最新精编2019年高中数学单元测试试题-数列专题考核题库(含答案)

2019年高中数学单元测试试题 数列专题（含答案）
学校：__________ 姓名：__________ 班级：__________ 考号：__________
第I 卷（选择题）
请点击修改第I 卷的文字说明 一、选择题
1．在等差数列{}n a 中，若4612a a +=，n S 是数列的{}n a 的前n 项和，则9S 的值为（ ）
A ．48
B ．54
C ．60
D ．66(2006重庆理)
2．已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且
511=+b a ，1a 、*1b N ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于
（ ） A ．55
B ．70
C ．85
D ．100（2004）
3．已知各项均为正数的等比数列{n a }，123a a a =5，789a a a =10，则456a a a =（ ）
A ．
B ．7
C ．6
D ．（2004）
4．等差数列1，-1,-3,-5,…，-89，它的项数是 A.92 B.47
C.46
D.45
第II 卷（非选择题）
请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题
5．（理科）已知数列{}n a 的前n 项和326n S n n =+，则n
a n
的最小值为 ▲ ．
6．已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则
n
a n
的最小值为__________. 7．己知数列{a n }的通项为 a n ＝7n ＋2，数列{b n }的通项为b n ＝n 2．若将数列{a n }，{b n }中相同的项按从小到大顺序排列后记作数列{c n }，则c 9的值是 ▲_ ．
8．在数列｛a n ｝中，若a 1=1,a n +1=2a n +3 (n ≥1),则该数列的通项a n =_________.
9．在△ABC 中，a b c , , 分别是角A B C , , 的对边， 若222a b c ,
, 成等差数列，则cos B 的最小值为 ．
10．已知()x f 在上有
()
1,1-定义，121-=⎪⎭
⎫ ⎝⎛f 且满足()1,1-∈y x 、有
()()⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛++=+xy y x f y f x f 1，对数列11221,,21n n n x x x x +==+，则数列(){}n x f 的通项()n f x =____________.
11．在等差数列}{n a 中，若16,462==a a ，则9S =_____
12．数列{}n a 中，2,11≥=n a 时，2
321n a a a a n =⋅⋅ ，则=+1n a ．
13．已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足()2log 11n S n +=+，则数列{}n a 的通项公式为 14．等差数列{}n a 的前3项和为21，其前6项和为24，则其首项1a 为
15．若数列{}n a 的前n 项和2
10(1
23)n S n n n =-=，，，，则数列{}n na 中数值最小的项是第 项．
16．对大于1的自然数m 的三次幂，可用奇数进行以下方式的拆分： 23=3+5 33=7+9+11
43=13+15+17+19 …
若159在m 3的拆分中，则m 的值为 ．
17．设数列{a n }、{b n }分别为正项等比数列，S n 、T n 分别为{lg a n }与{lg b n }的前n 项的和，且
12S +=n n T n n ，则55log a b = 。

19
9 18．等差数列{}n a 中．10a ＜ 0 ，11a > 0 ．且1110||a a >，n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使n S > 0 的n 的最小值为
三、解答题
19．等差数列{}n a 满足2a 0=，68a a 10+=-．（I ）求{}n a 通项公式；（II ）求数列
12-⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
n n a 前n 项和．
20．如图所示，某种卷筒卫生纸绕在盘上，空盘时盘芯直径20mm ,满盘时直径100mm ，已知卫生纸的厚度为0.1mm ，试问满盘时卫生纸的总长度大约是多少米（π取 3.14，精确到1m ）？(本题满分15分)
21．等比数列{}n a 的各项均为正数，且2
12326231,9.a a a a a +==
(1)求数列{}n a 的通项公式.
(2)设 31323log log ......log ,n n b a a a =+++求数列1n b ⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
的前项和. (2011年高考全国新课标卷理科17)（本小题满分12分）
所以，数列⎭
⎬⎫⎩⎨
⎧n b 1的前n 项和为12111
31212112+-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛--n n n n 点评：本题考查等比数列通项公式，性质、等差数列前n 项和，对数运算以及数列求和（列项求和）与数列综合能力的考查。

解答过程要细心，公式性质要灵活运用。

22．已知数列{}n a 满足11a =，11
()2
n n n a a -+=*(,2)n n ∈N ≥，令
212222n n n T a a a =⋅+⋅++⋅，类比课本中推导等比数列前n 项和公式的方法，可求得
132n n n T a +-⋅= ▲ ．
23．已知数列}{n a 满足)2,0(),(12
1∈∈+-=+a R p pa a a n n n 且，试猜想p 的最小值，使
得)2,0(∈n a 对
*
N n ∈恒成立，并给出证明。

