高中试卷-1.2 空间向量基本定理-提高练(含答案)

1.2 空间向量基本定理-提高练
一、选择题
1.给出下列命题：
①已知a b ^r r ，则()()a b c c b a b c ×++×-=×r r r r r r r r ；
②,,,A B M N 为空间四点，若,,BA BM BN 不构成空间的一个基底，那么,,,A B M N 共面；
③已知a b ^r r ，则,a b r r 与任何向量都不构成空间的一个基底；
④若,a b r r 共线，则,a b r r 所在直线或者平行或者重合．
正确的结论的个数为（
）A ．1
B ．2
C ．3
D ．4【答案】C 【解析】对于①，若a b ^r r ，则0a b ×=r r ，故()()a b c c b a a b a c c b c a
×++×-=×+×+×-×r r r r r r r r r r r r r r 0c b b c =+×=×r r r r ，故①正确；对于②，若,,BA BM BN 不构成空间的一个基底，,,BA BM BN uuu r uuuu r uuu r 这3个向量
共线面，故,,,A B M N 共面，故②正确；对于③，当a b ^r r 时，若c r 与,a b r r 不共面，则{}
,,a b c r r r 可构成空间的一个基底，故③不正确；对于④，根据向量共线的定义可得其成立，故④正确.
2.若{}
,,a b c r r r 为空间的一组基底，则下列各项中能构成基底的一组向量是（ ）A ．{},,a a b a b +-r r r r r B ．{}
,,b a b a b +-r r r r r C ．{}
,,c a b a b +-r r r r r D ．{},,2a b a b a b +-+r r r r r r 【答案】C 【解析】A ：因为()()2a b a b a r r r r r ++-=，所以向量,,a a b a b r r r r r
+-是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；B ：因为()(1)()2a b a b b r r r r r ++--=，所以向量,,b a b a b r r r r r +-是共面向量，因此这三个向量不能构成基底；C ：因为{}
,,a b c r r r 为空间的一组基底，所以这三个向量不共面.若,,c a b a b r r r r r +-不构成一组基底，则有()()()()c x a b y a b c x y a x y b r r r r r r r r =++-Þ=++-，所以向量,,a b c
r r r 是共面向量，这与这三个向量不共面矛盾，故假设不正确，因此,,c a b a b r r r r r +-能构成一组基底，D ：因为
312()()22
a b a b a b r r r r r r +=+++，所以向量,,2a b a b a b r r r r r r +-+是共面向量，因此
,,2a b a b a b r r r r r r +-+不能构成一组基底.故选：C
3.已知空间四边形OABC ，其对角线为OB ，AC ，M ，N 分别是边OA ，CB 的中点，点G 在线段MN 上，且使2MG GN =，用向量OA uuu v ，OB uuu v ，OC uuu v 表示向量OG uuu v
是（ ）A ．2233
OG OA OB OC =++uuu v uuu v uuu v uuu v B ．122233OG OA OB OC uuu v uuu v uuu v uuu v =++C ．111633
OG OA OB OC =++uuu v uuu v uuu v uuu v D ．112633
OG OA OB OC =++uuu v uuu v uuu v uuu v 【答案】C 【解析】
2OG OM MG OM MN 3=+=+uuu r uuuu r uu Q uu r uuuu r uuuu r ,()()
2121111OM MO OC CN OM OC OB OC OA OB OC 3333633uuuu r uuuu r uuu r uuu r uuuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r =+++=++-=++111OG OA OB OC 633uuu r uuu r uuu r uuu r \=++ ,故选：C ．4.在四面体O-ABC 中,G 1是△ABC 的重心,G 是OG 1上的一点,且OG=3GG 1,若OG =x OA +y OB +z OC ,则(x ,y ,z )为
( )
14341323
【答案】A
【解析】如图所示,连接AG 1交BC 于点E ,则E 为BC 中点,AE =12(AB +AC )=12(OB -2OA +OC ),AG 1=23AE =13(OB -2OA +OC ).因为OG =3GG 1=3(OG 1―OG ),所以OG=3
4OG 1.
则OG =34OG 1=34(OA +AG 1)+13OB ―23OA =14OA +14OB +14OC .
5.下列关于空间向量的命题中，正确的有（ ）
A.若向量a r ，b r 与空间任意向量都不能构成基底，则//a b r r
；B.若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ^r r ，b c ^r r ，则有//a c r r ；
C.若OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r 是空间的一组基底，且111333
OD OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则A ，B ，C ，D 四点共面；D.若向量a b +r r ，b c +r r ，c a +r r ，是空间一组基底，则a r ，b r ，c r 也是空间的一组基底.
【答案】ACD
【解析】对于A ：若向量a r ，b r 与空间任意向量都不能构成基底，只能两个向量为共线向量，即//a b r r
，故A 正确；对于B ：若非零向量a r ，b r ，c r 满足a b ^r r ，b c ^r r ，则a r 与c r 不一定共线，故B 错误；
对于C ：若OA uuu r ，OB uuu r ，OC uuu r 是空间的一组基底，且111333OD OA OB OC =++uuu r uuu r uuu r uuu r ，则()()1133OD OA OB OA OC OA -=-+-uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r uuu r ，即1133
AD AB AC =+uuu r uuu r uuu r ，可得到A ，B ，C ，D 四点共面，故C 正确；对于D ：若向量a b +r r ，b c +r r ，c a +r r ，是空间一组基底，则空间任意一个向量d u r ，存在唯一实数
组(),,x y z ，使()()()
()()()d x a b y b c z x z a x c y b y a z c +=++++=+++++u r r r r r r r r r r ，则a r ，b r ，c r 也是空间的一组基底，故D 正确.
