高考数学一轮复习方案 第32讲 数列的综合应用课时作业

课时作业(三十二) [第32讲 数列的综合应用]
(时间：45分钟 分值：100分)
基础热身
1．[教材改编试题] 已知等差数列{a n }的公差为2，若a 1，a 3，a 4成等比数列，则a 2等于( )
A ．－4
B ．－6
C ．－8
D ．－10
2．某放射性物质的质量每天衰减3%，若此物质衰减到其质量的一半以下，则至少需要的天数是(参考数据lg0.97＝－0.013 2，lg0.5＝－0.301 0)( )
A ．22
B ．23
C ．24
D ．25
3．在数列{a n }中，a 1＝2，当n 为正奇数时，a n ＋1＝a n ＋2，当n 为正偶数时，a n ＋1＝2a n ，则a 6＝( )
A ．11
B ．17
C ．22
D ．23
4．[2012·长春调研] 各项都是正数的等比数列{a n }中，3a 1，1
2
a 3，2a 2成等差数列，则
a 10＋a 12
a 8＋a 10
＝( ) A ．1 B ．3 C ．6 D ．9 能力提升
5．已知数列{a n }中，a 1＝－1，a n ＋1·a n ＝a n ＋1－a n ，则数列通项a n ＝( ) A.1n B.2n
C ．－1n
D ．－2n
6．[2012·红河州检测] 若一等差数列{a n }的首项a 1＝－5，其前11项的平均值为5，又若从中抽取一项，余下的10项的平均值为4，则抽去的是( )
A ．a 8
B ．a 9
C ．a 10
D ．a 11
7．已知数列{a n }中，a 1＝35，a n ＝1－1
a n －1(n ≥2)，则a 2 012＝( )
A ．－12
B ．－2
3
C.35
D.52
8．[2012·开封模拟] 已知数列{a n }满足a 1＝1，log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1(n ∈N *
)，它的前n 项和为S n ，则满足S n >1 025的最小n 值是( )
A ．9
B ．10
C ．11
D ．12
9．[2012·郑州检测] 已知函数f (x )＝15x 5＋x 3
＋4x (x ∈R )，数列{a n }是等差数列，a 3>0，
则f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)的值( )
A ．恒为正数
B ．恒为负数
C ．恒为0
D ．可正可负
10．某厂在2011年底制订生产计划，要使2021年底的总产量在原有基础上翻两番，则年平均增长率为________．
11．已知数列{a n }中，a 201＝2，a n ＋a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则a 2 012＝________．
12．[2012·日照一中月考] 已知实数a ，b ，c ，d 成等比数列，对于函数y ＝ln x －x ，当x ＝b 时取到极大值c ，则ad 等于________．
13．[2012·济南模拟] 观察下列等式： 1＝1， 2＋3＋4＝9， 3＋4＋5＋6＋7＝25， 4＋5＋6＋7＋8＋9＋10＝49， …… 照
此
规
律
，
第
n 个等式为
________________________________________________________________________．
14．(10分)[2012·红河州检测] 已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，
a 9成等比数列．
(1)求数列{a n }的通项；
(2)求数列{2a n ＋n }的前n 项和S n .
15．(13分)[2013·惠州一中二调] 设S n 为数列{a n }的前n 项和，对任意的n ∈N ＋，都有S n ＝(m ＋1)－ma n (m 为正常数)．
(1)求证：数列{a n }是等比数列；
(2)数列{b n }满足b 1＝2a 1，b n ＝b n －1
1＋b n －1
(n ≥2，n ∈N ＋)，求数列{b n }的通项公式；
(3)在满足(2)的条件下，求数列⎩⎨
⎧⎭
⎬⎫
2n ＋1
b n 的前n 项和T n . 难点突破
16．(12分)[2012·江西八校联考] 已知等差数列{a n }的首项为正整数，公差为正偶数，且a 5≥10，S 15<255.
(1)求通项a n ；
(2)若数列a 1，a 3，ab 1，ab 2，ab 3，…，ab n ，…，成等比数列，试找出所有的n ∈N *
，使
c n ＝b n －14
为正整数，说明你的理由．
课时作业(三十二)
【基础热身】
1．B [解析] ∵a 1a 4＝a 2
3，∴(a 2－2)(a 2＋4)＝(a 2＋2)2
.∴2a 2＝－12.∴a 2＝－6. 2．B [解析] 依题意有(1－3%)n
<0.5，所以n >lg0.5lg0.97
≈22.8.故选B.
3．C [解析] 逐项计算得该数列的前6项依次为：2，4，8，10，20，22，故选C. 4．D [解析] 由已知a 3＝3a 1＋2a 2，于是q 2
＝3＋2q ，由数列各项都是正数，解得q ＝3，所以
a 10＋a 12a 8＋a 10
＝q 2
＝9.故选D. 【能力提升】
5．C [解析] 已知变形为
1
a n ＋1－1a n
＝－1，设b n ＝1
a n
，则{b n }是等差数列，b 1＝－1，b n
＝－1＋(n －1)×(－1)＝－n ，所以a n ＝－1
n
.故选C.
6．D [解析] S 11＝11a 1＋11×10
2
d ＝11×5，可得d ＝2.由S 11－a n ＝40，得a n ＝15，即
a n ＝a 1＋(n －1)d ＝15.∴n ＝11.故选D.
7．B [解析] 由递推公式得a 2＝－23，a 3＝52，a 4＝35，a 5＝－2
3，…，所以数列{a n }是周
期数列，周期为3，于是a 2 012＝a 2 010＋2＝a 2＝－2
3
.故选B.
