专题10 模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角形压轴题三种模型全攻略(解析版)

专题10模型构建专题：“手拉手”模型——共顶点的等腰三角
形压轴题三种模型全攻略
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目录
【典型例题】 (1)
【类型一共顶点的等边三角形】 (1)
【类型二共顶点的等腰直角三角形】 (11)
【类型三共顶点的一般等腰三角形】 (18)
【典型例题】
【类型一共顶点的等边三角形】
例题：（2023·全国·八年级假期作业）如图所示，△ABC和△ADE都是等边三角形，且点B、A、E在同一直线上，连接BD交AC于M，连接CE交AD于N，连接MN．
(1)求证：BD=CE；
(2)求证：△ABM≌△ACN；
(3)求证：△AMN是等边三角形．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)证明见解析
【分析】（1）由已知条件等边三角形，可知AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，进一步求证∠BAD=∠CAE，从而△ABD≌△ACE(SAS)，所以BD=CE．
（2）由(1)知△ABD≌△ACE，得∠ABM=∠CAN，由点B、A、E共线，得∠CAN=60°=∠BAC，进一步求证△ABM≌△ACN(ASA)．
（3）由△ABM≌△ACN，得AM=AN，而∠CAN=60°，所以△AMN是等边三角形．
【详解】（1）∵△ABC和△ADE都是等边三角形，
∴AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠CAE．
在△ABD和△ACE中，
AB AC BAD CAE AD AE
=
⎧
⎪
∠=∠
⎨
⎪=
⎩
∴△ABD≌△ACE(SAS)，
∴BD=CE．
（2）由(1)知△ABD≌△ACE，
∴∠ABM=∠ACN．
∵点B、A、E在同一直线上，且∠BAC=∠DAE=60°，∴∠CAN=60°=∠BAC．
在△ABM和△ACN中，
BAM CAN
AB AC ABM ACN ∠=∠
⎧
⎪
=
⎨
⎪∠=∠
⎩
∴△ABM≌△ACN(ASA)．
（3）由(2)知△ABM≌△ACN，
∴AM=AN，
∵∠CAN=60°，
∴△AMN是等边三角形．
【点睛】本题主要考查等边三角形的性质和判定、全等三角形判定和性质；将等边三角形的条件转化为相
等线段和等角，选择合适的方法判定三角形全等是解题的关键．
【变式训练】【答案】①②③④⑤
【分析】根据等边三角形的性质得到60DCE ∠=︒，根据平行线的判定定理得到根据全等三角形的性质得到出ACM DCN △≌△，故④60CMN ∠=︒，根据平行线的判定定理得到⑤正确．
【详解】解：DAC 、ECB
在ACM △与DCN 中，
60CAM CDN AC CD ACM DCN ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠=︒⎩
，ACM DCN ∴ ≌，故④正确；
CM CN ∴=，
CMN ∴ 是等边三角形，
60CMN ∴∠=︒，
CMN ACD ∴∠=∠，
MN AB ∴∥，故①正确；
30DBE ∠=︒ ，60BPE APD ∠=∠=︒，
90AEB ∴∠=︒．故⑤正确；
故答案为：①②③④⑤．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键．
2．（2023秋·四川凉山·八年级统考期末）如图，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作等边ABC 和等边CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连结PQ ．求证：(1)AD BE =；
(2)CPQ 为等边三角形；
【答案】(1)见解析；
(2)见解析．
【分析】（1）由等边三角形的性质可知60
AC BC CD CE ACB DCE ==∠=∠=︒，，，从而可求出ACD BCE ∠=∠，即可利用“SAS ”证明ADC BEC △△≌，即得出AD BE =；
（2）由等边三角形的性质可知60ACB DCE ︒∠=∠=，AC =BC ，即可求证60ACP BCQ ∠=∠=︒．再根据ADC BEC △△≌可得出CAP CBQ ∠=∠，利用“ASA ”证明APC BQC ≌△△，据此即可证明结论成立．
【详解】（1）证明：ABC 和CDE 都是等边三角形，
