正交小波基的构造和性质

研究生课程答题纸

研究生学院

一、详细归纳正交小波基的性质和构造过程。（20分）

二、运用小波包的方法，在MATLAB中对tieda_noise.bmp图片进行降噪处理，要求列出程序（处理过程）、降噪结果及降噪的理论依据。（30分）

三、课程论文：综述小波变换理论与工程应用方面的研究进展，要求包括题目、摘要、引言、正文、结论、参考文献，每个课程论文均不少于2000字。（20分）

四、平时成绩，包括出勤、课堂练习、课后作业。（30分）

第一题 正交小波基的构造和性质

本题中，滤波器n g 代表高通滤波器)(1n h ；

滤波器n h 代表低通滤波器)(0n h ；

一、 由尺度函数构造正交小波基

1．由正交尺度函数{}Z k k t ∈-)(φ构造正交小波基，构造步骤如下： （1）选择)(t φ或)(ωΦ使{}Z k k t ∈-)(φ为一组正交基。 （2）求)(n h ：

>-=<)(),()(k t t n h φφ (1-1)

或

)

()

2()(ωωωΦΦ=

H (1-2) （3）由)(n h 求)(n g ：

1)1()(+-⋅-=n n h n g (1-3)

或

)()(πωωω+=-H e G j (1-4)

（4）由)(n g ，)(t φ构造正交小波基函数)(t ψ：

∑-=n

n n t g t )()(,1φψ (1-5)

或

)2()2()(ωωωΦ⋅=ψG (1-6)

例1 ．Haar 小波的构造 选择尺度函数

⎪⎩

⎪⎨

⎧<≤=其他

,01

0,1)(t t φ

显然{}Z k k t ∈-)(φ为一正交归一基，则

⎪⎩

⎪⎨⎧==-=⎰其他

,01,0,

21)2()(2n n t x dt h n φφ 由式（1-3）

⎪⎪⎪⎩

⎪

⎪⎪⎨⎧=-==⋅-=+-其他,01,210,21)1()(1n n h n g n n

可得

⎪⎪⎪

⎩

⎪

⎪

⎪⎨⎧

<≤-<

≤==-=--其他

,0121

,

12

10,1)(21)(21)(1,10,1t t t t t φφψ 例2．由尺度函数为Riesz 基时构造正交小波基函数

要找到一个多分辨率分析的尺度函数)(t φ，使它的整数平移构成一个正交系列，有时候不太方便。但要找到一个函数，使它的整数位移构成一个Riesz 基{}Z k k t ∈-)(φ来构造一个多分辨率框架，从而构造一组正交小波基。

首先给出Riesz 基的定义：

设函数{}Z k k t ∈-)(φ张成的空间为0V 的Riesz 基的充分必要条件为存在两常数

∞<>B A ,0，使得对于所有)()(2Z L C Z k k ∈∈都有

2

2

2

)(∑∑∑≤-≤

k

k k

k k

k C B k t C C A φ (1-7)

可以证明式（1-7）等价于

∞<≤+Φ≤<--∑B l A l

12

1)2()2()2(0ππωπ

因此我们可以定义一个)()(2#R L t ∈φ，使得

)(])2([)(2

12#ωπωωΦ⋅+Φ=Φ-

∑l

l

显然，)(#ωΦ满足

1)2(2

#=+Φ∑l

l πω

即)(#k t -φ是正交基。且)(#k t -φ可以构成{}

Z

j j

V ∈的多分辨率分析框架。由此可由

)(#

k t -φ入手，构造一个正交小波基。

可以证明如下：

（1）除了0=N 时（此时为Haar 小波）例外，其他)(k t -φ都不具有正交性，因此必须实行正交化处理过程)(#t φ。

（2）正交的)(#t φ及其构造的小波函数)(t ψ（Battle －Lemarie 小波函数）支集都为非紧的（定义域为整个实轴，即无限长）。

（3）当N 为偶数时，#φ（或φ）关于2

1

=t 对称，当N 奇数时，#φ（或φ）关于

0=t 对称。而所有Battle －Lemarie 小波关于2

1

=t 对称。并且已证明#φ和ψ都具有

指数衰减性。

（4）结论：正交小波的光滑性和衰减性是一对矛盾特性。

二、 紧支集正交小波基的性质和构造

由MRA 理论可知，尺度函数和小波函数均满足双尺度方程：

()∑∈-=Z

n n n t n h t 2)(2)(φφ （1-8a ）

()∑∈+---=Z

n n n n t n h t 2)()1(2)(1φψ （1-8b ）

由上式可知，即使)(t φ是支集紧的，相应的)(t ψ的支集未必是紧的。因此既简单又重要的是要求式（1-8）的右边仅包含有限)1(+N 项，此时只要作适当的平移变换即可将双尺度方程写成：

()∑=-=N

n n n t n h t 02)(2)(φφ （1-9a ）

()∑-=-=1

12)(2

)(N

n n

n t n g

t φψ （1-9b ）

如此，若)(t φ是正交MRA 中紧支集的母函数，则由此构成的正交小波基的母函数

)(t ψ也是紧支集的。现在的关键问题是要求出满足式（1-9a ）的双尺度方程中的)(t φ。

由式（1-9a ）可以知道如果先直接寻找φ函数，然后再来确定有限项的h 是不容易的。相反，若有限长度的h 已确定，再来确定φ则容易些。

1. 紧支集正交小波基的构造

构造紧支集正交小波基的双尺度方程

()∑=-=N

n n n t h t 0

221)(φφ 也就是构造特征多项式∑==N

n n n z h z H 0

21)(的方法可归结为下列步骤： 1）选定一整数2≥L 。

2）选定一多项式，使它满足以下三式：

)2

1

()21(y R y R +-=- (1-10)