2016-2017年河南省商丘一中高一(下)期末数学试卷(理科)(解析版)

2016-2017学年河南省商丘一中高一（下）期末数学试卷（理科）一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）从集合A＝{﹣2，1，2}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线bx﹣y+a＝0不经过第四象限的概率为（）
A．B．C．D．
2．（5分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）
A．46，45，56B．46，45，53C．47，45，56D．45，47，53 3．（5分）已知向量＝（2，3），＝（cosθ，sinθ）且⊥，则tanθ＝（）A．B．﹣C．D．﹣
4．（5分）已知曲线C1：y＝sin x，曲线，则（）A．曲线C1横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位．
B．曲线C1横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位．
C．曲线C1横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位．
D．曲线C1横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位．
5．（5分）已知等比数列{a n}中，且a n＞0．若a1a8＝8，则log2a1+log2a2+…+log2a8＝（）A．4B．8C．12D．6
6．（5分）已知等差数列{a n}满足a5＝3，a7＝﹣3，则数列{|a n|}的前10项和为（）A．15B．75C．45D．60
7．（5分）在△ABC中，O为△ABC的外心，且满足|AB|＝2，则＝（）A．1B．2C．4D．0
8．（5分）已知函数f（x）＝cosωx+sinωx，ω＞0，x∈R．若曲线y＝f（x）与直线y＝1的
交点中，相邻交点的距离的最小值为，则y＝f（x）的最小正周期为（）
A．B．πC．2πD．3π
9．（5分）已知程序框图如图所示，则输出的i的值为（）
A．7B．9C．11D．13
10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，cos2＝+，则△ABC 的形状为（）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
11．（5分）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和为S n，T n，且．若数列{a n}为递
增数列，则使a n＜0的最大正整数n为（）
A．6B．7C．5D．4
12．（5分）已知函数．若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数f（x）的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为（）
A．B．C．D．
二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）已知tanθ＝2，则sin2θ﹣sinθcosθ＝．
14．（5分）在△ABC中，a：b：c＝2：3：4，则＝．
15．（5分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P在以A为圆心且与BD相切的圆上，且在矩形ABCD内，若，则λ+μ的最大值为．
16．（5分）如果数列{a n}的前n项和为，则a n＝．
三、解答题
17．（10分）设函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若函数y＝g（x）与y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，求当时y＝g （x）的最大值．
18．（12分）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为
（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n＝（2a n+1）•2n，求数列{b n}的前n项和T n．
19．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，（1）求角B的值；
（2）设A＝θ，求函数的取值范围．
20．（12分）2016年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系，某站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据：
