北师大版高中数学必修二同步练习题 弧度概念 弧度与角度的换算(含答案)

3.1 弧度概念 3.2 弧度与角度的换算
必备知识基础练
1.在半径为5 cm 的扇形中,圆心角为2,则扇形的面积为( ) A.25 cm 2
B.10 cm 2
C.15 cm 2
D.5 cm 2
2.角α=-2,则α所在的象限是( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限
D.第四象限
3.已知扇形AOB 的周长为10,面积为6,则该扇形的圆心角为( ) A.3
B.4
3或3
C.3
4
D.3
4或3
4.在半径为3 cm 的圆中,π7的圆心角所对的弧长为( ) A .3π
7 cm
B .π
21 cm
C .3
7 cm
D .9π
7 cm
5.如果一个圆的半径变为原来的一半,弧长变为原来的32
倍,则该弧所对的圆心角是原来的 倍.
关键能力提升练
6.若集合P={α|2k π≤α≤(2k+1)π,k ∈Z },Q={α|-4≤α≤4},则P ∩Q=( ) A.⌀
B.{α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}
C.{α|-4≤α≤4}
D.{α|0≤α≤π}
7.若角α的终边在直线y=-x 上,则角α的集合为( ) A.αα=2k π-π
4,k ∈Z B.αα=2k π+3π4,k ∈Z C.αα=k π-3π4,k ∈Z
D.αα=k π-π
4,k ∈Z
8.如图,一把折扇完全打开后,扇面的两条弧AB
⏜,CD ⏜的弧长分别是10π和10π3,且AD=10,则图中阴影部分的面积是( )
A.
200π3
B.100π
C.
400π3
D.
500π3
9.一个半径为2的扇形,如果它的周长等于所在圆的半圆的弧长,那么扇形的圆心角是 弧度,扇形的面积是 .
学科素养创新练
10.已知扇形的圆心角为α,半径为r.
(1)若扇形的周长是定值C (C>0),求扇形的最大面积及此时α的值; (2)若扇形的面积是定值S (S>0),求扇形的最小周长及此时α的值. 答案
1.A 扇形面积为S=1
2×2×52=25(cm 2).故选A. 2.C 角α=-2,-2∈(-π,-π2),所以α在第三象限,故选C . 3.B 设扇形AOB 的半径为r ,弧长为l ,由题意可得{2r +l =10,1
2
lr =6,
解得{l =6,
r =2
或{l =4,r =3,则
该扇形的圆心角为4
3或3.故选B .
4.A 由题意可得圆心角α=π
7
,半径r=3 cm,弧长l=αr=π
7
×3=3π
7
(cm).故选A .
5.3 设圆的半径为r ,弧长为l ,则该弧所对的圆心角为l
r .将半径变为原来的一半,弧长变为原来的3
2倍,则该弧所对的圆心角变为32l 12
r =3·l
r ,即该弧所对的圆心角变为原来的3倍.
6.B 当k=-1,0时,集合P 和Q 的公共元素满足-4≤α≤-π,或0≤α≤π,当k 取其他值时,集合P 和Q 无公共元素,故P ∩Q={α|-4≤α≤-π,或0≤α≤π}.
7.D 由图知,角α的取值集合为αα=2k π+3π4,k ∈Z ∪αα=2k π-π
4,k ∈Z =αα=(2k+1)π-π
4,k ∈Z ∪αα=2k π-π
4,k ∈Z =αα=k π-π
4,k ∈Z ,故选D.
8.A 设OA=R ,OD=r ,圆心角是θ,则r θ=10π3
,(r+10)θ=10π,R-r=10,解得R=15,r=5,θ=2π
3,所
以阴影部分的面积为1
2(10π×15-10π3
×5)=
200π3
,故选A .
9.π-2 2(π-2) 设扇形的弧长为l ,圆心角为α, 故由题得2α+2×2=2π,所以α=π-2, 扇形的面积S=12l ·r=1
2·(2π-4)·2=2(π-2). 10.解(1)由题意可得2r+αr=C ,则αr=C-2r ,
得扇形面积S=1
2αr 2
=1
2(C-2r )r=-r 2
+1
2Cr=-(r -C 4)2
+C 2
16, 故当r=C
4时,S 取得最大值C 2
16, 此时α=
C -2r r =2.
(2)由题意可得S=1
2αr 2,则αr=2S
r , 得扇形周长C=2r+αr=2r+2S
r ≥4√S , 当且仅当2r=2S
r ,即r=√S 时取等号,。