马承天--直线、平面垂直的判定及其性质

人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）直线、平面垂直的判定及其性质
高三数学组：马承天
教学内容：2.3.1 直线与平面垂直的判定2.3.2 平面与平面垂直的判定
教学目标
一、知识与技能
1.掌握直线和平面垂直的定义及判定定理；
2.掌握直线和平面所成的角的求法；
3.正确理解和掌握“二面角”“二面角的平面角”及“直二面角”“两个平面互相垂直”的概念；
4.掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用.
二、过程与方法
1.经历直线和平面垂直的定义的形成过程；探究判定直线与平面垂直的方法；
2.经历直观感知“二面角”概念的形成过程；用类比方法思考“二面角”的度量方法及两个平面垂直的判定定理.
三、情感、态度与价值观
1.学会从“感性认识”到“理性认识”过程中获取新知.
2.通过经历概念的形成、发展和应有的过程，知道数学存在于现实生活周围，形成积极思维，发展观察、分析、解决问题的能力.
教学重点、难点
教学重点
1.直线与平面垂直的定义和判定定理；
2.直线和平面所成的角；
3.平面与平面垂直的判定.
教学难点
1.直线与平面垂直判定定理的探究；
2.如何度量二面角的大小.
教学关键
理解并掌握直线与平面垂直的定义和判定定理、直线与平面垂直判定定理，会应用两个判定定理解决简单的线面垂直、面面垂直问题.
教学突破方法
通过学生观察大量的空间几何体的实例，先感性地认识两个定理，然后通过严格的证明来理解两个定理，利用针对性较强的习题来巩固两个定理．对于本节的线面角和二面角的概念，需首先掌握其定义，其次了解其求法.
教法与学法导航
教学方法
问题教学法，讨论法，练习法．通过提出问题，学生观察空间实物及模型，先独立思考可判定线面垂直、面面垂直的条件，然后相互讨论、交流，最后得出完整结论.
学习方法
自主学习，自主探究，互动学习，合作交流，动手实践，观察探究，归纳总结．在
1
教师备课系统──多媒体教案
2
学生观察大量空间几何体实例的基础上，通过老师的启发诱导，归纳总结得到线面垂直、面面垂直的条件，即两个判定定理. 教学准备
教师准备
多媒体课件（用于展示问题，引导讨论，出示答案），空间几何体的模型或图片. 学生准备
线线垂直的概念. 教学过程 教学过程
教学内容
师生互动
设计 意图 新课
导入
问题：直线和平面平行的判定
方法有几种？
师投影问题，学生回答. 生：可用定义可判断，也可依判定定理判断.
复习 巩固
探索新知 一、直线和平面垂直的定义、画法
如果直线l 与平面α内的任意一条直线都垂直，我们说直线l 与平面α互相垂直，记作l ⊥α.直线l 叫做平面的垂线，平面α叫做直线l 的垂面.直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P 叫做垂足.
画直线与平面垂直时，通常把
直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图.
师：日常生活中我们对直线与平面垂直有很多感性认识，如旗杆与地面、桥柱与水面等，你能举出更多的例子来吗？
师：在阳光下观察，直立于地面的旗杆及它在地面的影子，它们的位置关系如何？
生：旗杆与地面内任意一条经过P 的直线垂直.
师：那么旗杆所在直线与平面内不经过P 点的直线位置关系如何，依据是什么？（图）
生：垂直，依据是异面直线垂直的定义.
师：你能尝试给线面垂直下定义吗？
…… 师：能否将任意直线改为无数条直线？学生找一反例说明.
培养学生的几何直观能力使他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.
续上表 探索新知 二、直线和平面垂直的判定
师：下面请同学们准备一块三角形的小纸片，我们一起来做一个实验，（投影问题）. 培养学生的几何直观
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3
1．试验 如图，过△ABC 的顶点A 翻折纸片，得到折痕AD ，
将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD 、DC 与桌面接触）.
（1）折痕AD 与桌面垂直吗？
（2）如何翻折才能使折痕AD 与桌面所在平面α垂直？
2．直线与平面垂直的判定定理：
一条直线与一个平面内两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.
思考：能否将直线与平面垂直的判定定理中的“两条相交直线”改为“一条直线或两条平行直线”？
学生动手实验，然后回答问题.
生：当且仅当折痕AD 是BC 边上的高时，AD 所在直线与桌面所在平面α垂直.