（Ⅰ）若该演员的粉丝数量y与上春晚次数x满足线性回归方程，试求回归方程＝x+，并就此分析：该演员上春晚11次时的粉丝数量；
（Ⅱ）若用（i＝1，2，3，4，5）表示统计数据时粉丝的“即时均值”（精确到整数）：（1）求这5次统计数据时粉丝的“即时均值”的方差；
（2）从“即时均值”中任选2组，求这两组数据之和不超过15的概率．
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：
，．
21．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边为a、b、c．且
（1）求角A的值；
（2）设a＝2，求△ABC面积的取值范围．
22．（12分）已知数列{a n}，{b n}满足a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），（n∈N+）
（1）若a1＝1，b n＝2n+3，求数列{a n}的通项公式；
（2）若a1＝6，b n＝2n，λa n＞2n+1+2λ对一切n∈N+恒成立，求实数λ取值范围．
2016-2017学年河南省商丘一中高一（下）期末数学试卷
（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．（5分）从集合A＝{﹣2，1，2}中随机选取一个数记为a，从集合B＝{﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，则直线bx﹣y+a＝0不经过第四象限的概率为（）
A．B．C．D．
【考点】CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【解答】解：从集合A＝{﹣2，1，2}中随机选取一个数记为a，
从集合B＝{﹣2，1，2}中随机选取一个数记为b，
基本事件总数n＝3×3＝9，
∵直线bx﹣y+a＝0不经过第四象限，
∴，即a＞0，b＞0，
∴直线bx﹣y+a＝0不经过第四象限包含的基本事件有：
（1，2），（1，1），（2，2），（2，1），共4个，
∴直线bx﹣y+a＝0不经过第四象限的概率p＝．
故选：D．
2．（5分）对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（）
A．46，45，56B．46，45，53C．47，45，56D．45，47，53
【考点】BA：茎叶图；BB：众数、中位数、平均数；BC：极差、方差与标准差．
【解答】解：由题意可知茎叶图共有30个数值，所以中位数为第15和16个数的平均值：
＝46．
众数是45，极差为：68﹣12＝56．
故选：A．
3．（5分）已知向量＝（2，3），＝（cosθ，sinθ）且⊥，则tanθ＝（）A．B．﹣C．D．﹣
【考点】9T：数量积判断两个平面向量的垂直关系．
【解答】解：∵；
∴；
即2cosθ+3sinθ＝0；
∴；
∴．
故选：D．
4．（5分）已知曲线C1：y＝sin x，曲线，则（）A．曲线C1横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位．
B．曲线C1横坐标伸长到原来的2倍，再向左平移个单位．
C．曲线C1横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位．
D．曲线C1横坐标缩短到原来的倍，再向左平移个单位．
【考点】HJ：函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换．
【解答】解：曲线C1：y＝sin x＝cos（x﹣），曲线C1横坐标缩短到原来的倍，可得y＝cos（2x﹣），再向左平移个单位．
可得：y＝cos[2（x+）x﹣]＝cos（2x﹣），得到曲线C2．
故选：D．
5．（5分）已知等比数列{a n}中，且a n＞0．若a1a8＝8，则log2a1+log2a2+…+log2a8＝（）A．4B．8C．12D．6
【考点】88：等比数列的通项公式．
【解答】解：等比数列{a n}中，且a n＞0．若a1a8＝8，
∴a2a7＝a3a6＝a4a5＝a1a8＝8，
∴log2a1+log2a2+…+log2a8＝log2（a1a2…a8）＝log2（8×8×8×8）＝12，
故选：C．
6．（5分）已知等差数列{a n}满足a5＝3，a7＝﹣3，则数列{|a n|}的前10项和为（）A．15B．75C．45D．60
【考点】85：等差数列的前n项和．
【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，前n项和为S n．
∵a5＝3，a7＝﹣3，∴，解得a1＝15，d＝﹣3．
∴a n＝15﹣3（n﹣1）＝18﹣3n，
S n＝＝．
由a n≥0，解得n≤6．
则数列{|a n|}的前10项和＝a1+a2+…+a6﹣a7﹣…﹣a10
