正交小波基的构造和性质
正交小波基与多分辨分析
THANKS
正交小波基由尺度函数和小波函数生 成，通过平移和伸缩可以得到不同尺 度的小波基。
正交小波基的性质
正交性
正交小波基具有正交性，即不同 尺度、不同位置的小波基在内积 运算下为零，这使得小波分析具 有良好的稳定性和精度。
紧支集性
正交小波基具有紧支集性，即小 波基只在有限的区间内有非零值 ，这使得小波变换具有快速算法 。
正交小波基的应用
01
02
03
信号处理
正交小波基可以用于信号 的分解和重构，实现信号 的时频分析和滤波。
图像处理
正交小波基可以用于图像 的压缩、去噪和增强，提 高图像处理的效果和效率。
其他领域
正交小波基还可以应用于 数值分析、流体动力学等 领域，为相关问题提供有 效的数值计算方法。
02 多分辨分析
多分辨分析的定义
定义
多分辨分析是一种对函数空间进行分 解的方法，通过在不同尺度上逐步逼 近原始函数，实现对复杂信号的精细 描述。
尺度空间
逼近性质
在多分辨分析中，函数在不同尺度上 的逼近性质决定了其分解的精度和稳 定性。
多分辨分析将函数空间分解为一系列 嵌套的子空间，每个子空间对应不同 的尺度。
多分辨分析的性质
逼近和表示能力
正交小波基能够提供对信号的逼近和 表示，使得在多分辨分析中能够更好 地理解和处理信号。
多分辨分析与正交小波基的相互影响
多分辨分析对正交小波基的影响
多分辨分析的需求推动了正交小波基的发展，促进了其理论和应用研究的深入。
正交小波基对多分辨分析的影响
正交小波基的特性和性质决定了多分辨分析的特性和性质，为多分辨分析提供 了丰富的工具和手段。
正交小波基与多分辨分析的结合应用
小波分析：正交小波基构造
西南交通大学电气工程学院
原始信号
一维信号的二级小波变换系数 3 7 8 5 6 5 9 8 1 3 3 9] s =[ 6 5 9 8
16位
2级小波系数
w2=[wa2 , wd2 , wd1 ]
16位
d 28 23 28 16 ] 2 A2 ,k = [ 2级近似系数 d D 2,k = [ − 6 − 3 − 6 − 8 ] 2 Dd = [+1 +1 − 4 + 3 +1 +1 − 2 − 6] 2 2级细节系数 1,k 1级细节系数 * Haar是正交变换。 正交变换。除以常数， 除以常数，目的使变换后平方和不变。 目的使变换后平方和不变。例如： 例如：
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8 a 4
8 a 4
kA
0 t f= 1 5 -4 0 10 20 30 40
kA
c
b
(a )
c 0
b
(a )
t f= 1 5 -4 0 1 0 2 0 3 0 4 0
t/m s
0.06
0.05
t/m s
kA
0.00 -0.06 0.6
kA
(b)
0.00 -0.05 0.4
k
∫
注意：这几个条件对小波的构造至关重要！
西南交通大学电气工程学院
ϕ ( x ）＝
( x ）＝
1 0
and
∫ψ
5.2尺度函数和小波函数的一些性质
1 二尺度差分方程
举例：
ϕ (t ) ϕ (t − 1)
1 1 ϕ (t / 2) = ϕ (t ) + ϕ (t − 1) = 2 [ ϕ (t ) + ϕ (t − 1)] 2 2
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波是一种特殊的小波函数，其具有正交性质，能够用于信号的多分辨分析。
多分辨分析是一种信号处理方法，可以将信号进行不同尺度的分解和重构，从而获取信号的更多细节信息。
正交小波的多分辨分析研究，主要包括正交小波的构造和性质、多尺度分解与重构方法、正交小波的应用等方面。
正交小波的构造是正交小波多分辨分析研究的重要内容。
正交小波是通过特定的算法和公式来构造的，常见的正交小波有Haar小波、Daubechies小波、Coiflet小波等。
这些正交小波具有不同的性质和应用场景，可以根据具体需求选择合适的正交小波进行多分辨分析。
多尺度分解与重构方法是正交小波多分辨分析的核心内容。
多尺度分解是将信号分解成不同尺度的子信号，通过正交小波的低通滤波器和高通滤波器对信号进行滤波，得到低频子信号和高频子信号。
多尺度重构则是将这些子信号进行逆变换，得到重构的信号。
多尺度分解与重构方法可以通过迭代的方式，实现对信号的多层分解和重构，从而获得不同尺度的信号细节。
正交小波的应用广泛，包括信号压缩、图像处理、音频处理等领域。
正交小波多分辨分析可以提取信号的局部特征，减小信号的冗余，从而实现信号的压缩和存储。
在图像处理中，正交小波可以提取图像的边缘、纹理等特征，实现图像的去噪、增强等操作。
在音频处理中，正交小波可以提取音频的频谱特征，实现音乐合成、音频识别等应用。
正交小波的多分辨分析是一种强大的信号处理方法，具有广泛的应用前景。
随着研究的深入和发展，正交小波的构造和性质、多尺度分解与重构方法、正交小波的应用等方面将会得到更好的理论支持和实际应用。
正交小波基的构造和性质2剖析
研究生课程考试答题纸研究生学院第一题 正交小波基的构造和性质一、 由尺度函数构造正交小波基1．由正交尺度函数{}Z k k t ∈-)(φ构造正交小波基，构造步骤如下： （1）选择)(t φ或)(ωΦ使{}Z k k t ∈-)(φ为一组正交基。
