝43.。