＝2S6﹣S10
＝﹣
＝75．
故选：B．
7．（5分）在△ABC中，O为△ABC的外心，且满足|AB|＝2，则＝（）A．1B．2C．4D．0
【考点】9O：平面向量数量积的性质及其运算．
【解答】解：结合向量数量积的几何意义及点O在线段AB上的射影为相应线段的中点，∴＝2××||2﹣××||2＝4﹣2＝2，
故选：B．
8．（5分）已知函数f（x）＝cosωx+sinωx，ω＞0，x∈R．若曲线y＝f（x）与直线y＝1的
交点中，相邻交点的距离的最小值为，则y＝f（x）的最小正周期为（）
A．B．πC．2πD．3π
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．
【解答】解：函数f（x）＝cosωx+sinωx，ω＞0，x∈R．
化简可得：f（x）＝sin（ωx）
∵曲线y＝f（x）与直线y＝1的相交，即ωx＝+2kπ或ωx＝+2kπ，k∈Z，∴（）+2kπ＝ω（x2﹣x1），
令k＝0，
∴x2﹣x1＝＝，
解得：ω＝
∴y＝f（x）的最小正周期T＝，
故选：D．
9．（5分）已知程序框图如图所示，则输出的i的值为（）
A．7B．9C．11D．13
【考点】EF：程序框图．
【解答】解：第一次循环，S＝1×3，i＝5；第二次循环，S＝1×3×5，i＝7；第三次循环，S＝1×3×5×7＞105，i＝9，此时退出循环，
故选：B．
10．（5分）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，cos2＝+，则△ABC 的形状为（）
A．正三角形B．直角三角形
C．等腰直角三角形D．等腰三角形
【考点】GS：二倍角的三角函数；HR：余弦定理．
【解答】解：∵cos2＝+，
∴＝+，
即cos A＝，
∴＝，
∴c2＝a2+b2，
∴三角形是直角三角形．
故选：B．
11．（5分）已知等差数列{a n}，{b n}的前n项和为S n，T n，且．若数列{a n}为递
增数列，则使a n＜0的最大正整数n为（）
A．6B．7C．5D．4
【考点】85：等差数列的前n项和．
【解答】解：∵等差数列{a n}，{b n}的前n项和为S n，T n，且．
∴＝＝＝，
∵数列{a n}为递增数列，∴不妨设a n＝2n﹣13，由a n＜0，解得n≤6+．
则使a n＜0的最大正整数为6．
故选：A．
12．（5分）已知函数．若函数f（x）在区间（﹣ω，ω）内单调递增，且函数f（x）的图象关于直线x＝ω对称，则ω的值为（）
A．B．C．D．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用．
【解答】解：函数．
化简可得：f（x）＝2sin（）．
∵x∈（﹣ω，ω）内单调递增，
∴，k∈Z．
解得：…①．
函数f（x）的图象关于直线x＝ω对称，
当x＝ω时，函数取得最值，即，k∈Z．
∵ω＞0
令k＝0，可得ω＝，
检验满足①．
故选：B．
二、填空题（本题共4题，每题5分，共20分）
13．（5分）已知tanθ＝2，则sin2θ﹣sinθcosθ＝．
【考点】GG：同角三角函数间的基本关系．
【解答】解：∵tanθ＝2，则sin2θ﹣sinθcosθ＝＝＝
＝，
故答案为：．
14．（5分）在△ABC中，a：b：c＝2：3：4，则＝．
【考点】HR：余弦定理．
【解答】解：由在△ABC中，a：b：c＝2：3：4，得到a：c＝sin A：sin C，所以
＝cos A，又由a：b：c＝2：3：4，所以cos A＝；
故答案为：
15．（5分）在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，点P在以A为圆心且与BD相切的圆上，且在矩形ABCD内，若，则λ+μ的最大值为1．
【考点】9H：平面向量的基本定理．
【解答】解：以A为原点，以AB，AD为坐标轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则B（3，0），D（0，4），则＝＝（3λ，4μ），
∵圆A与BD相切，∴AP＝，∴λ，μ∈（0，）．
设P（，），则，
∴，
∴λ+μ＝+＝sin（θ+φ），其中sinφ＝，cosφ＝．
∴λ+μ的最大值为1．
故答案为：1．
16．（5分）如果数列{a n}的前n项和为，则a n＝．
【考点】8E：数列的求和．
【解答】解：∵，
∴n≥2时，a n＝S n﹣S n﹣1＝1+2n﹣（1+2n﹣1）＝2n﹣1．
n＝1时，a1＝S1＝3．
则a n＝．
故答案为：．
三、解答题
17．（10分）设函数．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）若函数y＝g（x）与y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，求当时y＝g （x）的最大值．
