盐城市盐都区2015-2016学年八年级下期中数学试卷含答案解析

2015-2016学年江苏省盐城市盐都区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．在、、、、、a+中，分式的个数有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
3．下列计算错误的是（）
A．B．
C．D．
4．下列事件中，是不可能事件的是（）
A．买一张电影票，座位号是奇数
B．射击运动员射击一次，命中9环
C．明天会下雨
D．度量三角形的内角和，结果是360°
5．在▱ABCD中，如果添加一个条件，就可推出▱ABCD是矩形，那么添加的条件可以是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
6．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是（）
A．32 B．24 C．40 D．20
7．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交FG于点P，则DP等于（）
A．2B．4C．2 D．1
8．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）
A．4s B．3s C．2s D．1s
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
9．使分式有意义的x的取值范围是．
10．计算：=．
11．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他安全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在0.15左右，则口袋中红色球可能有个．
12．要使分式的值为0，则x的值为．
13．从形状、大小相同的9张数字卡片（分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9）中任意抽1张，抽出的恰好是：①偶数；②小于6的数；③不小于9的数，这些事件按发生的可能性从大到小排列是（填序号）
14．若方程有增根，则a=．
15．甲、乙两地相距48千米，一艘轮船从甲地顺流航行至乙地，又立即从乙地逆流返回甲地，共用时9小时，已知水流的速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，则根据题意列出的方程为．
16．如图，已知正方形ABCD，点E在边DC上，DE=4，EC=2，则AE的长为．
17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为．
18．如图，在菱形ABCD中，边长为1，∠A=60°，顺次连结菱形ABCD各边中点，可得四边形A1B1C1D1；顺次连结四边形A1B1C1D1各边中点，可得四边形A2B2C2D2；顺次连结四边形A2B2C2D2各边中点，可得四边形A3B3C3D3；按此规律继续下去…，则四边形
A2016B2016C2016D2016的面积是．
三、解答题（共9小题，满分76分）
19．计算：
（1）（a2+3a）÷；
（2）（a+）÷（a﹣2+）．
20．化简求值： •（），其中x=．
21．解分式方程：．
22．某学校开展课外体育活动，决定开设A ：篮球、B ：乒乓球、C ：踢毽子、D ：跑步四种活动项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（2016•邳州市一模）某中学组织学生到离学校15km 的东山游玩，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5h ，先遣队的速度是多少？大队的速度是多少？
24．如图，▱ABCD 中，点E ，F 在对角线BD 上，且BE=DF ，求证：
（1）AE=CF ；
（2）四边形AECF 是平行四边形．
25．如图，四边形ABCD 是平行四边形，点E 在BC 的延长线上，且CE=BC ，AE=AB ，AE 、DC 相交于点O ，连接DE ．
（1）求证：四边形ACED 是矩形；
（2）若∠AOD=120°，AC=4，求对角线CD 的长．
26．如图，将矩形ABCD 折叠，使点A 与点C 重合，折痕交BC 、AD 分别于点E 、F ． （1）求证：四边形AECF 是菱形；
（2）若AB=4，BC=8，求菱形AECF 的面积．
27．在正方形ABCD 中，点E ，F 分别在边BC ，CD 上，且∠EAF=∠CEF=45°．
（1）将△ADF 绕着点A 顺时针旋转90°，得到△ABG （如图①），求证：△AEG ≌△AEF ；
（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
2015-2016学年江苏省盐城市盐都区八年级（下）期中数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）
1．下列图案中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（）
A．1个B．2个C．3个D．4个
【考点】中心对称图形；轴对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念解答．
【解答】解：第一个图形既不是中心对称图形又不是轴对称图形；
第二个图形既是中心对称图形又是轴对称图形；
第三个图形不是中心对称图形，是轴对称图形；
第四个图形既是中心对称图形又是轴对称图形，
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．在、、、、、a+中，分式的个数有（）