60AC BC CD CE ACB DCE ∴==∠=∠=︒，，，
ACD ACB BCD BCE DCE BCD ∠=∠+∠∠=∠+∠， ，
ACD BCE ∠∠∴=，
∴AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
(SAS)ADC BEC ∴≌△△，
AD BE ∴=；
（2）证明：ABC 和CDE 是等边三角形，
60ACB DCE AC BC ∴∠=∠=︒=，，
∴18060BCQ ACP ECD ∠=︒-∠-∠=︒，
∴60ACP BCQ ∠=∠=︒．
ADC BEC
≌ △△∴CAP CBQ ∠=∠．
∴CAP CBQ AC BC ACP BCQ ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
∴()ASA APC BQC △△≌．
∴C P C Q =，
又∵60PCQ ∠=︒，
∴CPQ 为等边三角形．
【点睛】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定条件是解题关键．
3．（2021春·广东佛山·八年级校考阶段练习）已知图1是边长分别为a 和b ()a b >的两个等边三角形纸片ABC 和三角形C DE '叠放在一起（C 与C '重合）的图形．
(1)将C DE ' 绕点C 按顺时针方向旋转30︒，连接AD ，BE ．如图2：在图2中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论；
(2)若将上图中的C DE ' ，绕点C 按顺时针方向任意旋转一个角度α，连接AD 、BE ，如图3：在图3中，线段BE 与AD 之间具有怎样的大小关系？证明你的结论：
(3)根据上面的操作过程，请你猜想当α为多少度时，线段AD 的长度最大，最大是多少？当α为多少度时，线段AD 的长度最小，最小是多少？请直接写出答案．
【答案】(1)BE AD =，证明见解析
(2)BE AD =，证明见解析
(3)当α为180度时，线段AD 的长度最大，最大值为a b +；当α为0度或360度时，线段AD 的长度最小，最小值为a b -．
【分析】（1）先由等边三角形判断出AC BC =，CE CD =，再由旋转判断出BCE ACD ∠=∠，进而判断出BCE ACD ≌，即可得出结论；
（2）同（1）的方法，即可得出结论；
（3）当点D 在AC 的延长线上时，AD 最大，最大值为a b +，当点D 在线段AC 上时，AD 最小，最小值为a b -，即可得出结论．
【详解】（1）解：BE AD
=证明： 点C 与1C 重合，ABC 和1C DE △，
ABC ∴ 和CDE 都是等边三角形，
AC BC ∴=，CE CD =，
由旋转知，30BCE ACD ∠=∠=︒，
在BCE 和ACD 中，
BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
(SAS)BCE ACD ∴≌△△，
BE AD ∴=，
（2）解：BE AD =，
证明：ABC 和CDE 都是等边三角形，
AC BC ∴=，CE CD =，
由旋转知，BCE ACD ∠=∠，
在BCE 和ACD 中，
BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
(SAS)BCE ACD ∴≌△△，
BE AD ∴=；
（3）解：当点D 在AC 的延长线上时，AD 最大，最大值为AC CD a b +=+，如图，
∴当α为180度时，线段AD 的长度最大，最大值为a b +，
当点D 在线段AC 上时，AD 最小，最小值为AC CD a b -=-，如图，
∴当α为0度或360度时，线段AD 的长度最小，最小值为a b -．
【答案】(1)见解析
(2)平行EC AC CD
=+(3)有最小值，5
【分析】（1）由ABC ∆和ADE ∆是等边三角形，推出AB AC =，AD AE =BAC DAE ∠=∠，则BAC DAC DAE DAC ∠-∠=∠-∠，即BAD CAE ∠=∠
【详解】（1）证明：∵ABC ∆和ADE ∆是等边三角形，
∴AB AC =，AD AE =，
60BAC DAE ∠=∠=︒，
∵BAC DAE ∠=∠，
∴BAC DAC DAE DAC
∠-∠=∠-∠即BAD CAE
∠=∠在ABD ∆和ACE ∆中，
AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴SAS ABD ACE ∆∆≌（）；
（2）平行，EC AC CD =+，理由如下：
由（1）得SAS ABD ACE ∆∆≌（），