【考点】GL：三角函数中的恒等变换应用；H2：正弦函数的图象．
【解答】解：（1）函数．
化简可得：＝＝
∴函数的最小正周期T＝．
（2）∵函数y＝g（x）与y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，可得g（x）＝f（2﹣x），即
∵
∴，
当＝时，g（x）取得最大值为．
18．（12分）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，数列的前n项和为（1）求数列{a n}的通项公式；
（2）设b n＝（2a n+1）•2n，求数列{b n}的前n项和T n．
【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【解答】解：（1）由已知得…（2分）
又因为{a n}为等差数列，得…（5分）
（2）因为，所以…（6分）
所以
…．（8分）
所以＝
…（11分）
所以…（12分）
19．（12分）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，（1）求角B的值；
（2）设A＝θ，求函数的取值范围．
【考点】HP：正弦定理；HR：余弦定理．
【解答】（本小题满分12分）
解：（1）∵由正弦定理得a＝2R sin A，b＝2R sin B，c＝2R sin C，sin（B+C）＝sin A cos B，∴cos B＝，
∴B＝．…（6分）
（2）锐角△ABC中，A+B＝，∴θ∈（，），…（7分）
＝[1﹣cos（+2θ）]﹣cos2θ
＝（1+sin2θ）﹣cos2θ
＝sin2θ﹣cos2θ+1＝2sin（2θ﹣）+1．…9分
∵θ∈（，），
∴2θ﹣∈（，），
∴2＜2sin（2θ﹣）+1≤3．
所以：函数f（θ）的取值范围是（2，3]．…12分
20．（12分）2016年春晚过后，为了研究演员上春晚次数与受关注度的关系，某站对其中一位经常上春晚的演员上春晚次数与受关注度进行了统计，得到如下数据：
（Ⅰ）若该演员的粉丝数量y与上春晚次数x满足线性回归方程，试求回归方程＝x+，并就此分析：该演员上春晚11次时的粉丝数量；
（Ⅱ）若用（i＝1，2，3，4，5）表示统计数据时粉丝的“即时均值”（精确到整数）：（1）求这5次统计数据时粉丝的“即时均值”的方差；
（2）从“即时均值”中任选2组，求这两组数据之和不超过15的概率．
参考公式：用最小二乘法求线性回归方程系数公式：
，．
【考点】BK：线性回归方程；CC：列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【解答】解：（Ⅰ）经计算可得：，，…（1分）
＝1980，＝220，…（3分）
＝＝12，＝﹣＝﹣22，
故回归方程是：＝12x﹣22，
当x＝11时，＝12x﹣22＝110．
该演员上春晚11次时的粉丝数量110万人…（6分）
（Ⅱ）经计算可知，这五组数据对应的“即时均值”分别为：5，5，7，10，10，…（7分）（1）这五组“即时均值”的平均数为：7.4，…（8分）
则方差为S2＝；…（9分）（2）这五组“即时均值”可以记为A1，A2，B，C1，C2，
从“即时均值”中任选2组，选法共有：
（A1，A2）（A1，B）（A1，C1）（A1，C2）（A2，B）
（A2，C1）（A2，C2）（B，C1）（B，C2）（C1，C2），
共10种情况，其中不超过15的情况有7种．
故所求概率为：P＝…（12分）
21．（12分）在△ABC中，内角A、B、C的对边为a、b、c．且
（1）求角A的值；
（2）设a＝2，求△ABC面积的取值范围．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【解答】解：（1）∵，
由正弦定理可得：
∴2cos A sin B﹣cos A sin C＝sin A cos C，
2cos A sin B＝sin（A+C）＝sin B．
∴cos A＝，
∵0＜A＜π，
∴．
（2）∵，
∴．
∴
∵，
∴，
∴
∴．
即△ABC面积的取值范围为（0，]．
22．（12分）已知数列{a n}，{b n}满足a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n），（n∈N+）
（1）若a1＝1，b n＝2n+3，求数列{a n}的通项公式；
（2）若a1＝6，b n＝2n，λa n＞2n+1+2λ对一切n∈N+恒成立，求实数λ取值范围．【考点】8E：数列的求和；8H：数列递推式．
【解答】解：（1）由a1＝1，b n＝2n+3，可得a n+1﹣a n＝2（b n+1﹣b n）＝4…（2分）数列{a n}为以1为首项，4为公差的等差数列，所以a n＝4n﹣3…（4分）
（2）由可得…（6分）
，，，
累加得，∴…（8分）
，
即2n+1λ＞2n+1，∴…（10分）
∵…（12分）。