A．2个B．3个C．4个D．5个
【考点】分式的定义．
【分析】根据分母中含有字母的式子是分式，可得答案．
【解答】解：、是分式，
故选：A．
【点评】本题考查了分式的定义，分母中含有字母的式子是分式，否则是整式，注意π是
常数，是整式．
3．下列计算错误的是（）
A．B．
C．D．
【考点】约分；分式的加减法．
【分析】分别利用分式加减法则以及约分的定义，分别化简得出即可．
【解答】解：A、+=，正确，不合题意；
B、=﹣1，正确，不合题意；
C、=，故原式错误，符合题意；
D、=，正确，不合题意；
故选：C．
【点评】此题主要考查了约分和分式加减法则应用，正确将分式约分以及变形得出是解题关键．
4．下列事件中，是不可能事件的是（）
A．买一张电影票，座位号是奇数
B．射击运动员射击一次，命中9环
C．明天会下雨
D．度量三角形的内角和，结果是360°
【考点】随机事件．
【分析】不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．
【解答】解：A、买一张电影票，座位号是奇数，是随机事件，故A选项错误；
B、射击运动员射击一次，命中9环，是随机事件，故B选项错误；
C、明天会下雨，是随机事件，故C选项错误；
D、度量一个三角形的内角和，结果是360°，是不可能事件，故D选项正确．
故选：D．
【点评】本题考查了不可能事件、随机事件的概念．用到的知识点为：不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
5．在▱ABCD中，如果添加一个条件，就可推出▱ABCD是矩形，那么添加的条件可以是（）A．AB=BC B．AC=BD C．AC⊥BD D．AB⊥BD
【考点】平行四边形的性质．
【分析】根据对角相等的平行四边形是矩形可得答案．
【解答】解：在▱ABCD中，如果添加一个条件，就可推出▱ABCD是矩形，那么添加的条件可以AC=BD，
故选：B．
【点评】此题主要考查了矩形的判定，关键是掌握矩形的判定定理．
6．如图，菱形ABCD的两条对角线相交于O，若AC=8，BD=6，则菱形ABCD的周长是（）
A．32 B．24 C．40 D．20
【考点】菱形的性质．
【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得BO=OD，AO=OC，在Rt△AOD 中，根据勾股定理可以求得AB的长，即可求菱形ABCD的周长．
【解答】解：∵菱形ABCD的两条对角线相交于O，AC=8，BD=6，由菱形对角线互相垂直平分，
∴BO=OD=3，AO=OC=4，
∴AB==5，
故菱形的周长为20，
故选：D．
【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，以及菱形各边长相等的性质，本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键．
7．如图，边长分别为4和8的两个正方形ABCD和CEFG并排放在一起，连结BD并延长交FG于点P，则DP等于（）
A．2B．4C．2 D．1
【考点】正方形的性质．
【分析】由正方形的性质易证△DGP是等腰直角三角形，所以利用勾股定理即可求出DP 的长．
【解答】解：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=CB=DC=AD=4，∠BDC=45°，
∵四边形GCEF是正方形，
∴∠G=90°，
∵∠BCD=∠GDP=45°，
∴∠GDP=45°，
∴GD=GP，
∵GC=8，
∴GD=GP=4，
∴DP==4，
故选：B．
【点评】本题考查了正方形的性质以及勾股定理的运用，解题的关键是熟记正方形的对角线平分一组对角以及等腰直角三角形的判定与性质．
8．如图，在四边形ABCD中，AB∥DC，AD=BC=5，DC=7，AB=13，点P从点A出发以3个单位/s的速度沿AD→DC向终点C运动，同时点Q从点B出发，以1个单位/s的速度沿BA向终点A运动．当四边形PQBC为平行四边形时，运动时间为（）
A．4s B．3s C．2s D．1s
【考点】平行四边形的判定．
【专题】动点型．
【分析】首先利用t表示出CP和CQ的长，根据四边形PQBC是平行四边形时CP=BQ，据此列出方程求解即可．
【解答】解：设运动时间为t秒，则CP=12﹣3t，BQ=t，
根据题意得到12﹣3t=t，
解得：t=3，
故选B．
【点评】本题考查了平行四边形的判定及动点问题，解题的关键是化动为静，分别表示出CP和BQ的长，难度不大．
二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）
9．使分式有意义的x的取值范围是x≠﹣3．
【考点】分式有意义的条件．
【专题】计算题．
【分析】分式有意义的条件是分母不为0．
【解答】解：若分式有意义，则x+3≠0，
解得：x≠﹣3．
故答案为x≠﹣3．
【点评】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
10．计算：=2．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】原式第二项变形后，利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．
【解答】解：原式=﹣
=
=2．
故答案为：2．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
11．在一个不透明的布袋中装有红色、白色玻璃球共40个，除颜色外其他安全相同，小明通过多次摸球试验后发现，其中摸到红色球的频率稳定在0.15左右，则口袋中红色球可能有6个．