师：此时与AD 垂直的是一条直线还是两条直线？
生：AD 垂直于桌面两条直线，而且这两条直线相交.
师：怎么证明？
生：折痕AD ⊥BC ，翻折之后垂直关系不变，即AD ⊥CD ，AD ⊥BD ．
师：直线和平面垂直的判定定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想.
能力使
他们在直观感知，操作确认的基础上学会归纳概括结论.
典例剖析 例1 如图，已知a ∥b ，a ⊥α，求证：b ⊥α. 【证明】在平面α内作两条相交直线m 、n .
因为直线a ⊥α，根据直线与平面垂直的定义知
a ⊥m ，a ⊥n . 又因为
b ∥a ， 所以b ⊥m ，b ⊥n .
又因为,m n αα⊂⊂，m 、n
是两条相交直线，
b ⊥α.
师：要证b ⊥α，需证b 与α内任意一条直线的垂直，又a ∥b ，问题转化为a 与面α内任意直线m 垂直，这个结论显然成立.
学生依图及分析写出证明过程.
……
师：此结论可以直接利用，判定直线和平面垂直.
巩固所学知识培养学生转化化归能力、书写表达能力.
续上表 探索
三、直线和平面所成的角
教师借助多媒体直接讲借助多
教师备课系统──多媒体教案
4 新知如图，
一条直线
P A和一个
平面 相
交，但不与
这个平面垂直，这条直线叫做这个
平面的斜线，斜线的平面的交点A
叫做斜足.过斜线上斜足以外的一
点向平面引垂线PO，过垂足O和
斜足A的直线AO叫做斜线在这个
平面上的射影.平面的一条斜线和
它在平面上的射影所成的锐角，叫
做这条直线和这个平面所成的角.
一条直线垂直于平面，我们说
它们所成的角是直角；一条直线和
平面平行，或在平面内，我们说它
们所成的角是0°的角.
授，注意直线和平面所成的角
是分三种情况定义的.
媒体讲
授，提
高上课
效率.
典例
剖析
例2如图，在正方体ABCD–
A1B1C1D1中，求A1B和平面
A1B1CD所成的角.
【分析】找出直线A1B在平面
A1B1CD内
的射影，就
可以求出
A1B和平面
A1B1CD所
成的角.
师：此题A1是斜足，要
求直线A1B与平面A1B1CD所
成的角，关键在于过B点作出
（找到，面A1B1CD的垂线，
作出（找到）面A1B1CD的垂
线，直线A1B在平面A1B1CD
内的射影就知道了，怎样过
B作平面A1B1CD的垂线呢？
生：连接BC1即可.
师：能证明吗？
学生分析，教师板书，共
同完成求解过程.
点拨关
键点，
突破难
点，示
范书写
及解题
步骤.
典例
剖析
解：连接BC1交B1C于点O，
连接A1O.
设正方体的棱长为a，因为
A1B1⊥B1C1，A1B1⊥B1B，所以
A1B1⊥平面BCC1B1.
所以A1B1⊥BC1.
续上表
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5
又因为BC 1⊥B 1C ，所以B 1C
⊥平面A 1B 1CD .
所以A 1O 为斜线A 1B 在平面A 1B 1CD 内的射影，∠BA 1O 为A 1B 与平面A 1B 1CD 所成的角.
在Rt △A 1BO 中， 12A B a =，2
2
BO a =
， 所以11
2
BO A B =
， ∠BA 1O = 30°，
因此，直线A 1B 和平面A 1B 1CD 所成的角为30°.
探索新知 四、二面角
1．二面角 （1）半平面
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面.
（2）二面角
从一条直线出发的两个半平
面所组成的图形叫做二面角
（dihedral angle ）
．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.
（3）二面角的求法与画法
教师结合二面角模型，类比以上几个问题，归纳出二面角的概念及记法表示（可将角与二面角从图形、定义、构成、表示进行列表对比）.
师生共同实验（折纸）思考二面角的大小与哪一个角的大小相同？这个角的边与二面角的棱有什么关系？
生：过二面角棱上一点O 在二面角的面上分别作射线与二面角的棱垂直，得到的角与二面角大小相等.
师：改变O 的位置，这个角的大小变不变.
生：由等角定理知不变.
通过模 型教学，培养学生几何直观能力，通过类比教学，加深学生对知识的理解.
续上表
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6 探索
新知
棱为AB、面分别为α、β的
二面角记作二面角AB
αβ
--.