（2）求)(n h ：>-=<)(),()(k t t n h φφ (1-1)或)()2()(ωωωΦΦ=H (1-2)（3）由)(n h 求)(n g ：1)1()(+-⋅-=n n h n g (1-3)或)(πωωω=-e G j (1-4)（4）由)(n g ，)(t φ构造正交小波基函数)(t ψ：∑-=nn n t g t )()(,1φψ (1-5)或)2()2()(ωωωΦ⋅=ψG (1-6)例1 ．Haar 小波的构造 选择尺度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤=其他,010,1)(t t φ显然{}Z k k t ∈-)(φ为一正交归一基，则⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎰其他,01,0,21)2()(2n n t x dt h n φφ 由式（1-3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⋅-=+-其他,01,210,21)1()(1n n h n g n n可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-<≤==-=--其他,0121,1210,1)(21)(21)(1,10,1t t t t t φφψ 例2．由尺度函数为Riesz 基时构造正交小波基函数要找到一个多分辨率分析的尺度函数)(t φ，使它的整数平移构成一个正交系列，有时候不太方便。
但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个Riesz 基{}Z k k t ∈-)(φ来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。
首先给出Riesz 基的定义：设函数{}Z k k t ∈-)(φ张成的空间为0V 的Riesz 基的充分必要条件为存在两常数∞<>B A ,0，使得对于所有)()(2Z L C Z k k ∈∈都有222)(∑∑∑≤-≤kk kk kk C B k t C C A φ (1-7)可以证明式（1-7）等价于∞<≤+Φ≤<--∑B l A l121)2()2()2(0ππωπ因此我们可以定义一个)()(2#R L t ∈φ，使得)(])2([)(212#ωπωωΦ⋅+Φ=Φ-∑ll显然，)(#ωΦ满足1)2(2#=+Φ∑ll πω即)(#k t -φ是正交基。
正交小波的多分辨分析的研究
正交小波的多分辨分析的研究一、正交小波的基础概念正交小波是一类具有正交性质的小波函数，它可以用来对信号进行分解和重构。
正交小波具有一些重要的性质，比如尺度不变性和平移不变性，这使得它在信号处理中具有广泛的应用价值。
二、正交小波的多分辨分析在多分辨分析中，我们希望能够通过分解信号，得到不同尺度的频率成分，从而更好地理解信号的频率特性。
正交小波可以帮助我们实现这一目标，通过将信号分解成不同频率的成分，从而得到信号的多尺度表示。
正交小波的多分辨分析方法可以分为两种：连续多尺度分析和离散多尺度分析。
在连续多尺度分析中，我们使用正交小波将信号进行连续分解，从而得到信号的各种尺度的频率成分。
而在离散多尺度分析中，我们使用正交小波将信号进行离散分解，通常采用小波变换来实现。
正交小波的多分辨分析理论包括小波变换、尺度函数和小波基函数等重要内容。
小波变换是正交小波多分辨分析的核心，它可以将信号分解成不同尺度的频率成分。
尺度函数是用来描述不同尺度下的小波基函数的性质，它可以帮助我们理解不同尺度下的信号特征。
而小波基函数则是正交小波分解和重构的基础，它可以帮助我们实现信号的多尺度表示。
正交小波的多分辨分析在信号处理、图像处理、数据压缩等领域都有重要的应用。
在信号处理中，正交小波可以用来分析和处理非平稳信号，从而得到信号的时频特性。
在图像处理中，正交小波可以用来进行图像的多尺度分析和特征提取，从而实现图像的压缩和识别。
在数据压缩中，正交小波可以用来对数据进行分解和压缩，从而实现数据的有效存储和传输。
结论：正交小波的多分辨分析是一种重要的信号处理方法，它可以帮助我们实现信号的多尺度表示和分析。
通过对正交小波的多分辨分析的研究，我们可以更好地理解信号的频率特性和时域特性，从而实现对信号的更好处理和分析。
希望通过本文的介绍，可以对正交小波的多分辨分析有一个更全面的了解，从而推动该领域的进一步发展和应用。
小波基的选择依据
小波基的选择依据【转】小波基的选择依据影响图像压缩效果的因素主要有：（1）小波基的数学特征，主要包括小波基的紧支性、对称性、正交性、正则性、消失矩等。
（2）图像本身的特点。
小波基的数学特性（1）紧支性如果尺度函数和小波函数是紧支撑的，则对应的H,G滤波器是有限冲击响应（FIR）滤波器，信号在分解和重构快速算法中的运算量是有限的。
该特征也决定了小波的时-频局部化特征，紧支宽度越窄，小波的局部化特性越好，紧支撑小波避免了滤波过程中的截断误差，因此应用精度很好。
但是一个函数不可能在时域和频域都是紧支的，最多有一个是紧支的，另一个是急衰的，一般希望小波基能够在时域上具有紧支性。
