广西梧州市、桂林市、贵港市等2019届高三上学期期末考试数学试卷(文科)

2018-2019学年广西梧州市、桂林市、贵港市等高三（上）
期末数学试卷（文科）
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1.设集合，则
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简集合A，根据补集的定义写出∁R A．
【详解】集合，则．
故选：D．
【点睛】本题考查了补集的定义与应用问题，是基础题．
2.
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
直接由复数代数形式的乘除运算化简得答案．
【详解】．
故选：A．
【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，是基础题．
3.已知函数，则
A. B. 1 C. 4 D. 82
【答案】B
【解析】
【分析】
推导出，从而，由此能求出结果．
【详解】函数，∴，．故选：B．
【点睛】本题考查分段函数求值的方法，关键是将自变量代入相应范围的解析式中，是基础题．
4.若双曲线的离心率为2，则其实轴长为
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
由双曲线方程求得，根据离心率和列方程组，解方程组求得的值，由此得到实轴的值.
【详解】双曲线方程知，由离心率得，结合，解得，故
实轴长.故选D.
【点睛】本小题主要考查双曲线的几何性质，包括离心率、实轴等知识，考查了方程的思想.在题目给定的条件中，双曲线的方程是未知，给定；离心率的值给定，相当于给定的值；再结合双曲线中固有的条件，相当于两个未知数，两个方程以及，解方程可求得的值.值得注意的是，实轴长是而不是.
5.如图所示的是欧阳修的卖油翁中讲述的一个有趣的故事，现模仿铜钱制作一个半径为2cm的圆形铜片，中间有边长为1cm的正方形孔若随机向铜片上滴一滴水水滴的大小忽略不计，则水滴正好落人孔中的概率是
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
利用题意将原问题转化为面积比值的问题，整理计算即可求得结果．
【详解】利用面积型几何概型公式可得，
圆形铜片的面积，中间方孔的面积为，
油滴正好落入孔中的概率为正方形的面积与圆的面积的比值，
即油滴正好落入孔中的概率为．
故选：D．
【点睛】本题考查几何概型及其应用，重点考查学生对基础概念的理解和计算能力，属于基础题．
6.已知函数与的部分图象如图所示，则
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
【答案】B
【解析】
【分析】
由图知过原点的图像的解析式为，观察图像利用最值和周期即可得到A和值. 【详解】观察图像可得，过（0,1）的图像对应函数解析式为，，
函数,则f(0)=0,即为过原点的图像，由f(x)图像可知，，
可得.
故选：B.
【点睛】本题考查由函数图像确定函数解析式，考查正弦函数和余弦函数图像的性质，属基础题.
7.的内角A，B，C的对边分别为a，b，若，，，则
A. 3
B. 4
C. 6
D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】
由,利用正弦定理可得,设，则，再利用余弦定理列方程求出，从而可得结果.
【详解】,
所以由正弦定理可得,
设，则.
由余弦定理得，
解得（舍去），从而. 故选C.
【点睛】本题考查了正弦、余弦定理的应用,属于中档题.正弦定理是解三角形的有力工具，其常见用法有以下三种：（1）知道两边和一边的对角，求另一边的对角（一定要注意讨论钝角与锐角）；（2）知道两角与一个角的对边，求另一个角的对边；（3）化简证明过程中边角互化；（4）求三角形外接圆半径.
8.函数的图象大致为
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
由，即函数y＝f（x）为奇函数，排除A，C，再由排除D，得到结论. 【详解】因为，此函数定义域为R，又因为，
即函数为奇函数，其图象关于原点对称，故排除选项A，C，
当时，，故排除D，
故选：B．
【点睛】本题考查了函数的奇偶性的应用，利用函数的性质及特殊点的函数值进行排除选项是常用的方法，属于基础题.
9.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成，利用圆锥与圆柱的表面积公式求解即可.
【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱拼接而成．
该几何体的表面积．
故选：A．
【点睛】本题考查了三视图还原几何体，考查了旋转体的表面积公式，考查了空间想象与运算能力，属于简单题．
10.函数在上的最小值为
A. B. C. D. 2e
【答案】A
【解析】
【分析】
求函数的导数，由此得到函数在区间上的单调性，并求出极值和最值.
【详解】依题意，故函数在区间上单调递
减，在区间上单调递增，故函数在处取得极小值也即是最小值，且最小值为
.故选A.
