《金版新学案》高三数学一轮复习 数列求和随堂检测 文 北师大版

2011《金版新学案》高三数学一轮复习 数列求和随堂检测 文 北师
大版
(本栏目内容，学生用书中以活页形式单独装订成册！)
一、选择题(每小题6分，共36分)
1．数列9,99,999,9 999…的前n 项和等于( )
A ．10n －1 B.109
(10n －1)－n C.109(10n －1) D.109
(10n －1)＋n 【解析】 a n ＝10n －1，
∴S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝(10－1)＋(102－1)＋…＋(10n －1)
＝(10＋102＋…＋10n )－n ＝10(10n －1)9
－n. 【答案】 B
2．设函数f(x)＝x m ＋ax 的导函数f′(x)＝2x ＋1，则数列⎩⎨⎧⎭
⎬⎫1f(n)(n∈N )的前n 项和是( )
A.n n ＋1
B.n ＋2n ＋1
C.n n －1
D.n ＋1n
【解析】 f′(x)＝mx m －1＋a ＝2x ＋1，∴a＝1，m ＝2，
∴f(x)＝x(x ＋1)，1f(n)＝1n(n ＋1)＝1n －1n ＋1
，用裂项相消法求和得 S n ＝n n ＋1
，故选A. 【答案】 A
3．设a n ＝－n 2＋17n ＋18，则数列{a n }从首项到第几项的和最大( )
A ．17
B ．18
C ．17或18
D ．19
【解析】 令a n ≥0，得1≤n≤18.
∵a 18＝0，a 17＞0，a 19＜0，
∴到第18项或17项和最大．
【答案】 C
4．已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，若{log 2a n }是公差为－1的等差数
列，且S 6＝38
，那么a 1的值是( ) A.421 B.631
C.821
D.2131
【解析】 由题知：log 2a n －log 2a n －1＝－1，
∴log 2a n a n －1＝－1，即a n a n －1＝12
， ∴{a n }是以a 1为首项，12
为公比的等比数列，
∴S 6＝a 1[1－(12)6]1－12
＝38，∴a 1＝421. 【答案】 A
5．数列a n ＝1n(n ＋1)，其前n 项之和为910
，则在平面直角坐标系中，直线(n ＋1)x ＋y ＋n ＝0在y 轴上的截距为( )
A ．－10
B ．－9
C ．10
D ．9
【解析】 数列的前n 项和为
11×2＋12×3＋…＋1n(n ＋1)
＝1－1n ＋1＝n n ＋1＝910
，∴n＝9， ∴直线方程为10x ＋y ＋9＝0.
令x ＝0，得y ＝－9，∴在y 轴上的截距为－9.
【答案】 B
6．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2009＋a 2010＞0，a 2009·a 2010＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )
A ．4017
B ．4018
C ．4019
D ．4020
【解析】 ∵a 1＞0，a 2009＋a 2010＞0，a 2009·a 2010＜0，且{a n }为等差数列， ∴{a n }表示首项为正数，公差为负数的单调递减等差数列，且a 2009是绝对值最小的正数，a 2010是绝对值最小的负数(第一个负数)，且|a 2009|＞|a 2010|.
∵在等差数列{a n }中，a 2009＋a 2010＝a 1＋a 4018＞0，
S 4018＝4018(a 1＋a 4018)2
＞0， ∴使S n ＞0成立的最大自然数n 是4018.
【答案】 B
二、填空题(每小题6分，共18分)
7．已知f(n)＝⎩⎪⎨⎪⎧
n ，n 为奇数，－n ，n 为偶数，若a n ＝f(n)＋f(n ＋1)，则a 1＋a 2＋…＋a 2 008＝________.
【解析】 当n 为奇数时，a n ＝f(n)＋f(n ＋1)＝n －n －1
＝－1.当n 为偶数时， a n ＝－n ＋n ＋1＝1.
∴a 1＋a 2＋…＋a 2 008＝0.
【答案】 0
8．若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋3n(n∈N ＋)，则a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1
＝________.