（2）对称性对称滤波器组在图像重建中更为有利，这有两点原因：1.人类视觉系统对边缘附近的对称的量化误差较非对称的误差更为不敏感；2.紧支撑小波的线性相位特性与小波的对称性是等价的。
对图像进行小波变换时，需要对图像的边界数据进行周期延拓，对于线性相位的小波基，通过周期延拓，重建信号在边界处不会产生较大失真，而对于非线性相位的小波基，边界数据失真则比较明显，会导致巨大的感官误差。
（3）正交性和双正交性正交小波对应一个正交镜像滤波器组，即低通滤波器和高通滤波器正交。
Daubechies已证明，除Harr小波外，一切具有紧支集的规范正交小波基及与之相关的尺度函数都不可能以实轴上的任何点为对称轴或反对称轴。
也就是说，除Harr小波基外，其他的小波函数无法同时满足紧支性、正交性和对称性。
但是Harr小波基的局部化性能很差，很少用于实际应用。
为了获得线性相位（对称性），需要放松对正交性的限制，分解和合成过程使用不同的滤波器，从而获得更大的设计自由度，克服上述缺点。
与单正交小波不同，双正交小波基有两个尺度函数和两个小波函数构成。
双正交小波降低了对正交性的要求，保留了正交小波的一部分正交性，使小波获得了线性相位和较短支集的特性。
（4）正则性正则性是对函数光滑程度的一种描述，也是函数频域能量集中度的一种度量。
尺度函数与正交小波基的构造
尺度函数与正交小波基的构造作者：朱梅樊中奎来源：《电脑知识与技术》2015年第29期摘要：该文首先介绍了小波变换的起源和应用领域，首先介绍了尺度函数、小波函数、尺度空间、小波空间，并在之基础上对正交小波基进行实验分析，给出了二维正交小波基的构造方法，并应用Haar小波进行图像进行分析和压缩，实验结果表明压缩效果较好。
关键词：小波变换；信号分析；图像压缩中图分类号：TP3 文献标识码：A 文章编号：1009-3044（2015）29-0209-031 概述小波是上世纪80年代中期出现的一门现代技术，由法国工程师J.Morlet在1974年首先提出的，该技术的发展经历了：短时窗口傅立叶变换、Gabor变换、时频分析、小波变换等阶段的发展[1]。
1986年著名数学家Y.Meyer构造出第一个光滑的小波基对小波， 1988年S.Mall建立了构造小波基的方法，并提出多分辨率分析的概念[2]。
在此之后小波分析得到了快速的发展，比利时数学家 I. Doubechies 发表的《小波十讲》对小波分析的理论及应用的普及起了重要推动作用[3]。
目前小波分析在数学领域可以快速数值构造、阈值分析；在信号分析领域能够进行信号滤波、去噪等；在影像领域能够进行压缩、识别、分类等；在医学领域中可以提高CT、B超的效率缩短时间；并在机械故障诊断、地震勘探等方面都取得了重要的研究成果，有力的推动科学技术的发展[3]。
2 尺度函数与小波函数2.1 尺度函数与尺度空间定义函数[φ（t）∈L2（R）]为尺度函数（scale function）[4]，若其整数平移系列[φk（t）=φ（t-k）]满足αjm，n，βjm，n，γjm，n]与小波空间[W1j，W2j，W3j]相对应[sjm，n]为尺度空间[Vj]的尺度展开系数。
2）长方块形式的二维正交小波基与二维正交小波变换正交基的尺度在两个方向上是不同的，形象称为的长方形正交小波基。
[f（x，y）]在长方块二维正交小波基下的展开公式为[f（x，y）=j=1∞m=1∞k，ndj，mk，nψj，k（x）∙ψm，n（y）] （3.1）其中[dj，mk，n=f（x，y）ψj，k（x）ψm，n（y）dxdy] （3.2）称之为长方块形式下的二维正交小波变换系数，[j，m]是两个方向上的尺度，位移[k，n]是两个尺度下的。
多贝西小波定义
多贝西小波定义
多贝西小波（Daubechies wavelets）是由比利时数学家Ingrid Daubechies 在1988年提出的一种正交小波基。
它是一种用于信号处理和数据压缩的数学工具，能够将信号在时频域上进行有效的分析和表示。
多贝西小波是一类紧支撑正交小波基，它具有非常好的时域局部化以及频域局部化特性。
多贝西小波的基函数是通过特定的滤波器系数来构造的，这些滤波器系数可以控制小波基函数在时域和频域的特性。
多贝西小波具有一系列重要的性质，如紧支撑性、正交性、可逆性和多分辨率性等。
这些性质使得多贝西小波在信号处理领域中得到了广泛应用，包括图像压缩、图像去噪、图像增强、数据压缩、信号分析等。
多贝西小波的定义是通过一组滤波器系数来实现的，这些滤波器系数决定了多贝西小波的基函数的形状和特性。
根据滤波器系数的不同选择，可以得到不同类型的多贝西小波，如db1、db2、db3等。
每一种多贝西小波都具有特定的频域和时域特性，可以根据具体应用的需求选择合适的多贝西小波。
总而言之，多贝西小波是一种用于信号处理的数学工具，具有良好的时频局部化特性，被广泛应用于图像压缩、信号分析、数据压缩等领域。
小波基构造与常用小波
小波基的特点
01
02
03
多尺度分析
小波基具有多尺度分析的 特性，能够同时分析信号 在不同尺度和频率下的特 征。
灵活性
小波基具有多种不同的形 状和大小，可以根据实际 需求选择适合的小波基进 行信号处理。
高效性
小波基的变换算法具有高 效性，能够快速地完成信 号的分解和重构。
小波基的应用领域
信号处理
