2 .2超几何分布-北师大版高中数学选修2-3练习

§2 超几何分布
A组
1.一个袋中有6个同样的黑球,编号为1,2,3,4,5,6,还有4个同样的白球,编号为7,8,9,10.现从中任取4个球,有如下几种变量:
①X表示取出的最大号码;②Y表示取出的最小号码;③取出一个黑球记2分,取出一个白球记1分,ξ表示取出的4个球的总得分;④η表示取出的黑球个数.
这四种变量中服从超几何分布的是( )
A.①②
B.③④
C.①②④
D.①②③④
答案:B
2.一个盒子里装有除颜色外都相同的红球、白球共30个,其中白球4个.从中任取两个,则概率为C261C41+C42
C302
的事件是( )
A.没有白球
B.至少有一个白球
C.至少有一个红球
D.至多有一个白球
解析:C261C41+C42
C302=C261C41
C302
+C42
C302
表示任取的两个球中只有一个白球和两个都是白球的概率,即至少有
一个白球的概率.
答案:B
3.一个盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒中任取3个球来用,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,其分布列为P(X),则P(X=4)的值为( )
A.1
220B.27
55
C.27
220
D.21
25
解析:由题意取出的3个球必为2个旧球1个新球,故P(X=4)=C32×C91
C123=27
220
.
答案:C
4.10名同学中有a 名女生,若从中选取2人作为学生代表参加某研讨会,则恰选取1名女生的概率为16
45,则a= ( )
A.1
B.2或8
C.2
D.8
解析:由题意知选取女生的人数服从超几何分布,所以C a 1C 10-a
1C 10
2
=
16
45
,解得a=2或a=8.
答案:B
5.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张,则至少有3张A 的概率为( ) A.
C 43C 482C 52
5 B.
C 483C 4
2C 52
5 C.1-C 481C 4
4C 525
D.C 43C 482+C 44C 48
1C 52
5 解析:设X 为抽出的5张扑克牌中A 的张数,则P(X ≥3)=P(X=3)+P(X=4)=
C 43C 482
C 52
5+
C 44C 481
C 52
5=
C 43C 482+C 44C 48
1C 52
5. 答案:D
6.有学生10人,其中男生3人女生7人,现需选出3人去某地调查,则3人中既有男生又有女生的概率为 .
解析:由题意得,3人中既有男生又有女生的概率为C 31C 72+C 32C 71C 10
3=7
10.
答案:7
10
7.已知某批产品共100件,其中二等品有20件.从中任意抽取2件,ξ表示取出的2件产品中二等品的件数,试填写下列关于ξ的分布列.
解析:ξ的可能取值为0,1,2,ξ服从参数为N=100,M=20,n=2的超几何分布,则
P(ξ=0)=C 200C 80
2
C 100
2
=
316495,P(ξ=1)=C 201C 80
1C 100
2=32
99,P(ξ=2)=
C 202C 80
0C 100
2=19
495.
答案:316
49532
99
19
495
8.导学号43944030某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,随机抽取该流水线上40件产品作为样本称出它们的重量(单位:克),重量的分组区间为
(490,495],(495,500],…,(510,515],由此得到样本的频率分布直方图,如图所示.
(1)根据频率分布直方图,求重量超过505克的产品数量;
(2)在上述抽取的40件产品中任取2件,设Y为重量超过505克的产品数量,求Y的分布列.
解(1)根据频率分布直方图可知,重量超过505克的产品数量为40×(0.05×5+0.01×5)=40×0.3=12.
(2)Y的可能取值为0,1,2,
P(Y=0)=C282C120
C402=63
130
,
P(Y=1)=C281C121
C402=28
65
,
P(Y=2)=C280C122
C402=11
130
,
故Y的分布列为
B组
1.一个小组有6人,任选2名代表,则其中甲当选的概率是( )
A.1
2B.1
3
C.1
4
D.1
5
解析:设X表示2名代表中含有甲的个数,X的可能取值为0,1, 由题意知X服从超几何分布,其中参数为N=6,M=1,n=2,
则P(X=1)=C11C51
C62=1
3
.
答案:B
2.有10件产品,其中3件是次品,从中任取2件,若离散型随机变量X表示取得次品的件数,则
P(X<2)等于( )
A.7
15B.8
15
C.14
15
D.1
解析:P(X=0)=C72
C102=7
15
,P(X=1)=C71C31
C102
=7
15
,
∴P(X<2)=14
15
.