【考点】利用频率估计概率．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，根据红球的频率，乘以总球数求解．
【解答】解：40×0.15=6（个）．
故答案为：6．
【点评】此题考查利用频率估计概率，解答此题的关键是根据口袋中红色球所占的比例，计算其个数．
12．要使分式的值为0，则x的值为﹣2．
【考点】分式的值为零的条件．
【专题】计算题．
【分析】根据分式的值为零的条件可以求出x的值．
【解答】解：由分式的值为零的条件得x+2=0且x﹣1≠0，
由x+2=0，得x=﹣2，
故答案为﹣2．
【点评】本题考查了分式的值为零的条件，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可．
13．从形状、大小相同的9张数字卡片（分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，9）中任意抽1张，抽出的恰好是：①偶数；②小于6的数；③不小于9的数，这些事件按发生的可能性从大到小排列是②①③（填序号）
【考点】可能性的大小；随机事件．
【分析】先找出恰好是偶数的有4张卡片，小于6的有5张卡片，不小于9的有1张卡片，再根据概率公式分别进行求解，然后比较即可．
【解答】解：从形状、大小相同的9张数字卡片（分别标有数字1，2，3，4，5，6，7，8，
9）中任意抽1张，抽出的恰好是偶数的概率是；
小于6的数的概率是；
不小于9的数概率是，
则这些事件按发生的可能性从大到小排列是②①③；
故答案为：②①③．
【点评】此题考查可能性大小的比较：只要总情况数目相同，谁包含的情况数目多，谁的可能性就大；反之也成立；若包含的情况相当，那么它们的可能性就相等．
14．若方程有增根，则a=4．
【考点】分式方程的增根．
【专题】计算题．
【分析】方程两边同乘以（x﹣4）得x=2（x﹣4）+a，整理后得x+a﹣8=0，由于方程
有增根，则x﹣4=0，即x=4，然后把x=4代入x+a﹣8=0即可求出a的值．【解答】解：去分母得x=2（x﹣4）+a，
整理得x+a﹣8=0，
∵方程有增根，
∴x﹣4=0，即x=4，
∴4+a﹣8=0，
∴a=4．
故答案为4．
【点评】本题考查了分式方程的增根：先去分母，把分式方程转化为整式方程，再解整式方程，当整式方程的解使分式方程中的分母为0时，就说这个整式方程的解是分式方程的增根．
15．甲、乙两地相距48千米，一艘轮船从甲地顺流航行至乙地，又立即从乙地逆流返回甲地，共用时9小时，已知水流的速度为4千米/时，若设该轮船在静水中的速度为x千米/时，
则根据题意列出的方程为=9．
【考点】由实际问题抽象出分式方程．
【专题】应用题．
【分析】要求的未知量是速度，有路程，一定是根据时间来列等量关系的．关键描述语是：“共用时9小时”；等量关系为：顺流所用度数时间+逆流所用的时间=9．
【解答】解：顺流所用的时间为：，逆流所用的时间为：．所列方程为：
=9．
【点评】题中一般有三个量，已知一个量，求一个量，一定是根据另一个量来列等量关系的．找到关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键．本题需注意顺流速度与逆流速度的求法．
16．如图，已知正方形ABCD，点E在边DC上，DE=4，EC=2，则AE的长为．
【考点】正方形的性质；勾股定理．
【分析】在RT△ADE中，利用勾股定理AE=即可解决问题．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=DC，∠D=90°，
∵DE=4，EC=2，
∴AD=CD=6，
在RT△ADE中，∵∠D=90°，AD=6．DE=4，
∴AE===．
故答案为．
【点评】本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理解决问题，属于基础题，中考常考题型．
17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为6．
【考点】轴对称-最短路线问题；正方形的性质．
【专题】计算题．
【分析】连接BD，DE，根据正方形的性质可知点B与点D关于直线AC对称，故DE的长即为BQ+QE的最小值，进而可得出结论．
【解答】解：连接BD，DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点B与点D关于直线AC对称，
∴DE的长即为BQ+QE的最小值，
∵DE=BQ+QE===5，
∴△BEQ周长的最小值=DE+BE=5+1=6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是轴对称﹣最短路线问题，熟知轴对称的性质是解答此题的关键．
18．如图，在菱形ABCD 中，边长为1，∠A=60°，顺次连结菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1；顺次连结四边形A 1B 1C 1D 1各边中点，可得四边形A 2B 2C 2D 2；顺次连结四边形A 2B 2C 2D 2各边中点，可得四边形A 3B 3C 3D 3；按此规律继续下去…，则四边形
A 2016
B 2016
C 2016
D 2016的面积是 ．
【考点】菱形的性质． 【专题】规律型． 【分析】首先利用已知数据求出菱形ABCD 的面积，易得四边形A 2B 2C 2D 2的面积等于矩形
A 1
B 1
C 1
D 1的面积的，同理可得四边形A 3B 3C 3D 3的面积等于四边形A 2B 2C 2D 2的面积，
那么等于矩形A 1B 1C 1D 1的面积的（）2，同理可得四边形A 2016B 2016C 2016D 2016的面积．
【解答】解：如图，连接AC 、BD ．则AC ⊥BD ．
∵菱形ABCD 中，边长为1，∠A=60°，