小波基在信号处理领域应用广泛，如信号去噪、 特征提取、压缩编码等。
信号检测
信号检测
小波变换具有良好的时频局部化特性，能够检测信号中的突变和异常。通过选择 合适的小波基和阈值，可以将信号中的突变和异常成分提取出来。
检测算法
常用的检测算法包括小波变换模极大值检测和基于小波变换的统计检测。小波变 换模极大值检测是根据小波变换的模极大值点进行突变检测，基于小波变换的统 计检测是根据小波变换系数的统计性质进行异常检测。
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应用
Daubechies小波基在信号处理、图像处理、数值分析等领域有 广泛的应用。
Symlets小波基
1 2
定义
Symlets小波基是一类对称的小波基，其定义基 于Daubechies小波基的改进。
特性
Symlets小波基具有对称性、紧支撑性和近似正 交性等特性，能够提供更好的信号表示能力。
3
应用
05
小波基在图像处理中的应用
图像压缩
01
图像压缩
小波变换可以将图像分解为不同频率的子带，通过去除高频部分的数据，
达到压缩图像的目的。
02 03
压缩比
小波变换的压缩比通常比传统的JPEG压缩方法更高，因为JPEG压缩方 法只去除空间域中的冗余数据，而小波变换同时去除空间域和频率域中 的冗余数据。
小波变换特性分析与选择合适的小波基函数
小波变换特性分析与选择合适的小波基函数引言小波变换是一种非常重要的信号处理方法，它具有时频局部化的特性，能够在时域和频域上对信号进行分析。
在小波变换中，选择合适的小波基函数是非常关键的，不同的小波基函数对信号的分析效果有着很大的影响。
本文将对小波变换的特性进行分析，并探讨如何选择合适的小波基函数。
一、小波变换的特性分析1.1 时频局部化特性小波变换具有时频局部化的特性，即能够在时域和频域上对信号进行局部分析。
这使得小波变换在处理非平稳信号时具有很大的优势，能够更好地捕捉信号的瞬态特征。
1.2 多分辨率分析小波变换采用了多分辨率分析的思想，即通过不同尺度的小波基函数对信号进行分解。
这使得小波变换能够同时提供信号的低频和高频信息，从而更全面地描述信号的特征。
1.3 压缩性小波变换具有压缩性，即能够用较少的小波系数来表示信号。
这使得小波变换在信号压缩和去噪方面有着广泛的应用。
二、选择合适的小波基函数2.1 正交小波基函数正交小波基函数是一类常用的小波基函数，其具有良好的正交性质，能够保持信号的能量不变。
常见的正交小波基函数有Haar小波、Daubechies小波和Symlet小波等。
选择正交小波基函数时，需要考虑信号的特性和分析的目的，不同的正交小波基函数适用于不同类型的信号。
2.2 非正交小波基函数非正交小波基函数是另一类常用的小波基函数，其具有更好的时频局部化性质，能够更精确地描述信号的瞬态特征。
常见的非正交小波基函数有Morlet小波、Gabor小波和Mexican Hat小波等。
选择非正交小波基函数时，需要考虑信号的瞬态特征和分析的要求，不同的非正交小波基函数适用于不同类型的信号。
2.3 选择合适的小波基函数的方法选择合适的小波基函数需要考虑以下几个方面：（1）信号的特性：不同类型的信号具有不同的特性，如平稳性、非平稳性、周期性等。
选择小波基函数时，需要根据信号的特性来确定适合的小波基函数。
（2）分析的目的：不同的分析目的需要选择不同的小波基函数。
正交小波基的构造
① 嵌套性质：
V j+1 ⊂ V j
∀j ∈ Z
……V−1 ⊃ V0 ⊃ V1……
② 细分性质： ③ 完备性质：
∞
∩ lim
j→∞
V
j
=
Vj
j = −∞
= {0}
∞
∪ j
lim V
→−∞
j
=
Closure( V j )
j = −∞
=
L2 (R)
④ 多尺度关系：
f (t) ∈V j
⇔
f
(
t 2
)
∈V
j +1
a.e（几乎处处）
两带正交尺度函数
定理 7.1 ：设两带正交函数满ϕ(x) 满足双尺度方程
ϕ(x) = 2∑ h(n)ϕ(2x − n)
(16)
那么尺度滤波器 h(n) 满足条件(正交性条件)
∑n h(n)h(n − 2k) = δ (k)
(17)
证明：由ϕ(x) 正交
ϕ(x),ϕ(x − k) = ∫Rϕ(x)ϕ(x − k)dx = ∫R 2∑n h(n)ϕ(2x − n) 2∑m h(m)ϕ(2(x − k) − m)dx = 2∑n ∑m h(n)h(m)∫Rϕ(2x − n)ϕ(2x − 2k − m)dx = ∑n ∑m h(n)h(m)∫Rϕ(t − n)ϕ(t − 2k − m)dt = ∑n ∑m h(n)h(m)δ (n − 2k − m)
=
2
⎛ ⎜
a1(1n)
n ⎜⎝ a2(n1)
a1(2n) a2(n2)
⎞ ⎟ ⎟⎠
⎛ θ1(2t ⎜⎝θ2 (2t
− −
n) n)
⎞ ⎟ ⎠
1正交小波基构造
(17)
ϕ ( x), ϕ ( x − k ) = ∫ ϕ ( x)ϕ ( x − k ) dx
∑ θˆ(ω + 2kπ ) = 0 或 ∑ θˆ(ω + 2kπ ) = ∞
这时，构造序列 a ( n) 满足
2
2
---8---
⎧1 ˆ (ω ) = ⎨ a ⎩0
则，
ω ∈Ω ω ∉Ω
f
2
=
1 2π
∫0
2π
ˆ (ω ) a
2
∑