∴60B ACE ∠=∠=︒，CE BD ＝，
∴BAC ACE =∠∠，
∴AB CE ∥，
∵CE BD =，AC BC =，
∴CE BD BC CD AC CD ==+=+；
（3）有最小值，理由如下：
如图，在射线BC 上取一点M ，使得DM PC =，连接EM ，∵ABC ∆和DPE ∆是等边三角形，
∴PE ED =，60DEP ACB ∠=∠=︒，
∴180********ACD ACB ∠=︒-∠=︒-︒=︒，
∴12060180ACD DEP ∠+∠=︒+︒=︒，
由三角形内角和为180︒，可知：180PCE CEP EPC ∠+∠+∠=︒，180ECD CDE CED ∠+∠+∠=︒，
∴360PCE CEP EPC ECD CDE CED ∠+∠+∠+∠+∠+∠=︒，
又∵180PCE ECD CEP CED ACD DEP ∠+∠+∠+∠=∠+∠=︒，∴360180180EPC CDE ∠+∠=︒-︒=︒，
∵180EDM CDE ∠+∠=︒，
∴EPC EDM ∠∠=，
在EPC ∆和EDM ∆中，
PE ED EPC EDM PC DM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
SAS EPC EDM ∆∆≌（），
∴EC EM =，PEC DEM ∠∠=，
∵60PEC CED DEP ∠+∠∠=︒＝，
∴60CEM DEM CED ∠=∠+∠=︒，
∴CEM ∆是等边三角形，
∴60ECD ∠=︒，180606060ACE ECD ACB ∠=︒-∠-∠=︒-︒-︒=︒180，即点E 在ACD ∠的角平分线上运动，
在射线CD 上截取CP CP '=，连接EP '，
在CEP ∆和CEP '∆中，
60PC P C PCE P CE CE CE =⎧⎪∠=∠=︒⎨⎪='⎩
'，
SAS CEP CEP '∆∆≌（），
∴PE P E '=，
则BE PE BE P E '+=+，
由三角形三边关系可知，BE P E BP ''+≥，
即当点E 与点C 重合，BE P E BP ''+=时，PE BE +有最小值BP '，∵325BP BE CP BC CP ''=+=+=+=，
∴5BE PE BE P E BP ''+=+≥=，
∴BE PE +最小值为5．
【点睛】本题考查三角形综合，全等三角形的判定，正确添加辅助线、掌握相关图形的性质定理是解题的关键．
【类型二共顶点的等腰直角三角形】
(1)【猜想】：如图1，点E 在BC 上，点D 在AC 上，线段BE 与AD 的数量关系是________(2)【探究】：把DCE △绕点C 旋转到如图2的位置，连接AD ，BE ，（1）中的结论还成立吗？说明理由；(3)【拓展】：把DCE △绕点C 在平面内自由旋转，若5AC =，22CE =，当时，则AE 的长是________．
【答案】(1)BE AD =，BE AD
⊥
由题意可知：
Q，∠=∠=︒
ACB DCE
90
∴∠+∠=∠
ACB ACE DCE
DCE 是等腰直角三角形，且224DE CE CD ∴=+=，
CM AD ⊥ ，
122
CM EM DE ∴===，在Rt ACM △中，5AC =，
DCE 是等腰直角三角形，且22DE CE CD ∴=+CN AD ⊥ ，
12CN NE DE ∴===在Rt ACN V 中，AC 【变式训练】
1．（2023·全国·九年级专题练习）如图，在等腰直角三角形ABC 和DEC 中，90BCA DCE ∠=∠=︒，点E 在边AB 上，ED 与AC 交于点F ，连接AD ．
(1)求证：BCE ACD △△≌；
(2)求证：AB AD ⊥．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）根据90BCA DCE ∠=∠=︒，可得BCE ACD ∠=∠，再由等腰直角三角形的性质可得,BC AC CE CD ==，可证明BCE ACD △△≌，即可求证；
（2）根据BCE ACD △△≌，可得=B CAD ∠∠，从而得到90CAD CAE ∠+∠=︒，即可求证．
【详解】（1）证明：∵90BCA DCE ∠=∠=︒，
∴90BCE ECA ECA ACD ∠+∠=∠+∠=︒，
∴BCE ACD ∠=∠，
∵ABC 和DEC 是等腰直角三角形，
∴,BC AC CE CD ==，
在BCE 和ACD 中，
BC AC BCE ACD CE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()SAS BCE ACD ≌△△；
（2）证明：∵BCE ACD △△≌，