【点睛】本小题考查函数最小值的求法，考查利用导数求函数的最值的方法.属于基础题.求函数的最值可以考虑以下几个方面：如果函数是二次函数，则可利用配方法求得函数的最值.如果函数是单调的函数，可利用单调性求得最值.如果函数符合基本不等式应用的条件，则可利用基本不等式来求得最值.还有一种方法就是利用函数的导数来求得函数的单调区间、极值进而求最值.
11.设P为椭圆C：上一动点，，分别为左、右焦点，延长至点Q，使得
，则动点Q的轨迹方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
推导出，，从而，进而得到Q 的轨迹为圆，由此能求出动点Q的轨迹方程．
【详解】为椭圆C：上一动点，，分别为左、右焦点，
延长至点Q，使得，
，，
，
的轨迹是以为圆心，为半径的圆，
动点Q的轨迹方程为．
故选：C．
【点睛】本题考查动点的轨迹方程的求法，考查椭圆的定义、圆的标准方程等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
12.设，，则
A. 且
B. 且
C. 且
D. 且
【答案】B
【解析】
【分析】
容易得出；，从而得出结论．
【详解】，∴；又；即，；
∴，．
故选：B．
【点睛】本题考查对数函数的单调性的应用，确定a，b两数的范围是关键，属于中档题．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13.已知向量，的夹角为，且，，则______．
【答案】-2
【解析】
【分析】
利用数量积公式直接进行计算即可得到答案.
【详解】由向量的夹角为，且，
得.
故答案为：-2.
【点睛】本题考查数量积公式的应用，属于基础题.
14.设x，y满足约束条件，则的最大值为______．
【答案】7
【解析】
【分析】
由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合即可求得z＝2x+y的最大值．
【详解】由x，y满足约束条件作出可行域如图，
联立，解得，化为，由图可知，当直线
过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最大值为7．
故答案为：7．
【点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题．
15.已知，且，则______．
【答案】
【解析】
【分析】
展开两角和与差的正弦求得后弦化切，再由二倍角的正切求得，列关于的等式，求解值即可．
【详解】∵，
∴，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，涉及两角和的正弦公式及二倍角的正切公式，是基础的计算题．
16.设为一个圆柱上底面的中心，A为该圆柱下底面圆周上一点，这两个底面圆周上的每
个点都在球O的表面上若两个底面的面积之和为，与底面所成角为，则球O的表面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】
设球的半径为，圆柱下底面半径为,为一个圆柱下底面的中心，根据圆柱的几何特征，可得，解出半径，则球的表面积可求．
【详解】解：设球的半径为，圆柱上下底面半径为，为一个圆柱下底面的中心，由题意知得，与底面所成角为，在中,
根据圆柱的几何特征，即.
故该球的表面积，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆柱外接球的表面积，根据已知求出球的半径是解答该题的关键，是基础题
三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）
17.在等比数列中，已知，．
求的通项公式；
若，分别为等差数列的前两项，求的前n项和．
【答案】（1）；（2）.
【解析】
【分析】
(1)求出等比数列的公比q，进而得到其通项公式；
（2）求出等差数列公差d，再利用等差数列的前n项和公式求解.
【详解】（1）∵公比，∴.
（2）∵，，-8+4=12,
∴，公差.
故.
【点睛】本题考查了等比数列的基本量计算和等比数列的通项公式，考查了等差数列的基本
量计算和前n项和公式.是基础题.