∞ θˆ(ω n =−∞
+ 2kπ ) d ω = 0
2
这与 Rieze 基的定义相矛盾( f (t ) =
analysis, MRA）. 7.1 多分辨分析的基本概念 定义 7.1 ：多分辨分析(MRA) 一个 L2 ( R ) 上的子空间序列 V j，j ∈ Z 满足下列 5 条性质:
① 嵌套性质：
{
}
V j +1 ⊂ V j
…… V−1 ② 细分性质：
∀j ∈ Z
⊃ V0 ⊃ V1 ……
∞
j →∞
2
∞
2
若θ (t − n) 满足（15）式，则：
∑ n=−∞ a(n)
A f
2
∞
1 ≤ f B
2
2
≤ ∑ n =−∞ a (n)
2
∞
2
1 A
≤ ∑ a ( n) ≤ B f
,
故 {θ (t − n)}n∈Z 构成V0 的一组 Rieze 基. 若 {θ (t − n)}n∈Z 是 V0 的一组 Riese 基，若存在一个非零测度集 Ω 使得
V0 = span {θ (t − n), n ∈ Z}
haar小波基函数
haar小波基函数
Haar小波基函数是一组常用的正交小波基函数之一，常用于信号处理和图像压缩等领域。
Haar小波基函数是由两个基本函数组成的，分别是父函数和母函数。
父函数是一个常值函数，表示信号的平均值。
母函数是一个简单的方波函数，由两个取值分别为+1和-1的部分组成，表示信号的变化。
Haar小波基函数的特点是具有局部性，即在某个时间段内具有明显的变化，而在其他时间段内保持平稳。
这种局部性使得Haar小波基函数在分析信号的瞬时特征时非常有效。
Haar小波基函数可以通过迭代的方式构造出不同尺度和位置的小波基函数。
通过对信号进行多尺度分解，可以提取出信号的不同频率成分，并实现信号的压缩和去噪等操作。
除了在信号处理领域中应用广泛，Haar小波基函数还被应用于图像处理中的边缘检测、纹理分析、图像压缩等任务中。
其简单的结构和计算效率也使得Haar小波基函数成为许多小波变换算法的基
础。
总结起来，Haar小波基函数是一组常用的正交小波基函数，具有局部性和计算效率高的特点，在信号处理和图像处理领域有着广泛的应用。
第十二讲 小波基构造与常用小波
原始信号
非畸变信号
畸变信号
2 常用小波
Haar 小波 Mexican hat 小波 Morlet 小波 Meyer 小波
Daubechies 小波系
Coiflet 小波系 Biorthogonal 小波系
2.1 Haar小波
Haar 小波是一个最早应用也是最简单的具有紧支撑的正交小波 函数，其定义如下：
2N
2
2
2
)
则 | H ( ) |2 (sin ) 2 N P(cos 2 )
2 2
代入正交条件，可得到如下式子
(cos
2
) 2 N P(sin 2
2
) (sin
2
) 2 N P(cos 2
2
) 1
3.2 多项式P(x)的计算推导（二）
令 x sin 2
2
x r ( x)dx 0
r 0,1,, R 1
则称 ( x) 具有 R 阶消失矩。如果小波的消失矩阶数为 R，则其对应的 小波滤波器长度不少于 2R。在信号检测中，为了能够有效地检测到 奇异点，小波基必须具有足够高的消失矩的阶数，它与 Lipschitz 指 数密切相关。然而，突变信号的 Lipschitz 指数一般在 (0,1) 内，因此为 了分析突变信号，消失矩也不能太高，过高的消失矩阶数将使分析的 结果模糊，另外，从计算量的角度来看，消失矩的阶数也不宜过高。
0 x 1 / 2 1, ( x) 1, 1 / 2 x 1 0 其它
2.2 墨西哥帽小波
因为其形似墨西哥草帽而得名，定义如下：
正交变换-小波变换
k
二尺度差分方程给出了尺度函数、小波函数之间的关系，只要 正交归一的尺度函数集，就可以构造出正交小波基。
( t 1) 1
1
(
t
)dt
1
1 2
2 t 2 ( )dt
1, 0 t 1 2 ( t ) ( 2 t ) ( 2 t 1) 1, 1 2 t 1
jk
j
j
jk
H 0 ( 0 )
(4) 递推关系： ( )
( ) 1 2
H 1 ( 0 ) 0
1
2
j 1
2
H 0 (2
j
)
j
H1(
)
1 2
H 0 (2
)
j2
2 离散小波变 换(DWT)－正交小波基的构造
h 0 k 1 0 ( t ), 0 k ( t )
t
(a )
(b )
图3-15 小波的平移操作 (a) 小波函数ψ(t)； (b) 位移后的小波函数ψ(t-k)
1 连续小波变换(CWT)
( t ) 为基本小波函数，可以为复数信号。
小波函数族的定义有不同的方式：
a , ( t )
a , ( t )
1 a
1 a
(
t a
(
t 2
j
)
2 h1 k (
k
t 2
j 1
k)
h1 k ( 1) h 0 (1 k )
k
线性组合的权系数分别为：与j无关
h 0 k 1 0 ( t ), 0 k ( t )
正交小波构造
1第5讲 正交小波构造5.1 正交小波概述5.2 由)(0n h 递推求解)(t φ的方法。
5.3 消失矩、规则性及支撑范围 5.4 Daubechies 正交小波构造5.5 接近于对称的正交小波及Coiflet 小波我们在上一讲中集中讨论了离散小波变换中的多分辨率分析，证明了在空间0V 中存在正交归一基}),({Z k k t ∈-φ，由)(t φ作尺度伸缩及位移所产生的},),({,Z k j t k j ∈φ是j V 中的正交归一基。