∴=B CAD ∠∠，
∵90ACB ∠=︒，
∴90B CAE ∠+∠=︒，
∴90CAD CAE ∠+∠=︒，
即=90DAE ∠︒，
∴AB AD ⊥．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质是解题的关键．
2．
（2023春·八年级课时练习）（1）问题发现：如图1，ABC 与CDE 均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，则线段AE 、BD 的数量关系为_______，AE 、BD 所在直线的位置关系为________；
（2）深入探究：在（1）的条件下，若点A ，E ，D 在同一直线上，CM 为DCE △中DE 边上的高，请判断
ADB ∠的度数及线段CM ，AD ，BD 之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）AE BD =，AE BD ⊥；（2）90ADB ∠=︒，2AD CM BD =+；理由见解析
【分析】（1）延长AE 交BD 于点H ，AH 交BC 于点O ．只要证明()SAS ACE BCD ≌，即可解决问题；（2）由ACE BCD ≌，结合等腰三角形的性质和直角三角形的性质，即可解决问题．
【详解】解：（1）如图1中，延长AE 交BD 于点H ，AH 交BC 于点O ，
∵ACB △和DCE △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，
∴AC BC =，CD CE =，
∴90ACE ECB BCD ECB ∠+∠=∠+∠=︒，
∴ACE BCD ∠=∠，
∴()SAS ACE BCD ≌，
∴AE BD =，CAE CBD ∠=∠，
∵90CAE AOC ∠+∠=︒，AOC BOH ∠=∠，
∴90BOH CBD ∠+∠=︒，
∴90AHB ∠=︒，
∴AE BD ⊥．
故答案为：AE BD =，AE BD ⊥．
（2）90ADB ∠=︒，2AD CM BD =+；
理由如下：如图2中，
∵ACB △和DCE △均为等腰直角三角形，90ACB DCE ∠=∠=︒，
∴45CDE CED ∠=∠=︒，
∴180135AEC CED ∠=︒-∠=︒，
α<<︒），连接BD和CE，此时(1)探究：如图②，将△ADE绕点A逆时针旋转α（090
立？若成立，写出证明过程；若不成立，说明理由．
(2)应用：如图③，当△ADE绕点A逆时针旋转，使得点D落在BC的延长线上，连接
∠的度数；
①ACE
②若32
==，3
AB AC
CD=，则线段DE的长是多少？
=成立，证明见解析
【答案】(1)BD CE
(2)①45°②310
【类型三共顶点的一般等腰三角形】
例题：（2023春·山东泰安·七年级校考开学考试）如图，ABC 与CDE 都是等腰三角形，42AC BC CD CE ACB DCE AD BE ==∠=∠=︒，，，、相交于点M ．
(1)试说明：AD BE =；
(2)求AMB ∠的度数．
【答案】(1)见解析
(2)42︒
【分析】（1）由“SAS ”可证≌ACD BCE V V ，可得BE AD =；
（2）根据全等三角形的性质可得CAD CBE ∠=∠，再利用三角形内角和定理计算AMB ∠．
【详解】（1）解：证明：ACB DCE ∠=∠ ，
ACD BCE ∠∠∴=，
在ACD 和BCE 中，
CA CB ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
(SAS)ACD BCE ∴≌△△，
AD BE ∴=；
（2）ACD BCE ≌，
CAD CBE ∴∠=∠，
18042138BAC ABC ∠+∠=︒-︒=︒ ，
138BAM ABM BAC CAD ABC CBE BAC ABC ∴∠+∠=∠-∠+∠+∠=∠+∠=︒，
18013842AMB ∴∠=︒-︒=︒．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和，证明三角形全等是解题的关键．
【变式训练】
1．
（2023秋·辽宁抚顺·八年级统考期末）如图，已知ABC 中，AB AC BC ≠≠．分别以AB 、AC 为腰在AB 左侧、AC 右侧作等腰三角形ABD ．等腰三角形ACE ，连接CD 、BE ．
(1)如图1，当60BAD CAE ∠=∠=︒时，
①ABD △、ACE △的形状是____________；
②求证：BE DC =．
(2)若60BAD CAE ∠=∠≠︒，