∴S 菱形ABCD =AC •BD=1×1×sin60°=
∵顺次连结菱形ABCD 各边中点，可得四边形A 1B 1C 1D 1，
易证四边形A 1B 1C 1D 1是矩形，
S 矩形A1B1C1D1=C •BD=AC •BD=S 菱形ABCD ．
同理，S 四边形A2B2C2D2=S 矩形A1B1C1D1=S 菱形ABCD ，
S矩形A3B3C3D3=（）3S
．
菱形ABCD
，
四边形A2016B2016C2016D2016的面积是=S
菱形ABCD=
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形以及中点四边形的性质．找到中点四边形的面积与原四边形的面积之间的关系是解决本题的关键．
三、解答题（共9小题，满分76分）
19．计算：
（1）（a2+3a）÷；
（2）（a+）÷（a﹣2+）．
【考点】分式的混合运算．
【分析】（1）因式分解，把除法改为乘法计算即可；
（2）先通分计算括号里面的加法，再算除法．
【解答】解：（1）原式=a（a+3）•
=﹣a；
（2）原式=÷
=•
=．
【点评】此题考查分式的混合运算，掌握运算顺序与运算方法是解决问题的关键．
20．化简求值：•（），其中x=．
【考点】分式的化简求值．
【专题】计算题．
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，将x 的值代入计算即可求出值．
【解答】解：原式=•=x+1，
当x=时，原式=．
【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
21．解分式方程：．
【考点】解分式方程．
【专题】计算题．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x（x+1）﹣x2+1=2，
去括号得：x2+x﹣x2+1=2，
解得：x=1，
经检验x=1是增根，分式方程无解．
【点评】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．
22．某学校开展课外体育活动，决定开设A：篮球、B：乒乓球、C：踢毽子、D：跑步四种活动项目．为了解学生最喜欢哪一种活动项目（2016•邳州市一模）某中学组织学生到离学校15km的东山游玩，先遣队与大队同时出发，先遣队的速度是大队的速度的1.2倍，结果先遣队比大队早到0.5h，先遣队的速度是多少？大队的速度是多少？
【考点】分式方程的应用．
【分析】首先设大队的速度为x千米/时，则先遣队的速度是1.2x千米/时，由题意可知先遣队用的时间+0.5小时=大队用的时间．
【解答】解：设大队的速度为x千米/时，则先遣队的速度是1.2x千米/时，
=+0.5，
解得：x=5，
经检验x=5是原方程的解，
1.2x=1.2×5=6．
答：先遣队的速度是6千米/时，大队的速度是5千米/时．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用，关键是弄懂题意，表示出大队和先遣队各走15千米所用的时间，根据时间关系：先遣队比大队早到0.5h列出方程解决问题．
24．如图，▱ABCD中，点E，F在对角线BD上，且BE=DF，求证：
（1）AE=CF；
（2）四边形AECF是平行四边形．
【考点】平行四边形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．
【专题】证明题．
【分析】（1）根据平行四边形的性质可得AB=CD，AB∥CD，然后可证明∠ABE=∠CDF，再利用SAS来判定△ABE≌△DCF，从而得出AE=CF．
（2）首先根据全等三角形的性质可得∠AEB=∠CFD，根据等角的补角相等可得
∠AEF=∠CFE，然后证明AE∥CF，从而可得四边形AECF是平行四边形．
【解答】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AB∥CD．
∴∠ABE=∠CDF．
在△ABE和△CDF中，
，
∴△ABE≌△DCF（SAS）．
∴AE=CF．
（2）∵△ABE≌△DCF，
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠AEF=∠CFE，
∴AE∥CF，
∵AE=CF，
∴四边形AECF是平行四边形．
【点评】此题主要考查了平行四边形的性质和判定，关键是掌握平行四边形对边平行且相等，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
25．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BC的延长线上，且CE=BC，AE=AB，AE、DC相交于点O，连接DE．
（1）求证：四边形ACED是矩形；
（2）若∠AOD=120°，AC=4，求对角线CD的长．
【考点】矩形的判定；平行四边形的性质．
【分析】（1）根据平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，AB=DC，求出AD=CE，AD∥CE，AE=DC，根据矩形的判定得出即可；
（2）根据矩形的性质得出OA=AE，OC=CD，AE=CD，求出OA=OC，求出△AOC是等边三角形，即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，AB=DC，
∵CE=BC，
∴AD=CE，AD∥CE，
∴四边形ACED是平行四边形，
∵AB=DC，AE=AB，
∴AE=DC，
∴四边形ACED是矩形；
（2）解：∵四边形ACED是矩形，
∴OA=AE，OC=CD，AE=CD，
∴OA=OC，
∵∠AOC=180°﹣∠AOD=180°﹣120°=60°，