)(t φ是尺度函数，在有的文献中又称其为“父小波”。
同时，我们假定j V 的正交补空间j W 中也存在正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ，它即是小波基，)(t ψ为小波函数，又称“母小波”。
本章，我们集中讨论如何构造出一个正交小波)(t ψ。
所谓“正交小波”，指的是由)(t ψ生成的}),({Z k k t ∈-ψ，或j W 空间中的正交归一基},),({,Z k j t k j ∈ψ。
Daubechies 在正交小波的构造中作出了突出的贡献。
本章所讨论的正交小波的构造方法即是以她的理论为基础的。
25.1 正交小波概述现在举两个大家熟知的例子来说明什么是正交小波及对正交小波的要求, 一是Haar 小波，二是Shannon 小波。
1.Haar 小波我们在4..1节中已给出Haar 小波的定义及其波形， Haar 小波的尺度函数)(t φ。
重写其定义，即⎪⎩⎪⎨⎧-=011)(t ψ 其它12/12/10<≤<≤t t (5.1.1)⎩⎨⎧=01)(t φ 其它10<≤t (5.1.2)显然, )(t ψ的整数位移互相之间没有重叠，所以)()(),(''k k k t k t -=--δψψ，即它们是正交的。
同理，)()(),(',,'k k t t k j k j -=δψψ。
很容易推出)(t ψ和)(t φ的傅里叶变换是4/4/sin )(22/ωωωωj je-=ψ2/2/sin )(2/ωωωωj e-=Φ注意式中ω实际上应为Ω。
CH5-正交小波与正交滤波器组
信息 工程 学院
[LO_D,HI_D,LO_R,HI_R] [LO D,HI D,LO R,HI R] = WFILTERS( WFILTERS('wname') wname ) computes four filters associated with the orthogonal or biorthogonal wavelet named in the string 'wname' wname . The four output filters are: LO_D, the decomposition low‐pass filter HI_D, the decomposition high‐pass filter LO_R, the reconstruction low‐pass filter HI_R, HI R the reconstruction high‐pass filter
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青 岛 大 学
第五章 正交小波与正交滤波器组
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研究生课程答题纸研究生学院一、详细归纳正交小波基的性质和构造过程。
（20分）二、运用小波包的方法，在MATLAB中对tieda_noise.bmp图片进行降噪处理，要求列出程序（处理过程）、降噪结果及降噪的理论依据。
（30分）三、课程论文：综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，要求包括题目、摘要、引言、正文、结论、参考文献，每个课程论文均不少于2000字。
（20分）四、平时成绩，包括出勤、课堂练习、课后作业。
（30分）第一题 正交小波基的构造和性质本题中，滤波器n g 代表高通滤波器)(1n h ；滤波器n h 代表低通滤波器)(0n h ；一、 由尺度函数构造正交小波基1．由正交尺度函数{}Z k k t ∈-)(φ构造正交小波基，构造步骤如下： （1）选择)(t φ或)(ωΦ使{}Z k k t ∈-)(φ为一组正交基。
（2）求)(n h ：>-=<)(),()(k t t n h φφ (1-1)或)()2()(ωωωΦΦ=H (1-2) （3）由)(n h 求)(n g ：1)1()(+-⋅-=n n h n g (1-3)或)()(πωωω+=-H e G j (1-4)（4）由)(n g ，)(t φ构造正交小波基函数)(t ψ：∑-=nn n t g t )()(,1φψ (1-5)或)2()2()(ωωωΦ⋅=ψG (1-6)例1 ．Haar 小波的构造 选择尺度函数⎪⎩⎪⎨⎧<≤=其他,010,1)(t t φ显然{}Z k k t ∈-)(φ为一正交归一基，则⎪⎩⎪⎨⎧==-=⎰其他,01,0,21)2()(2n n t x dt h n φφ 由式（1-3）⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=-==⋅-=+-其他,01,210,21)1()(1n n h n g n n可得⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧<≤-<≤==-=--其他,0121,1210,1)(21)(21)(1,10,1t t t t t φφψ 例2．由尺度函数为Riesz 基时构造正交小波基函数要找到一个多分辨率分析的尺度函数)(t φ，使它的整数平移构成一个正交系列，有时候不太方便。