①如图2，当AB AD AC AE ==，时，BE DC =是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由；②如图3，当AB DB AC EC ==，时，BE DC =是否仍然成立？请写出你的结论并说明理由．
【答案】(1)①等边三角形；②证明见解析
(2)①成立，理由见解析；②不成立，理由见解析
【分析】（1）①根据有一个内角是60度的等腰三角形是等边三角形即可求解；②根据等边三角形的性质可得AB AD =，AE AC =，60DAB CAE ∠=∠=︒，证明BAE DAC ≌ ，根据全等三角形的性质即可证明；
（2）①证明BAE DAC ≌ ，根据全等三角形的性质即可得出结论；②根据已知可得BAE 与DAC △不全等，即可得出结论．
【详解】（1）①∵ABD △是等腰三角形，ACE △是等腰三角形，60BAD CAE ∠=∠=︒∴ABD △、ACE △是等边三角形，
故答案为：等边三角形．
②证明：∵ABD △、ACE △是等边三角形，
∴AB AD =，AE AC =，60DAB CAE ∠=∠=︒，
∵DAC DAB BAC ∠=∠+∠，BAE CAE BAC ∠=∠+∠，
∴DAC BAE ∠=∠，
在△BAE 与△DAC 中，
∵AB AD BAE DAC AE AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
，
∴()SAS BAE DAC ≌ ．
∴BE DC =．
（2）①当AB AD =，AE AC =时，成立．
理由：如图，
∵AB AD =，BAE DAC ∠=∠，AE AC =，
∴()SAS BAE DAC ≌ ，
∴BE DC =；
②当AB DB =，AC EC =时，不成立．
理由：如图，
∵60BAD CAE ∠=∠≠︒，
∴AB DB AD =≠，AC EC AE =≠，
∴BAE 与DAC △不全等，
∴BE DC ≠．
【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定与性质等，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
2．（2023秋·全国·八年级专题练习）定义：顶角相等且顶点重合的两个等腰三角形叫做“同源三角形”，我们称这两个顶角为“同源角”．如图，ABC 和CDE 为“同源三角形”，AC BC =，CD CE =，ACB ∠与DCE ∠为“同源角”．
(1)如图1，ABC 和CDE 为“同源三角形”，试判断AD 与BE 的数量关系，并说明理由．
(2)如图2，若“同源三角形”ABC 和CDE 上的点B ，C ，D 在同一条直线上，且90ACE ∠=︒，则∠=EMD ______°．
(3)如图3，ABC 和CDE 为“同源三角形”，且“同源角”的度数为90°时，分别取AD ，BE 的中点Q ，P ，连接CP ，CQ ，PQ ，试说明PCQ △是等腰直角三角形．
【答案】(1)AD BE =，详见解析
(2)45
(3)详见解析
【分析】（1）由“同源三角形”的定义可证ACD BCE ∠=∠，然后根据SAS 证明≌ACD BCE V V 即可；（2）由“同源三角形”的定义和90ACE ∠=︒可求出45DCE ACB ∠==︒，由（1）可知≌ACD BCE V V ，得ADC BEC ∠∠=，然后根据“8”子三角形即可求出EMD ∠的度数；
（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，可得CAQ CBP ∠=∠，BE AD =．根据SAS 证明ACQ BCP △≌△，可得CQ CP =，ACQ BCP ∠=∠，进而可证结论成立．
【详解】（1）AD BE =．
理由：因为ABC 和CDE 是“同源三角形”，
所以ACB DCE ∠=∠，所以ACD BCE ∠=∠．
在ACD 和BCE 中，,,,AC BC ACD BCE CD CE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
所以()SAS ACD BCE △≌△．
所以AD BE =．
（2）∵ABC 和CDE 是“同源三角形”，
∴ACB DCE ∠=∠．
∵90ACE ∠=︒，
∴45DCE ACB ∠==︒．
由（1）可知≌ACD BCE V V ，
∴ADC BEC ∠∠=．
∵MOE COD ∠=∠，
∴45EMD DCE ∠=∠=︒．
故答案为：45；
（3）由（1）可知≌ACD BCE V V ，
所以CAQ CBP ∠=∠，BE AD =．
因为AD ，BE 的中点分别为Q ，P ，
所以AQ BP =．