8．C [解析] ∵log 2a n ＋1＝log 2a n ＋1，∴log 2
a n ＋1a n ＝1，∴a n ＋1
a n
＝2，所以，数列{a n }是以1为首项，公比为2的等比数列，所以S n ＝1－2n
1－2＝2n －1>1 025，∴2n >1 026.又210<1 026<211
，
∴n >10，∴n min ＝11.故选C.
9．A [解析] 因为函数f (x )＝15x 5＋x 3
＋4x 是奇函数且在(－∞，＋∞)上是增函数，所
以f (a 3)>f (0)＝0，又数列{a n }是等差数列，所以a 1＋a 5＝2a 3>0，∴a 1>－a 5，所以f (a 1)>f (－
a 5)，即f (a 1)＋f (a 5)>0，所以f (a 1)＋f (a 3)＋f (a 5)>0.故选A.
10.
104－1 [解析] 令2011年底的产量为1，则2021年底的产量为4，则(1＋x )10
＝4，所以x ＝
10
4－1.
11．－2 [解析] 由已知得a n ＋1＝－a n ，所以a 202＝－2，a 203＝2，a 204＝－2，…，可以看出，奇数项为2，偶数项为－2，所以a 2 012＝－2.
12．－1 [解析] 对函数求导得y ′＝1x －1＝1－x
x
(x ∈(0，＋∞))，当0<x <1时，y ′>0，
当x >1时，y ′<0，所以当x ＝1时，函数有极大值为y ＝ln1－1＝－1，所以b ＝1，c ＝－1.因为实数a ，b ，c ，d 成等比数列，所以ad ＝bc ＝－1.
13．n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2
[解析] 依题意，等式的第一项依次为1，2，3，…，由此知等式的第n 项为n ；最后一项为1，4，7，10，…，由此知最后一项为3n －2.于是，第n 个等式为n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2
.
故填n ＋(n ＋1)＋(n ＋2)＋…＋(3n －2)＝(2n －1)2
. 14．解：(1)由题设知公差d ≠0，
由a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列得1＋2d 1＝1＋8d
1＋2d ，
解得d ＝1或d ＝0(舍去)，故a n ＝1＋(n －1)＝n . (2)由(1)知2a n ＝2n
，所以数列{2a n ＋n }的前n 项和
S n ＝(2＋22＋23＋…＋2n )＋(1＋2＋3＋4＋…＋n )＝2n ＋1＋n （n ＋1）
2
－2.
15．解：(1)证明：当n ＝1时，a 1＝S 1＝(m ＋1)－ma 1， 解得a 1＝1.
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝ma n －1－ma n ， 即(1＋m )a n ＝ma n －1. 又m 为常数，且m >0，∴
a n a n －1＝m
1＋m
(n ≥2)． ∴数列{a n }是首项为1，公比为m
1＋m 的等比数列．
(2)b 1＝2a 1＝2.
∵b n ＝b n －11＋b n －1，∴1b n ＝1
b n －1
＋1，
即1b n －1b n －1
＝1(n ≥2)．
∴⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1b n 是首项为1
2，公差为1的等差数列．
∴1b n ＝12＋(n －1)·1＝2n －1
2， 即b n ＝
22n －1
(n ∈N *
)． (3)由(2)知b n ＝22n －1，则2n ＋1
b n ＝2n
(2n －1)．
所以T n ＝22
b 1＋23
b 2＋24
b 3
＋…＋2n b n －1＋
2
n ＋1
b n
，
即T n ＝21×1＋22
×3＋23
×5＋…＋2
n －1
×(2n －3)＋2n
×(2n －1)，①
则2T n ＝22×1＋23×3＋24×5＋…＋2n ×(2n －3)＋2n ＋1
×(2n －1)，②
②－①得T n ＝2n ＋1
×(2n －1)－2－23－24－…－2
n ＋1
，
故T n ＝2n ＋1
×(2n －1)－2－23
（1－2n －1
）
1－2
＝2
n ＋1
×(2n －3)＋6.
【难点突破】
16．解：(1)因为S 15＝15a 8，设{a n }的公差为d ，则有⎩
⎪⎨⎪⎧a 1＋4d ≥10，①
a 1＋7d <17，②
由①得－a 1－4d ≤－10，③ ②＋③有3d <7⇔d <7
3
，所以d ＝2.
将d ＝2代入①、②有a 1≥2且a 1<3，所以a 1＝2. 故a n ＝2＋(n －1)×2，即a n ＝2n (n ∈N *
)． (2)由(1)可知a 1＝2，a 3＝6，∴公比q ＝a 3a 1
＝3，
ab n ＝2·3(n ＋2)－1＝2·3n ＋1.
又ab n ＝a 1＋(b n －1)×2＝2b n ， ∴2·3
n ＋1
＝2b n ，即b n ＝3
n ＋1
，故c n ＝
3
n ＋1
－14
. 此时当n ＝1，3，5时符合要求；当n ＝2，4时不符合要求． 由此可猜想：当且仅当n ＝2k －1，k ∈N *
时，c n 为正整数． 证明如下：
逆用等比数列的前n 项和公式有：c n ＝12×1－3n ＋1
1－3＝12(1＋3＋32＋ (3)
)．
当n ＝2k ，k ∈N *
时，上式括号内为奇数个奇数之和，为奇数，此时c n ∉N *
； 当n ＝2k －1，k ∈N *
时，上式括号内为偶数个奇数之和，为偶数，此时c n ∈N *
. 故满足要求的所有n 为n ＝2k －1，k ∈N *
.。