有时为了方便，也可在,αβ内（棱
以外的半平面部分）分别取点P、
Q，将这个二面角记作二面角P–
AB –Q.如果棱记作l，那么这个二
面角记作二面角l
αβ
--或P–l
–Q.
2．二面角的平面角
如图（1）在二面角l
αβ
--的棱
l上任取一点O，以点O为垂足，
在半平面α和β内分别作垂直于
棱l的射线OA和OB，则射线OA
和OB构成的∠AOB叫做二面角
的平面角.
（2）二面角的平面角的大小
与O点位置无关.
（3）二面角的平面角的范围
是[0，180°]
（4）平面角为直角的二面角
叫做直二面角.
通过实
验，培
养学生
学习兴
趣和探
索意
识，加
深对知
识的理
解与掌
握.
探索
新知
五、平面与平面垂直
1．平面与平面垂直的定义，
记法与画法.
一般地，两个平面相交，如果
它们所成的二面角是直二面角，就
说这两个平面互相垂直.
学生自学，教师点拨一下
注意事项.
师：以教室的门为例，由
于门框木柱与地面垂直，那么
经过木柱的门无论转到什么
位置都有门面垂直于地面，即
αβ
⊥，请同学给出面面垂直
的判定定理.
培养学
生自学
能力，
通过实
验，培
养学生
观察能
力．
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续上表
典例剖析
两个互相垂直的平面通常画成此图的样子，此时，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直.平面α与β垂直，记作α⊥β.
2．两个平面互相垂直的判定定理，一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.
典例
分析
例 3 如图，AB 是⊙O 的直径，P A 垂直于⊙O 所在的平面，C 是圆周上不同于A 、B 的任意一点，求证：平面P AC ⊥平面PBC .
【证明】设⊙O 所在平面为α，由已知条件，
P A ⊥α，BC 在α内，
所以P A
⊥BC .
因为点C
是圆周上不同于A 、B 的任意一点，AB 是⊙O 的直径，
所以，∠BCA 是直角，即BC ⊥AC . 又因为P A 与AC 是△P AC 所在平面内的两条直线.
所以BC ⊥平面P AC .
又因为BC 在平面PBC 内， 所以，平面P AC ⊥平面PBC . 师：平面与平面垂直的判定方法有面面垂直的定义和面面垂直的判定定理，而本题二面角A – PC – B 的平面角不好找，故应选择判定定理，而应用判定定理证面面垂直的关键是在其中一个平面内找 （作）一条直线与另一平面垂直，在已有图形中BC 符合解题要求，为什么？
学生分析，教师板书．
巩固所学知识，培养学生观察能力，空间想象能力，书写表达能力.
小结 1．直线和平面垂直的定义判定． 2．直线和平面所成的角定义与解答步骤、完善.
3．线线垂直⇒线面垂直． 4．二面角的定义画法与记法. 5．面面垂直的判定方法.
学生总结、教师补 充完善． 回顾、反思、归纳，
提高自我整合知识
的能力．
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课堂作业
1．如图，在三棱锥V –ABC 中，VA = VC ，AB = BC ，求证：VB ⊥AC .
2．过△ABC 所在平面α外一点P ，作PO ⊥α，垂足为O ，连接P A ，PB ，PC . （1）若P A = PB = PC ，∠C =90°，则点O 是AB 边的 . （2）若P A = PB =PC ，则点O 是△ABC 的 心.
（3）若P A ⊥PB ，PB ⊥PC ，PC ⊥P A ，则点O 是△ABC 的 心. 3．两条直线和一个平面所成的角相等，这两条直线一定平行吗？
4．如图，直四棱柱A ′B ′C ′D ′ – ABCD （侧棱与底面垂直的棱柱称为直棱柱）中，底面四边形ABCD 满足什么条件时，A ′C ⊥B ′D ′？
5．如图，正方形SG 1G 2G 3中，E ，F 分别是G 1G 2，G 2G 3的中点，D 是EF 的中点，现在沿SE ，SF 及EF 把这个正方形折成一个四面体，使G 1，G 2，G 3三点重合，重合后的点记为G ，则在四面体S – EFG 中必有（ ）．
A ．SG ⊥EFG 所在平面
B ．SD ⊥EFG 所在平面
C ．GF ⊥SEF 所在平面
D ．GD ⊥SEF 所在平面
6．如图，已知AB ⊥平面BCD ，BC ⊥CD ，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？
参考答案： 1．略
2.（1）中点； （2）外； （3）垂．
3. 不一定平行. 4．AC ⊥BD . 5. A
6. 面ABC ⊥面BCD ，面ABD ⊥面BCD ，面ACD ⊥面ABC .