∴△AOC是等边三角形，
∴OC=AC=4，
∴CD=8．
【点评】本题考查了矩形的性质和判定，平行四边形的性质，等边三角形的性质和判定的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．
26．如图，将矩形ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕交BC、AD分别于点E、F．（1）求证：四边形AECF是菱形；
（2）若AB=4，BC=8，求菱形AECF的面积．
【考点】翻折变换（折叠问题）；菱形的判定与性质；矩形的性质．
【分析】（1）由折叠的性质可得：OA=OC，EF⊥AC，即可证得AF=CF，又由四边形ABCD 是矩形，易证得△AOF≌△COE，可得OE=OF，继而可证得四边形AECF是菱形；
（2）首先设CE=x，则AE=x，be=8﹣x，然后由勾股定理求得（8﹣x）2+42=x2，继而求得答案．
【解答】（1）证明：由折叠的性质可得：OA=OC，EF⊥AC，
∴AF=CF，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠FAC=∠ECA，
在△AOF和△COE中，
，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴OE=OF，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵AF=CF，
∴四边形AECF是菱形；
（2）解：设CE=x，则AE=x，be=8﹣x，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B=90°，
∴BE2+AB2=AE2，
∴（8﹣x）2+42=x2，
解得：x=5，即EC=5，
=EC•AB=5×4=20．
∴S
菱形AECF
【点评】此题考查了折叠的性质、矩形的性质、菱形的判定与性质以及勾股定理．注意掌握折叠前后图形的对应关系是解此题的关键．
27．在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
【考点】四边形综合题．
【专题】压轴题．
【分析】（1）根据旋转的性质可知AF=AG，∠EAF=∠GAE=45°，故可证△AEG≌△AEF；（2）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．由（1）知△AEG≌△AEF，则EG=EF．再由△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，得出CE=CF，BE=BM，
NF=DF，然后证明∠GME=90°，MG=NF，利用勾股定理得出EG2=ME2+MG2，等量代换即可证明EF2=ME2+NF2；
（3）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，根据旋转的性质可以得到
△ADF≌△ABG，则DF=BG，再证明△AEG≌△AEF，得出EG=EF，由EG=BG+BE，等量代换得到EF=BE+DF．
【解答】（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，
∴AF=AG，∠FAG=90°，
∵∠EAF=45°，
∴∠GAE=45°，
在△AGE与△AFE中，
，
∴△AGE≌△AFE（SAS）；
（2）证明：设正方形ABCD的边长为a．
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG，连结GM．
则△ADF≌△ABG，DF=BG．
由（1）知△AEG≌△AEF，
∴EG=EF．
∵∠CEF=45°，
∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，
∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，
∴a﹣BE=a﹣DF，
∴BE=DF，
∴BE=BM=DF=BG，
∴∠BMG=45°，
∴∠GME=45°+45°=90°，
∴EG2=ME2+MG2，
∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，
∴EF2=ME2+NF2；
（3）解：EF2=2BE2+2DF2．
如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，
将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．
由（1）知△AEH≌△AEF，
则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，
即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2
又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2
【点评】本题是四边形综合题，其中涉及到正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理．准确作出辅助线利用数形结合及类比思想是解题的关键．
参与本试卷答题和审题的老师有：1286697702；2300680618；gbl210；HJJ；sd2011；wd1899；sjzx；zhjh；sks；1987483819；bjy；lantin；gsls；lanchong；弯弯的小河；CJX；73zzx；zjx111；zcx（排名不分先后）
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2016年7月5日。