在ACQ 和BCP 中，,,,CA CB CAQ CBP AQ BP =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
所以()SAS ACQ BCP △≌
△，所以CQ CP =，ACQ BCP ∠=∠．
又因为90BCP PCA ︒∠+∠=，
所以90ACQ PCA ︒∠+∠=．
所以90PCQ ∠=︒，所以PCQ △是等腰直角三角形．
【点睛】本题考查了新定义，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形内角和定理等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．
3．
（2023春·辽宁丹东·七年级统考期末）
（1）如图1，两个等腰三角形ABC 和△ADE 中，AB AC =，AD AE =，BAC DAE ∠=∠，连接BD ，CE ．则ADB △≌_______________，此时线段BD 和线段CE 的数量关系式_____________________；
（2）如图2，两个等腰直角三角形ABC 和△ADE 中，AB AC =，AD AE =，90BAC DAE ∠=∠=︒，连接BD ，CE ，两线交于点P ，请判断线段BD 和线段CE 的关系，并说明理由；
（3）如图3，分别以ABC 的两边AB ，AC 为边向ABC 外作等边ABD △和等边ACE △，连接BE ，CD ，两线交于点P ．请直接写出线段BE 和线段CD 的数量关系及PBC PCB ∠+∠的度数．
【答案】（1）AEC △，BD CE =；（2）BD CE =且BD CE ⊥；（3）CD BE =，60PBC PCB ∠+∠=︒
【分析】（1）先判断出DAB EAC ∠=∠，进而判断出△≌△ADB AEC ，即可得出结论；
（2）先判断出DAB EAC V V ≌，得出BD CE =，DBA ECA ∠=∠，进而判断出DBC ECB ∠+∠，即可得出结论；
（3）先判断出ACD AEB ≌，得出CD BE =，ADC ABE ∠=∠，进而求出60BPD ∠=︒，最后用三角形外角的性质，即可得出结论．
【详解】解：（1）DAE BAC ∠=∠ ，
DAE BAE BAC BAE ∴∠+∠=∠+∠．
即DAB EAC ∠=∠，
在ADB 和AEC △中，
AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()ADB AEC SAS ∴ ≌，
BD CE ∴=，
故答案为：AEC △，BD CE =；
（2）BD CE =且BD CE ⊥；
理由如下：90DAE BAC ∠=∠=︒ ，
DAE BAE BAC BAE ∴∠+∠=∠+∠．
即DAB EAC ∠=∠．
在DAB 和EAC 中，
AD AE DAB EAC AB AC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()ADB AEC SAS ∴ ≌，
BD CE ∴=，DBA ECA ∠=∠，
90ECA ECB ABC ∠+∠+∠=︒ ，
90DBA ECB ABC ∴∠+∠+∠=︒，
即90DBC ECB ∠+∠=︒，
180()90BPC DBC ECB ∴∠=︒-∠+∠=︒，
BD CE ∴⊥，
综上所述：BD CE =且BD CE ⊥；
（3）如图3所示，BE CD =，60PBC PCB ∠+∠=︒，理由如下：
ABD 和ACE △是等边三角形，
AD AB ∴=，AC AE =，60ADB ABD BAD CAE ∠=∠=∠=∠=︒，
BAD BAC CAE BAC ∴∠+∠=∠+∠，
CAD EAB ∠=∠∴，
在ACD 和AEB △中，
AD AB CAD EAB AC AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，
()ACD AEB SAS ∴ ≌，
CD BE ∴=，ADC ABE ∠=∠，
180BPD PBD BDP
∴∠=︒-∠-∠180ABE ABD BDP
=︒-∠-∠-∠180()
ABD ABE BDP =︒-∠-∠+∠180()
ABD ADC BDP =︒-∠-∠+∠
180ABD ADB
=︒-∠-∠
=︒，
60
∴∠+∠=∠=︒．
60
PBC PCB BPD
【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性
ADB AEC是解本题的关键．
质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，判断出△≌△。