18.如图所示，在三棱锥中，平面ABC，，且．
证明：平面平面PAC；
设棱AB，BC的中点分别为E，D，若四面体PBDE的体积为，求的面积．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）由平面ABC，得，再由，得平面PAC，由此能证明平面
平面PAC．
（2）设，则代入四面体PBDE的体积公式，求出a＝2，由此能求出△PBE的面积．
【详解】平面ABC，平面ABC，，，，平面PAC，又平面PBC，平面平面PAC．
设，则，四面体PBDE的体积为：，
解得，∴∴的面积．
【点睛】本题考查面面垂直的证明，考查锥体体积公式的应用，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
19.2018年中秋节到来之际，某超市为了解中秋节期间月饼的销售量，对其所在销售范围内的1000名消费者在中秋节期间的月饼购买量单位：进行了问卷调查，得到如下频率分布直方图：
求频率分布直方图中a的值；
以频率作为概率，试求消费者月饼购买量在的概率；
已知该超市所在销售范围内有20万人，并且该超市每年的销售份额约占该市场总量的
，请根据这1000名消费者的人均月饼购买量估计该超市应准备多少吨月饼恰好能满足
市场需求频率分布直方图中同一组的数据用该组区间的中点值作代表？
【答案】（1）；（2）0.62；（3）12.08吨
【解析】
【分析】
（1）由频率分布直方图列出方程能求出a．
（2）由频率分布直方图先求出满足题意的频率，即得概率．
（3）由频率分布直方图先求出人均月饼购买量，由此能求出该超市应准备12.08吨月饼恰好能满足市场需求．
【详解】由，解得．消费者月饼购买量在的频率为：
，
费者月饼购买量在的概率为．
由频率分布直方图得人均月饼购买量为：
，
∴万克吨，
∴该超市应准备吨月饼恰好能满足市场需求．
【点睛】本题考查用样本的频率分布估计总体分布及识图的能力，求解的重点是对题设条件及直方图的理解，了解直方图中每个小矩形的面积的意义，是中档题．
20.在直角坐标系xOy中直线与抛物线C：交于A，B两点，且．
求C的方程；
若D为直线外一点，且的外心M在C上，求M的坐标．
【答案】（1）（2）的坐标为或.
【解析】
【分析】
（1）将直线方程与抛物线方程联立，设出A,B点坐标，根据韦达定理得x1x2和y1y2表达式，根据OA⊥OB可知x1x2+y1y2=0，即可求得p，从而得抛物线方程．（2）三角形的外心为中垂线的交点，利用中点坐标公式得线段AB中点N的坐标，得到线段的中垂线方程，将中垂线方程与抛物线方程联立即可得到外心M.
【详解】（1）联立得，设A(
则，.
从而.
，，
即，解得.故的方程为.
（2）设线段的中点为.
由（1）知，，.
则线段的中垂线方程为，即.
联立得，解得或4.
从而的外心的坐标为或.
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系，将直线方程与抛物线方程联立，其中韦达定理是解题的关键，同时考查向量知识和三角形外心的应用.
21.已知函数．
当时，求的单调区间；
当且时，若有两个零点，求a的取值范围．
【答案】（1）在，上单调递增，在上单调递减；（2）.
【解析】
【分析】
（1）求出导函数，分两种情况讨论，分别利用，求得的范围，从而可得
结果；（2）讨论时，可得，利用，，且
，只需，解得；当时，在，上单调递增，在上单调递减，可证明极大值，只有一个零点，不合题意，综合两种情况可得结果.
【详解】（1）.
当时，由，得或；
由，得.
故在，上单调递增，在上单调递减.
（2）①当时，在上单调递增，在上单调递减，
则，
因为，，且，
所以，即.
②当时，在，上单调递增，在上单调递减，
在时取得极大值，且，
因为，所以，则，
所以在只有一个零点.
综上，的取值范围为.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，以及利用导数研究函数的零点问题，属于难题.利用导数求函数的单调区间的一般步骤：1、求出；2、在定义域内，令
求得的范围，可得函数增区间；3、在定义域内，利用求得的范围，可得函数
的减区间.
22.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为，为参数，以坐标原点为极点x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为．
求直线l的普通方程及曲线C的直角坐标方程；
若直线l与曲线C交于A，B两点，，求．
【答案】（1）x+y-1=0, ；（2）.
【解析】
【分析】
(1)运用消参方法求出直线的普通方程，结合公式代入求出曲线的直角坐标方程
(2)运用参量代入计算，求出的结果
【详解】（1）直线的普通方程为：.
由，得，
则，故曲线的直角坐标方程为.
（2）将代入，得，
则，故.
【点睛】本题考查了参数方程与普通方程之间的转化，较为简单，在计算长度的时候将参量代入进行求解会减小计算量，方便计算
23.已知函数．
求不等式的解集；
若的最小值为k，且，证明：．
【答案】（1）；（2）见解析.
【解析】
【分析】
(1)分类讨论三种情况下的解集
(2)先求出的最小值为，代入后运用基本不等式证明不等式成立
【详解】（1）由，得，
则或或，
解得：，故不等式的解集为.
（2）证明：因为，
所以，
因为，所以，
当且仅当，即时取等号，故.
【点睛】本题考查了含有绝对值的不等式解法，需要对其分类讨论，然后再求解，在证明不等式时运用了基本不等式的用法，需要掌握此类题目的解法。