但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个Riesz 基{}Z k k t ∈-)(φ来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。
首先给出Riesz 基的定义：设函数{}Z k k t ∈-)(φ张成的空间为0V 的Riesz 基的充分必要条件为存在两常数∞<>B A ,0，使得对于所有)()(2Z L C Z k k ∈∈都有222)(∑∑∑≤-≤kk kk kk C B k t C C A φ (1-7)可以证明式（1-7）等价于∞<≤+Φ≤<--∑B l A l121)2()2()2(0ππωπ因此我们可以定义一个)()(2#R L t ∈φ，使得)(])2([)(212#ωπωωΦ⋅+Φ=Φ-∑ll显然，)(#ωΦ满足1)2(2#=+Φ∑ll πω即)(#k t -φ是正交基。
且)(#k t -φ可以构成{}Zj jV ∈的多分辨率分析框架。
由此可由)(#k t -φ入手，构造一个正交小波基。
可以证明如下：（1）除了0=N 时（此时为Haar 小波）例外，其他)(k t -φ都不具有正交性，因此必须实行正交化处理过程)(#t φ。
（2）正交的)(#t φ及其构造的小波函数)(t ψ（Battle －Lemarie 小波函数）支集都为非紧的（定义域为整个实轴，即无限长）。
（3）当N 为偶数时，#φ（或φ）关于21=t 对称，当N 奇数时，#φ（或φ）关于0=t 对称。
而所有Battle －Lemarie 小波关于21=t 对称。
并且已证明#φ和ψ都具有指数衰减性。
（4）结论：正交小波的光滑性和衰减性是一对矛盾特性。
二、 紧支集正交小波基的性质和构造由MRA 理论可知，尺度函数和小波函数均满足双尺度方程：()∑∈-=Zn n n t n h t 2)(2)(φφ （1-8a ）()∑∈+---=Zn n n n t n h t 2)()1(2)(1φψ （1-8b ）由上式可知，即使)(t φ是支集紧的，相应的)(t ψ的支集未必是紧的。
因此既简单又重要的是要求式（1-8）的右边仅包含有限)1(+N 项，此时只要作适当的平移变换即可将双尺度方程写成：()∑=-=Nn n n t n h t 02)(2)(φφ （1-9a ）()∑-=-=112)(2)(Nn nn t n gt φψ （1-9b ）如此，若)(t φ是正交MRA 中紧支集的母函数，则由此构成的正交小波基的母函数)(t ψ也是紧支集的。
现在的关键问题是要求出满足式（1-9a ）的双尺度方程中的)(t φ。
由式（1-9a ）可以知道如果先直接寻找φ函数，然后再来确定有限项的h 是不容易的。
相反，若有限长度的h 已确定，再来确定φ则容易些。
1. 紧支集正交小波基的构造构造紧支集正交小波基的双尺度方程()∑=-=Nn n n t h t 0221)(φφ 也就是构造特征多项式∑==Nn n n z h z H 021)(的方法可归结为下列步骤： 1）选定一整数2≥L 。
2）选定一多项式，使它满足以下三式：)21()21(y R y R +-=- (1-10)10,0)21()(≤≤≥-+y y R y y P L L (1-11)其中)(y P L 满足∑-=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+-=101)(L j L jj L y P ，其中)!(!!k n k n k n -=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛ (1-12) )1(22)]21()([sup -<-+L L L y R y y P (1-13)3）寻找一实系数三角多项式)(z Q ，使得)21()()(2z R z z P z Q L L -+=。
选取方法是：从)21()(z R z z P L L -+的每四个复零点中选两个，每对实零点中选一个，按照下式构造)(z Q 。
4） 则得)()21()(z Q zz H += 最简单的情况是取])1,0[(0∈≡y R ，此时)(y P L 是正系数多项式，所以条件式（1-12）显然得到满足，且因当0≥y 时，)(y P L 单调增加，因此，⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--==∈L L L L L L P y P L L 1211221112)1()(sup [0,1]y (1-14) )1(212021221--==⎪⎪⎭⎫⎝⎛-<∑L L k k L 故条件式（1-14）也得到满足。
于是利用Riesz 引理即可构作实系数三角多项式∑-==120)()(L k jn Lj L e n q e Q ωω，满足))cos(1(21())2((sin )(22ωωω-==L L j P P e Q 由L P 构作Q 时，我们选取时，我们选取L P 在单位圆内的根，这相应于设计滤波器时选取最小相位。