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第2课时
教学内容：2.3.3 直线与平面垂直的性质 2.3.4 平面与平面垂直的性质 教学目标
一、知识与技能
1. 掌握直线与平面垂直，平面与平面垂直的性质定理；
2. 能运用性质定理解决一些简单问题；
3. 了解直线与平面、平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互关系. 二、过程与方法
在观察物体模型的基础上，进行操作确认，获得对性质定理正确性的认识．
三、情感、态度与价值观
通过“直观感知、操作确认、推理证明”，形成空间概念、空间想象能力以及逻辑推理能力. 教学重点、难点
教学重点：两个性质定理的证明. 教学难点：两个性质定理的证明.
教学关键：引导学生掌握两个性质定理的证明，并且能够应用两个性质定理来证明较简单的线线垂直、线面垂直及面面垂直的相关问题.
教学突破方法：本节主要使用启发式和探究式教学．使学生掌握两个性质定理的条件及结论，知道如何应用两个性质定理，在教师的示例引导下，在具体的解题过程中对两个定理进行巩固和提高. 教法与学法导航
教学方法：问题教学法，练习法，启发式教学．通过提出问题，学生思考并体会在线面垂直、面面垂直的条件下，可以得到什么结论，与上节的判定定理相对照．在理解两个定理的基础上，进行有针对性的练习.
学习方法：自主探究，自主学习，互动学习，合作交流，动手实践，归纳总结. 教学准备
教师准备：多媒体课件（用于展示问题，引导讨论，出示答案）. 学生准备：直线与平面垂直的判定定理、平面与平面垂直的判定定理. 教学过程 教学过程
教学内容 师生互动
设计 意图 新课
导入
问题1：判定直线和平面垂直的方法有几种？
问题2：若一条直线和一个平
面垂直，可得到什么结论？若两条直线与同一个平面垂直呢？ 师投影问题. 学生思考、讨论问题，教师点出主题．
复习巩固，以旧带新.
教师备课系统──多媒体教案
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续上表
探索
新知
一、直线与平面垂直的性质定理
1．问题：已知直线a 、b 和平面α，如果,a b αα⊥⊥，那么直线
a 、
b 一定平行吗？ 已知 a ⊥a ，b ⊥a ， 求证：b ∥a .
【证明】假定b 不平行于a ，设
b α=O ，
b ′是经过O 与直线a 平行的直线，
∵ a ∥b ′，a ⊥a ， ∴ b ′⊥a ，
即经过同一点O 的两线b 、b ′都与α垂直这是不可能的，
因此b ∥a . 2．直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行．
简化为：线面垂直⇒线线平行．
生：借助长方体模型AA ′、BB ′、CC ′、DD ′所在直线都垂直于平面ABCD ，它们之间相互平行，所以结论成立.
师：怎么证明呢？由于无法把两条直线a 、b 归入到一个平面内，故无法应用平行直线的判定知识，也无法应用公理4，在这种情况下，我们采用“反证法”．
师生边分析边板书．
借助模型教学，培养几何直观能力，反证法证题是一个难点，采用以教师为主，能起到一个示范作用，并提高上课效率.
探索新知
二、平面与平面垂直的性质定理
1．问题
黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？
教师投影问题，学生思考、观察、讨论，然后回答问题．
生：借助长方体模型，在长方体ABCD – A ′B ′C ′D ′中，面A ′ADD ′⊥面ABCD ，A ′A ⊥AD ，AB ⊥A ′A ，
∵AD A A A '=， ∴A ′A ⊥面ABCD ． 故只需在黑板上作一直线与两个平面的交线垂直即可.
本例题的难点是构造辅助线，采用分析综合法能较好地解决这个问题.
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续上表
探索
新知
2．例1 设αβ⊥，α
β=CD ，
AB α⊂，AB ⊥CD ，AB ⊥CD = B ，
求证AB ⊥β，
【证明】在β内引直线BE ⊥
CD ，垂足为B ，则∠ABE 是二面角CD αβ--的平面角.由αβ⊥知，AB ⊥BE ，又AB ⊥CD ，BE 与CD 是β内的两条相交直线,所以AB ⊥β.
3．平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．简记为：面面垂直⇒线面垂直.