6．（多选题）若{a ,b ,c }是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间一个基底的是( )
A.{a ,2b ,3c }
B.{a +b ,b +c ,c +a }
C.{a +2b ,2b +3c ,3a -9c }
D.{a +b +c ,b ,c }【答案】ABD
【解析】由于a ,b ,c 不共面,易判断A,B,D 中三个向量也不共面,可以作为一组基向量.对于C,有3(2b +3c )+(3a -9c )=3(a +2b ),故这三个向量是共面的,不能构成基底.
二、填空题
7．（2020山东泰安实验中学高二月考）在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，若记®®=AB a ，AD b ®®=，AC c ®®=，则AG ®
=______.
【答案】111244
a b c ®®®
++【解析】在四面体ABCD 中，E 、G 分别是CD 、BE 的中点，
则AG AB BG ®®®
=+12AB BE ®®=+11()22AB BC BD ®®®=+´+1()4AB AC AB AD AB ®®®®®=+-+-111442AB AC AD AB ®
®®®=++-111244AB AD AC ®®®=++.8.（2020上海复旦附中青浦分校高二月考）在斜三棱柱111A B C ABC -中，BC 的中点为M ，11A B a =uuuu r r ，
11A C b =uuuu r r ，1A A c =uuu r r ，则1B M uuuur 可用a r 、b r 、c r 表示为______.【答案】1()2c b a +-r r r 【解析】在1B BM D 中，11B M B B BM =+uuuur uuur uuuu r ,又BC 的中点为M ,12BM BC =uuuu r uuu r 111A B C ABC -Q 是斜三棱柱，11B C BC =uuuu r uuu r ，11B B A A
=uuur uuur 111112B M A A B C uuuur uuur uuuu r =+, 在111A B C D 中111111B C AC A B uuuu r uuuu r uuuu r =-11111111()()22
B M A A A
C A B c b a uuuur uuur uuuu r uuuu r r r r \=+-=+-9.已知直三棱柱ABC-A 1B 1C 1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC 1=1,则异面直线AB 1与BC 1所成角的余弦值为 .
【解析】如图所示.
设BA =a ,BC =b ,BB 1=c ,则<a ,b >=120°,c ⊥a ,c ⊥b ,
因为AB 1=AB +BB 1=-a +c , BC 1=BC +CC 1=b +c ,
cos <AB 1,BC 1>=11
|AB 1|·|BC 1|=10. （2020山东省高二期末）如图所示的平行六面体1111ABCD A B C D -中，已知1,AB AA AD ==1BAD DAA Ð=Ð60,°=1BAA Ð30°=，N 为11A D 上一点，且111A N A D l =.若BD AN ^，则l 的值为________；若M 为棱1DD 的中点，//BM 平面1AB N ，则l 的值为________.
1,
23 【解析】 (1)取空间中一组基底：1,,AB a AD b AA c ===uuu r r uuu r r uuur r ，因为BD AN ^，所以0BD AN ×=uuu r uuu r ，
因为11,BD AD AB b a AN AA A N c b l =-=-=+=+uuu r uuu r uuu r r r uuu r uuur uuuu r r r ，
所以()()
0b a c b l -×+=r r r r ，所以1022l l +-=，所以1l =-；(2)在AD 上取一点1M 使得11A N AM =，连接111,,M N M M M B ，因为11//A N AM 且11A N AM =，所以1111//,NB M B NB M B =，
又因为1M B Ì/平面1AB N ，1NB Ì平面1AB N ，所以1//M B 平面1AB N ，又因为//BM 平面1AB N ，且1BM M B B =I ，
所以平面1//M MB 平面1AB N ，所以1//MM 平面1AB N ，
又因为平面11AA D D Ç平面1AB N AN =，且1MM Ì平面11AA D D ，所以1//M M AN ，所以11AA N MDM V V ∽，
所以()111111121A N AA A D DM MD A D l l ===-，所以23
l =.
三、解答题
11.如图所示,在平行六面体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,MA =-13AC ,ND =13A 1D ,设AB =a ,AD =b ,AA 1=c ,试用a ,b ,c 表示MN .
【答案】见解析
【解析】连接AN ,则MN =MA +AN .
由已知可得四边形ABCD 是平行四边形,从而可得AC =AB +AD =a +b ,
MA =-13AC =-1
3(a +b ),又A 1D =AD ―AA 1=b -c ,故AN =AD +DN =AD ―ND =AD ―13A 1D =b -1
3(b -c ),所以MN =MA +AN =-13(a +b )+b -1
3(b -c )=1
3(-a +b +c ).
12.在正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中,已知E ,F ,G ,H 分别是CC 1,BC ,CD 和A 1C 1的中点.证明:(1)AB 1∥GE ,AB 1⊥EH ;
(2)A 1G ⊥平面EFD.
【答案】见解析
【解析】 (1)设正方体棱长为1,AB =i ,AD =j ,AA 1=k ,
则{i ,j ,k }构成空间的一个单位正交基底.AB 1=AB +BB 1=i +k ,
GE =GC +CE =12i +12k =1
2
AB 1,∴AB 1∥GE.
EH =EC 1+C 1H =12k +-i +j )=-12i -12j +12k ,∵AB 1·EH =(i +k )·-12i -12j +12k =-12|i |2+1
2|k |2=0,∴AB 1⊥EH.(2)A 1G =A 1A +AD +DG =-k +j +12i ,DF =DC +CF =i -12j ,DE =DC +CE =i +12k .∴A 1G ·DF =-k +j +12i ·i -12j =-12|j |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DF.A 1G ·DE =-k +j +12i ·i +12k =-12|k |2+12|i |2=0,∴A 1G ⊥DE.
又DE ∩DF=O ,∴A 1G ⊥平面EFD.。