答案:C
3.一个盒子里装有大小、形状、质地相同的黑球10个,红球12个,白球4个,从中任取2个,其
中白球的个数记为X,则等于C221C41+C222
C262
的是( )
A.P(0<X≤2)
B.P(X≤1)
C.P(X≥1)
D.P(X≥2)
解析:由条件知,随机变量X服从参数为N=26,M=4,n=2的超几何分布,其中X的不同取值为0,1,2,且
P(X=k)=C4k C222-k
C262
(k=0,1,2).
∴P(X=0)=C40C222
C262,P(X=1)=C41C221
C262
,
P(X=2)=C42
C262
.
∴P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=C222+C41C221
C262
.
答案:B
4.口袋内装有10个大小、形状、质地相同的球,其中5个球标有数字0,5个球标有数字1,若从口袋中摸出5个球,那么摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率是(用数字作答).
解析:{ξ=i}表示“摸出的5个球所标数字之和为i”(i=0,1,2,3,4,5),则P(ξ=0)=C55
C105
,P(ξ
=1)=C54C51
C105,P(ξ=4)=C51C54
C105
,P(ξ=5)=C55
C105
,故摸出的5个球所标数字之和小于2或大于3的概率为
P(ξ=0)+P(ξ=1)+P(ξ=4)+P(ξ=5)=2(C55+C51C54)
C105=2×26
252
=13
63
.
答案:13
63
5.盒中装有除颜色外,其余完全相同的5个球,其中红色球3个,黄色球2个.若从中随机取出2个球,则所取出的2个球颜色不同的概率等于.
解析:由题意知,从5个球中随机取出2个球共有C52=10种不同取法,而取出的球颜色不同共有
C31C21=6种不同取法,故所取出的2个球颜色不同的概率为P=C31C21
C52=6
10
=3
5
.
答案:3
5
6.50张彩票中只有2张中奖票,今从中任取n张,为了使这n张彩票里至少有1张中奖的概率大于0.5,n至少为.
解析:设随机变量X表示“抽出中奖票的张数”,则X服从超几何分布,其中N=50,M=2,X可取0,1,2,
∴P(X≥1)=P(X=1)+P(X=2)=C21C48n-1
C50n +C22C48n-2
C50n
>0.5,且n∈N+,解得n≥15.
答案:15
7.导学号43944031从某小区抽取100户居民进行月用电量调查,发现其月用电量都在50千瓦时至350千瓦时之间,频率分布直方图如图所示.
(1)根据频率分布直方图求x的值,并估计该小区100户居民的月均用电量(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)从该小区已抽取的100户居民中,随机抽取月用电量超过250千瓦时的3户参加节约用电知识普及讲座,其中恰有ξ户月用电量超过300千瓦时,求ξ的分布列.
解(1)由已知得50×(0.0012+0.0024×2+0.0036+x+0.0060)=1,解得x=0.0044.
设该小区100户居民的月均用电量为S,
则S=0.0024×50×75+0.0036×50×125+0.0060×50×175+0.0044×50×225+0.0024×50×275+0.0012×50×325=9+22.5+52.5+49.5+33+19.5=186(千瓦时).
(2)月用电量在(250,300]的用户数为0.0024×50×100=12,
月用电量在(300,350]的用户数为0.0012×50×100=6,
ξ的可能取值为0,1,2,3,
且P(ξ=0)=C123
C183=55
204
,
P(ξ=1)=C122C61
C183=33
68
,
P(ξ=2)=C121C62
C183=15
68
,
P(ξ=3)=C63
C183=5
204
,
所以ξ的分布列为
8.导学号43944032某大学志愿者协会有10名同学,成员构成如下表:
已知从这10名同学中随机抽取一名,抽到的同学为数学专业的概率为2
5
.
现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动.
(1)求m,n的值;
(2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率;
(3)设ξ为选出的3名同学中“女生或数学专业”的学生的人数,求随机变量ξ的分布列. 解(1)设事件A为从10名同学中随机抽取一名,抽到的同学为数学专业.
由题意可知,P(A)=1+m
10=2
5
,解得m=3.
所以n=10-6-3=1.
(2)设事件B为选出的3名同学恰为专业互不相同的男生.
由题意得P(B)=C31C32+1
C103=1
12
.
(3)ξ的可能取值为0,1,2,3,
且P(ξ=0)=C33
C103=1
120
,
P(ξ=1)=C71C32
C103=21
120
=7
40
,
P(ξ=2)=C72C31
C103=63
120
=21
40
,
P(ξ=3)=C73
C103=35
120
=7
24
,
所以ξ的分布列为。