师：证明直线和平面垂直一般都转化为证直线和平面内两条交线垂直，现AB ⊥CD ，需找一条直线与AB 垂直，有条件αβ⊥还没有用，能否利用αβ⊥构造一条直
线与AB 垂直呢？
生：在面β内过B 作BE
⊥CD 即可.
师：为什么呢？
学生分析，教师板书．
典例 分析
例 2 如图，已知平面,αβ，αβ⊥，直线a 满足a β⊥，a α⊄，试判断直线a 与平面α的位置关系.
【解析】在α内作垂直于α与β相交的直线b ，
因为α⊥β，所以b ⊥β， 因为α⊥β，所以a ∥b . 又因为a α⊄，所以a ∥α. 即直线a 与平面α平行.
师投影例2并读题． 生：平行．
师：证明线面平行一般策略是什么？
生：先证明线线平行． 师：假设α内一条直线b ∥a 则b 与α的位置关系如何？
生：垂直．
师：已知,b ααβ⊂⊥，怎样作直线b ？
生：在α内作b 垂直于α、β的交线即可. 学生写出证明过程，教师投影.
师投影例3并读题，师生共同分析思路，完成证题过程，然后教师给予评注.
巩固所学知识，训练分类思想化归能力及思维的灵活性.
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12
续上表
典例 分析
例3 设平面α⊥平面β，过点P 作平面β的垂线a ，试判断直线a 与平面α的位置关系？
【证明】如图，设α
β= c ，
过点P 在平面α内作直线b ⊥c ，根据平面与平面垂直的性质定理有b β⊥.
因为过一点有且只有一条直线与平面β垂直，所以直线a 与直线b 重合，因此a α⊂.
师：利用“同一法”证明问题主要是在按一般途径不易完成问题的情形下，所采用的一种数学方法，这里要求做到两点.一是作出符合题意的直线不易想到，二是证直线b 与直线a 重合，相对容易一些，本题注意要分类讨论，其结论也可作性质用.
小结
1．直线和平面垂直的性质． 2．平面和平面垂直的性质．
3．面面垂直、线面垂直、线线垂直的关系．
学生归纳总结，教师再补充完善.
回顾、反思、归纳知识提高自我整合知识的能力.
课堂作业
1．判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”，错误的画“×”. a ．垂直于同一条直线的两个平面互相平行.（ ）
b ．垂直于同一个平面的两条直线互相平行. （ ）
c ．一条直线在平面内，另一条直线与这个平面垂直，则这两条直线互相垂直.（ ）
d . 已知直线a ，b 和平面α，且a ⊥b ，a ⊥α，则b ∥α.（ ） 答案：a . √ b . √ c . √ d . ×
2．（1）下列命题中错误．．
的是（ ）． A ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线垂直于平面β B ．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
C ．如果平面α不垂直平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
D ．如果平面α
⊥平面γ，平面β⊥平面γ，l αβ=，那么l γ⊥
（2）已知两个平面垂直，下列命题
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①一个平面内已知直线必垂直于另一平面内的任意一条直线.
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线. ③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面. 其中正确命题的个数是（ ）．
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0 答案：（1）A （2） B
3．设直线a ，b 分别在正方体ABCD – A ′B ′C ′D ′中两个不同的面所在平面内，欲使a ∥b ，a ，b 应满足什么条件？
答案：不相交，不异面．
4．已知平面α，β，直线a ，且αβ⊥，AB αβ=，a ∥α，a ⊥AB ，试判断直线a 与直线β的位置关系.
答案：平行、相交或在平面β内．
5. 把直角三角板ABC 的直角边BC 放置桌面，另一条直角边AC 与桌面所在的平面α垂直，a 是α内一条直线，若斜边AB 与a 垂直，则BC 是否与a 垂直？
【解析】
a AC AC a AB a AC AB A αα⊥⎫⊥⎫⎪
⇒⊥⎬⎬⊂⎭⎪=⎭
a ⊥⎫⇒⎬⊂⎭平面ABC BC 平面ABC a BC ⇒⊥.