当3,2=L 时，)(ωj L e Q 的具体解析式为])31()31[(21)(2ωωj j e e Q --++=])1025101()101(21025)101[(41)(23ωωωj j j e e e Q +-++-++++=相应的n h 为：当2=L 时：388365163037.0)1(,454829629131.0)0(==h h5511294095225.0)3(,422241438680.0)2(-==h h 此时n h 的非零长度为4=N 。
当3=L 时：1109248068915093.0)1(,5008253326705529.0)0(==h h 1025461350110200.0)3(,1849144598775021.0)2(-==h h .8570950352262918.0)5(,8202670854412738.0)4(=-=h h 此时n h 的非零长度为6=N 。
-202φD 4-202φD 6-202φD 8-202φD 10-202φD 12-202φD 16-101φD 20-101φD 40图1-1 Daubechies 尺度函数（N ＝4，6，8，…40）-202ψD 4-202ψD 6-202ψD 8-202ψD 10-202ψD 12-202ψD 16-202ψD 20-101ψD 40图1-2 Daubechies 小波函数（N ＝4，6，8，…40）当10~4=L 时相应的尺度方程系数见表1，其相应n h 的非零长度为L N 2=，图1-1和1-2示出了一些尺度函数与小波母函数的图形。
对这样的紧支集小波，它的一般性质如下： （1） 支集大小由式（1-14）得到不同L 下尺度函数的支集为],0[]12,0[supp N L L =-=φ其相应的小波母函数的支集为]),1([]12),22([supp N N L L L --=---=ψ（2） 对称性问题尽管紧支集小波有支集紧的优点，但它一般没有对称性。
可以证明，除Haar小波（其)(t ψ关于21=t 为反对称，其)(t φ关于21=t 为对称）外，其他所有连续的紧支集正交小波基及其尺度函数都不具有任何对称性。
（3） 光滑性问题紧支集多尺度生成元φ的光滑性也较差。
要增加φ的光滑度，则要增加支集长度，即时域支集变长，其光滑度也即频域局部性变好。
（4） 消失矩特性对某些应用来说（特别在指数计算方面），小波不仅应当是零均值的（满足可容许性条件），而且还必须具有高阶消去性。
小波的消失矩定义如下：若1,2,1,0;0)(-==⎰M m dt t t mψ我们称小波)(t ψ具有M 阶消失矩。
Haar 小波只具有一阶消失矩，Daubechies 连续的紧支集正交小波可具有任意高阶消失矩，消失矩随着支集增大而增大。
对于L 阶消失矩的Daubechies 小波，其)(n h 的长度L N 2=，并且1-L 次连续可导。
二、运用小波包的方法，在MATLAB中对tieda_noise.bmp图片进行降噪处理，要求列出程序（处理过程）、降噪结果及降噪的理论依据。
程序如下：clc;clear;hold on% 绘制原始无噪图像figure(1);% 绘制原始彩色图像[a,map]= imread('C:\Users\Administrator\Desktop\考试资料\tieda_RGB.bmp','bmp' ) ;[ A, map] = rgb2ind(a, 256) ;save 'my' A map; load my;colormap(map) ;image(A) ;title('原始彩色图像')figure(2);subplot(222);b= imread('C:\Users\Administrator\Desktop\考试资料\tieda_gray.bmp', 'bmp' ) ;B=double(b);image(B) ;title('原始无噪图像')% 装载原始有噪图像[X,map]= imread('C:\Users\Administrator\Desktop\考试资料\tieda_noise.bmp', 'bmp' ) ;%load Y;Y=double(X);nbc = size(map,1);% 使用coif2执行3层小波包wname = 'coif2'; lev = 3;tree = wpdec2(Y,lev,wname);% 由第1层的高频系数估计噪声的标准差det1 = [wpcoef(tree,2) wpcoef(tree,3) wpcoef(tree,4)];sigma = median(abs(det1(:)))/0.6745;% 使用wpbmpen进行全局阈值选择alpha =0.9;thr = wpbmpen(tree,sigma,alpha);% 使用wpdencmp函数，采用上面的阈值和软阈值处理方式，保存低频，进行图像降噪keepapp = 1;xd = wpdencmp(tree,'s','nobest',thr,keepapp);% 画出原始图像和降噪后的图像colormap(gray(nbc));subplot(223), image(wcodemat(X,nbc))title('原始有噪图像')subplot(224), image(wcodemat(xd,nbc))title('降噪后的图像')降噪结果：降噪前、降噪后和无噪原始图像详见图2-1和2-2。