【解析】 令n ＝1得a 1＝4，即a 1＝16，当n≥2时，
a n ＝(n 2＋3n)－[(n －1)2＋3(n －1)]＝2n ＋2，
所以a n ＝4(n ＋1)2，当n ＝1时，也适合，
所以a n ＝4(n ＋1)2(n∈N ＋)．于是a n n ＋1
＝4(n ＋1)， 故a 12＋a 23＋…＋a n n ＋1
＝2n 2＋6n. 【答案】 2n 2＋6n
9．(20008年四川卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4≥10，S 5≤15，则a 4的最大值为______．
【解析】 方法一：
∵ ⎭⎬⎫⎩⎪⎨⎪⎧ S 4＝4a 1＋6d≥10S 5＝5a 1＋10d≤15⇒⎩⎪⎨⎪⎧ －2a 1－3d≤5a 1＋2d≤3⇒d≤1
又∵S 5＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝5a 3≤15⇒a 3≤3⇒a 4
≤4. 故a 4的最大值为4.
方法二：本题也可利用线性规划知识求解．
由题意得：⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋6d≥105a 1＋10d≤15⇒⎩
⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋3d≥5，a 1＋2d≤3. a 4＝a 1＋3d.
画出可行域⎩
⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋3d≥5a 1＋2d≤3，求目标函数a 4＝a 1＋3d 的最大值，即当直线a 4＝a 1＋3d 过可行域内(1,1)点时截距最大，此时a 4＝4.
【答案】 4
三、解答题(共46分)
10．(15分)已知等差数列{a n }中，S n 是它前n 项和，设a 6＝2，S 10＝10.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若从数列{a n }中依次取出第2项，第4项，第8项，…，第2n 项，…，按取出的顺
序组成一个新数列{b n }，试求数列{b n }的前n 项和T n .
【解析】 (1)设数列{a n }首项，公差分别为a 1，d.则由已知得a 1＋5d ＝2 ①，10a 1＋10×92
d ＝10 ② 联立①②解得a 1＝－8，d ＝2，所以a n ＝2n －10(n∈N ＋)
(2)b n ＝a 2n ＝2·2n －10＝2n ＋1－10(n∈N ＋)，
所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝4(1－2n )1－2
－10n ＝2n ＋2－10n －4 11．(15分)已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n∈N ＋，满足关系式2S n ＝3a n －3.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1
，前n 项和为T n ，求证：对于任意的正整数n ，总有T n ＜1.
【解析】 (1)由已知得⎩⎪⎨⎪⎧
2S n ＝3a n －3，2S n －1
＝3a n －1－3(n≥2). 故2(S n －S n －1)＝2a n ＝3a n －3a n －1
即a n ＝3a n －1(n≥2)
故数列{a n }为等比数列，且q ＝3
又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，∴a 1＝3
∴a n ＝3n (n≥2)
而a 1＝3亦适合上式
∴a n ＝3n (n∈N ＋)
(2)证明：b n ＝1n(n ＋1)＝1n －1n ＋1
所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1
＝1－1n ＋1
＜1 12．(16分)过点P(1,0)作曲线C ：y ＝x 2(x∈(0，＋∞))的切线，切点为M 1，设M 1在x
轴上的投影是点P 1.又过点P 1作曲线C 的切线，切点为M 2，设M 2在x 轴上的投影是点P 2，….依此下去，得到一系列点M 1，M 2…，M n ，…，设它们的横坐标a 1，a 2，…，a n ，…，构成数列为{a n }．
(1)求证：数列{a n }是等比数列，并求其通项公式；
(2)令b n ＝n a n
，求数列{b n }的前n 项和S n . 【解析】 (1)证明：对y ＝x 2求导数，得y′＝2x ，切点是M n (a n ，a n 2)的切线方程是y
－a n 2＝2a n (x －a n )．
当n ＝1时，切线过点P(1,0)，即0－a 12＝2a 1(1－a 1)，
得a 1＝2；
当n ＞1时，切线过点P n －1(a n －1,0)，
即0－a n 2＝2a n (a n －1－a n )，得a n a n －1
＝2 所以数列{a n }是首项a 1＝2，公比为2的等比数列．
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ，n∈
N
(2)当k ＝2时，a n ＝2n ，b n ＝n 2n ，数列{b n }的前n 项和 S n ＝12＋222＋323＋…n 2n ， 同乘以12，得12S n ＝122＋223＋324＋…＋n 2
n ＋1， 两式相减，得
12S n ＝12＋122＋123＋…＋12n －n 2
n ＋1 ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n 1－12
－n 2n ＋1 ＝1－12n －n 2
n ＋1， 所以S n ＝2－n ＋22n .。