6. 求证：如果两个平面都垂直于第三个平面，则它们的交线垂直于第三个平面．已知α⊥γ ，β⊥γ ，
α∩β= l ，求证：l ⊥γ．
【证明】解法一：如图，设α∩γ= a ，β∩γ= b ，在γ内任取一点P ．过点P 在γ内作直线m ⊥a ，n ⊥b ．
∵α⊥γ，β⊥γ，
∴m ⊥a ，n ⊥β（面面垂直的性质）． 又α∩β= l ，
∴l ⊥m ，l ⊥n ．又m ∩n = P ，m ，n ⊂γ ∴l ⊥γ．
教师备课系统──多媒体教案
14 解法二：如图，设α∩γ= a，β∩γ= b，在α内作m⊥a，在β内作n⊥b．∵α⊥γ，β⊥γ，
∴m⊥γ，n⊥γ．
∴m∥n，又n⊂β，m⊄β，
∴m∥β，又α∩β= l，m⊂α，
∴m∥l，
又m⊥γ，∴l⊥γ．
教案 B
第1课时
教学内容：2.3.1 直线与平面垂直的判定
教学目标
1.经历并体验线面垂直的定义和判定定理的探究过程，并能应用定理进行简单的线面垂直的判定；
2.增强对立体几何中文字语言、图形语言、符号语言的应用能力；
3.领悟类比与转化的数学思想，亲身经历数学研究的过程，体验探索的乐趣，自主地思考问题、探究问题，增强学习数学的兴趣．
教学重点、难点
教学重点
直线与平面垂直的定义、判定定理的探究
教学难点
1.体会“线面垂直”所包含的空间问题平面化；
2.类比线面垂直的定义，分析“一条直线与平面内的任一直线垂直”所包含的一般性与特殊性的转化.
教学过程
一、从实际背景中感知直线与平面垂直的形象
问题1：空间一条直线和一个平面有哪几种位置关系？
设计意图：此问基于学生已有的数学现实，通过对已学相关知识的追忆，寻找新知识学习的“固着点”.
问题2：在日常生活中你见得最多的直线与平面相交的情形是什么？请举例说明.
人教版新课标普通高中◎数学2必修（A版）
设计意图：此问基于学生的客观现实，通过对生活事例的观察，让学生直观感知直线与平面相交中一种特例，直线与平面垂直的初步形象，激起进一步探究直线与平面垂直的意义.
二、提炼直线与平面垂直的定义
问题3：你能给出直线和平面垂直的定义吗？回忆一下直线与直线垂直是如何定义的？
设计意图：两直线垂直有相交垂直和异面垂直，而异面直线垂直是转化为两直线相交垂直，实质上是将空间问题转化为平面问题，让学生回忆直线与直线垂直的定义，旨在由此得到启发：用“平面化”的思想来思考问题，即能否用一条直线垂直于一个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直？
问题4：结合对下列问题的思考，试着给出直线和平面垂直的定义．
1.阳光下，旗杆AB与它在地面上的影子BC所成的角度是多少？
2.随着太阳的移动，影子BC的位置也会移动，而旗杆AB与影子BC所成的角度是否会发生改变?
3.旗杆AB与地面上任意一条不过点B的直线B1C1的位置关系如何？依据是什么？
设计意图：第1与2两问旨在让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条过点B的直线垂直，第3问进一步让学生发现旗杆AB所在直线始终与地面上任意一条不过点B的直线也垂直，在这里，主要引导学生通过观察直立于地面的旗杆与它在地面的影子的位置关系来分析、归纳直线与平面垂直这一概念.
（学生叙写定义，并建立文字、图形、符号这三种语言的相互转化）
思考：（1）如果一条直线垂直于一个平面内的无数条直线，那么这条直线是否与这个平面垂直？
（2）如果一条直线垂直于一个平面，那么这条直线是否垂直于这个平面内的所有直线？
（对问（1）在学生回答的基础上用直角三角板在黑板上直观演示；对问（2）可引导学生给出符号语言表述：若l⊥α，a⊂α，则l⊥a）
设计意图：通过对问题（1）的辨析讨论，深化直线与平面垂直的概念．通过对问题（2）的辨析讨论旨在让学生掌握线线垂直的一种判定方法.
通常定义可以作为判定依据，但由于利用直线与平面垂直的定义直接判定直线与平面垂直需要考察平面内的每一条直线与已知直线是否垂直，这给我们的判定带来困难，因为我们无法去一一检验．这就有必要去寻找比定义法更简捷、可行的直线与平面垂直的判定方法.
三、探究直线与平面垂直的判定定理
创设情境猜想定理：某公司要安装一根8米高的旗杆，两位工人先从旗杆的顶点挂两条长10米的绳子，然后拉紧绳子并把绳子的下端放在地面上两点（和旗杆脚不在同一直线上）．如果这两点都和旗杆脚距离6米，那么表明旗杆就和地面垂直了，你知道这是为什么吗？
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