24．将数列{}n a中的所有项按每一行比上一行多两项的规则排成如下数表：
1
234
56789
a a a a a a a a
a
已知表中的第一列数125,,,a a a 构成一个等差数列，记为{}n b ，且254,10b b ==.表中每一行正中间一个数137,,,
a a a 构成数列{}n c ，其前n 项和为n S .
（1）求数列{}n b 的通项公式；
（2）若上表中，从第二行起，每一行．．．中的数按从左到右的顺序均构成等比数列，公比为同一个正数，且131a =.①求n S ；②记{}
|(1),n M n n c n N λ*=+≥∈，若集合M 的元素个数为3，求实数λ的取值范围.
25．设数列}{n a 的通项公式为n a n 310-=，令||n n a b =，求数列}{n b 前10项的和。

26．求和：
个
n 111111111++++
27．已知等差数列｛a n ｝的前n 项和为S n ，n n S b 1=
，且21
33=b a ，S 3+ S 5
=21.
（1）求数列｛b n ｝的通项公式； （2）求b 1+b 2 +…+ b n .
28．已知数列{}n a ，0n a ≥，10a =，22
111n n n a a a +++-=（n ∈N *）．记
12n n S a a a =+++，11211
1(1)(1)
n T a a a =
+++++121
(1)(1)
(1)
n a a a +
+++．
求证：当*
n ∈N 时，（1）1n n a a +<；（2）2n S n >-；（3）3n T <．
29．设A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)是函数f(x)=21+log 2x
x -1图象上任意两点，且OM =21(+),点M 的横坐标为2
1 ⑴求证M 点的纵坐标为定值；⑵若S n =)(11∑-=n i n i f ,n ∈N *,且n ≥2，求S n ;⑶已知a n =⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≥++=+)2()1)(1(1)1(321n S S n n n
n ∈N *,T n 为数列{a n }的前n 项和，若T n <λ(S n+1+1) 对一切n ∈N *
都成立，求λ的取值范围（潍坊模拟） ⑴x 1+x 2=1,y M =2)()(21x f x f +=21log 1log 1222112x x x x -+-+=21；⑵倒序相加得S n =21-n ；⑶n ≥2时，a n =)2)(1(4++n n =4(2111+-+n n ),T n =22+n n <λ22+n ,λ>n n 4
44
++,而n n 4
44++≤4424+n n =2
1，等号成立当且仅当n=2,∴λ>1/2
30．已知数列{}n a 的首项135a =，1321n n n a a a +=+，12n =，，． (Ⅰ）求{}n a 的通项公式；
(Ⅱ）证明：对任意的0x >，21121(1)3n n a x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭
≥，12n =，，； (Ⅲ）证明：2121n n a a a n ++
+>+．（陕西卷22）
解法一：（Ⅰ）1321n n n a a a +=+，112133n n a a +∴=+，1111113n n a a +⎛⎫∴-=- ⎪⎝⎭， 又1213n a -=，11n a ⎛⎫∴- ⎪⎝⎭是以23为首项，13为公比的等比数列． ∴112121333n n n a --==，332
n n n a ∴=+．
(Ⅱ）由（Ⅰ）知3032
n
n n a =>+， 21121(1)3n x x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭ 2112111(1)3n x x x ⎛⎫=-+-- ⎪++⎝⎭ 2111(1)1(1)n x x x a ⎡⎤=--+⎢⎥++⎣⎦ 2112(1)1n a x x
=-+++ 2111n n n a a a x ⎛⎫=--+ ⎪+⎝⎭n a ≤，∴原不等式成立． (Ⅲ）由（Ⅱ）知，对任意的0x >，有
122221121121(1)31(1)3n a a a x x x x x x ⎛⎫⎛⎫+++--+-- ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭≥21121(1)3n x x x ⎛⎫++-- ⎪++⎝⎭ 2212221(1)333n n nx x x ⎛⎫=-+++- ⎪++⎝⎭
． ∴取22111222113311333313n n n x n n n ⎛⎫- ⎪⎛⎫⎛⎫⎝⎭=+++==- ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭- ⎪⎝⎭
， 则2212111111133n n n n n n a a a n n n +++=>+⎛⎫+-+- ⎪⎝⎭
≥． ∴原不等式成立．
解法二：（Ⅰ）同解法一．
(Ⅱ）设2112()1(1)3n f x x x x ⎛⎫=-- ⎪++⎝⎭
， 则222222(1)2(1)2133()(1)(1)(1)
n n x x x x f x x x x ⎛⎫⎛⎫-+--+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭'=--=+++
0 x >，
∴当
2
3n
x<时，()0
f x
'>；当
2
3n
x>时，()0
f x
'<，
∴当
2
3n
x=时，()
f x取得最大值
21
2
31
3
n
n
n
f a
⎛⎫
==
⎪
⎝⎭+
．
∴原不等式成立．(Ⅲ）同解法一．。